2026年上海市长宁区高三二模数学试卷及答案解析

2025学年第二学期高三数学教学质量调研试卷考生注意：1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则______.2.已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．3.已知向量，，若，则实数________.4.在的展开式中，含项的系数为______．5.函数，的值域为________.6.已知随机变量的分布为则的期望为________.7.设等比数列的前项和为，若，，则_______8.在中，是的中点，，，则_________.9.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.10.已知复数满足：，且，则的最小值为________.11.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）12.等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C.D.14.对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要15.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（）.A. B.C. D.16.已知.①存在，使得函数在上严格增；②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.对于以上两个结论，下列判断正确的是（）A.①正确，②错误； B.①错误，②正确；C.①正确，②正确； D.①错误，②错误.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86.（1）求该组数据的极差和第25百分位数；（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）（3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表.男生女生总计观察值预期值观察值预期值不肥胖99168肥胖总计120200求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）.18.如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值19.已知（其中，）.（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；（2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.20.双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求的离心率；（2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；（3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点.21.设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.（1）设，，若，求实数的值；（2）设，，若，且，求的值；（3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.”参考答案及解析：1、【答案】【解析】【详解】集合，，则.2.已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．【答案】4【解析】【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.【详解】，当，即，时等号成立，则的最小值为4．故答案为：4．3.已知向量，，若，则实数________.【答案】【解析】【详解】因为，，又，所以，则.4.在的展开式中，含项的系数为______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数.【详解】二项式展开式的通项为，令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为.【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题.5.函数，的值域为________.【答案】【解析】【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域.【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.所以函数在上值域为.6.已知随机变量的分布为则的期望为________.【答案】【解析】【分析】直接根据分布列求离散型随机变量的期望可得.【详解】因为随机变量的分布为所以.7.设等比数列的前项和为，若，，则_______【答案】63【解析】【详解】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63.8.在中，是的中点，，，则_________.【答案】7【解析】【详解】因为在中，是的中点，所以，所以.又，所以，所以.所以，.9.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.【答案】【解析】【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得.【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种；要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种.由古典概型概率公式，可得概率为：.10.已知复数满足：，且，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案.【详解】设则，化简得：，，又所以所以所以的最小值为.11.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）【答案】【解析】【分析】在中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解.【详解】中，，所以.所以，.延长，交于点，则与相似，所以.所以，所以，所以.中，由正弦定理得，即，所以.所以所以、两点间距离为.12.等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个.【答案】20【解析】【详解】如图所示：由题意可得以或或或为等腰三角形的底边，在两侧可各作一个等腰三角形，共有个；以或或或为等腰三角形的腰，则，设另一点为，若，即，由，解得，符合题意；(舍去)；同理，若，即，由，解得，不符题意；故只能，这样的点关于轴对称，共有2个，故共有个；以为腰，因为，设另一点为，若，即，由，解得，同理若，即，由，解得，这样的点关于轴对称，共有4个；若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意；综上，共有个这样的等腰三角形.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案.【详解】A选项，因为是偶函数，且在上递减，故A错误；B选项，因为是奇函数，在R上是增函数，故B正确；C选项，因为是非奇非偶函数，故C错误；D选项，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故D错误.故选：B.14.对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要【答案】C【解析】【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，又，所以，从而有，所以、互相独立，充分性成立；当、互相独立时，则，所以，必要性成立.综上，“”是“、互相独立”的充要条件.15.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，B，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥.而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点.16.已知.①存在，使得函数在上严格增；②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.对于以上两个结论，下列判断正确的是（）A.①正确，②错误； B.①错误，②正确；C.①正确，②正确； D.①错误，②错误.【答案】C【解析】【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断.【详解】对求导得：

因为，对，的最小值为，若取，则，即对任意恒成立，此时在上严格递增，结论①正确；设直线与曲线的切点为,切线斜率等于直线斜率:，代入导数得，因为,故，得,切点同时在曲线和直线上：，得,同时满足的解为，对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点，当时，，所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86.（1）求该组数据的极差和第25百分位数；（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）（3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表.男生女生总计观察值预期值观察值预期值不肥胖99168肥胖总计120200求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）.【答案】（1）36；55（2）（3）；【解析】【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而最大值减最小值可得极差，利用求百分位数步骤可得第25百分位数；（2）先求，将代入回归方程可求；（3）根据列联表的性质可得，因肥胖与性别无关，故.【小问1详解】将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88，故极差，因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55.【小问2详解】，因回归方程为过样本中心点，故，得【小问3详解】由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计，所以，男生肥胖的预期值.18.如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积；（2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解.【小问1详解】设圆锥的底面半径为，母线为，，圆锥的侧面积，所以，则圆锥的高，则圆锥的体积；【小问2详解】因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，则与平面所成角为，所以，又因为，所以，取的中点，连结，，因为，，所以，，为二面角的平面角,因为，，所以，，所以二面角的平面角的正切值为.19.已知（其中，）.（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；（2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可；（2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得.【小问1详解】将代入，可得，得，故，该对数函数为定义在上的减函数，故由可得，解得，故不等式的解集为【小问2详解】由已知可得，即，故，整理可得，故，得，由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，设，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，解得，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，不等式无解，综上可得实数的取值范围为20.双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求的离心率；（2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；（3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率；（2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可；（3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点.【小问1详解】将代入双曲线方程可得：，因为双曲线中，所以，即离心率：

；【小问2详解】设，直线方程为，令，得，即可知，令，得，即可知，由，可得：，则由纵坐标对应相等可得

，由（1）知双曲线化简为，代入得，解得或（因为此时与点重合故舍去），即；【小问3详解】设，由关于原点对称得，计算得直线的斜率可得所以有，设直线，联立，可得：，设，由韦达定理得，由可得：，整理得：，所以，所以，代入韦达定理可得：，所以，所以，所以，所以，则或，当时，直线恒过点，不符合题意，故，此时直线恒过点.21.设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.（1）设，，若，求实数的值；（2）设，，若，且，求的值；（3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，