四川省泸州市泸县2025～2026学年高二数学上学期开学考试试题【含答案】

注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.第I卷选择题分85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案.【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．故选：D．2.已知命题p：，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】由存在量词命题的否定求解即可.【详解】由存在量词命题的否定与全称量词命题之间的关系可得：，.故选：D．3.在中，点在上，满足，则（）第1页/共19页

A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】根据题意可知.故选：C4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】因为，所以，所以，故选：D.5.已知，且是第二象限的角，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案.【详解】因为，且是第二象限的角，则．第2页/共19页

所以.故选：B．6.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用分类讨论结合一元二次不等式解法可求不等式的解.【详解】原不等式等价于或，故或，故原不等式的解集为.故选：D.7.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可.【详解】由于向量，满足，，，所以，解得，则在方向上的投影向量为.故选：B8.已知ABCD是体积为，，A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（）第3页/共19页

A.B.C.D.【答案】B【解析】D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合，求出CD长度的最大值.【详解】因为球的体积为，故球的半径R满足，故，而，，，故，故，故，设点D到平面ABC的距离为h，则，故，点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，则，故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为，设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为.故选：B．【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.第4页/共19页

36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为非零实数，复数，，则（）A.的实部为B.的最小值为C.D.当时，【答案】BC【解析】【分析】利用复数的四则运算法则逐项计算判断ABC；根据两虚数不能比较大小判断D.【详解】因为复数，，所以，所以的实部为，故A错误；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故B正确；因为，所以，，所以，故C正确；当时，，则，又，根据两虚数不能比较大小，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.是的一个对称中心C.函数在上单调递增第5页/共19页

D.函数图象与直线有3个交点【答案】AD【解析】【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，可求出最小正周期；B选项，代入验证；C选项，换元，令，转化成在对应区间上的单调性问题；D选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合可得到答案.【详解】A选项，，故的最小正周期为，A正确；B选项，，故不是的一个对称中心，B错误；C选项，，令，由于在上不单调，故在上不单调，C错误；D选项，同一坐标系内画出与，如下：可以看出两函数有3个交点，D正确．故选：AD第6页/共19页

已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（）A.B.边的取值范围是C.面积取值范围是D.周长取值范围是【答案】ABC【解析】AB，根据CB选项基础上得到DB范围.【详解】A选项，由题意得，即，因为，所以，A正确；B选项，由正弦定理得，故，因为锐角中，，所以，解得，故，，B正确；第7页/共19页

C选项，由B可知，，故，面积取值范围是，C正确；D选项，由正弦定理得，故，因为，所以，故，所以周长取值范围是，D错误.故选：ABC【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.第卷非选择题分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.若，，则________．【答案】##【解析】【分析】由二倍角的余弦公式可得的值，再由位于第一象限，可知取正值，由此可得答案.【详解】由二倍角的余弦公式，可得，因为，所以，故.第8页/共19页

故答案为：.13.已知三棱锥，，，，为线段直线与所成角的正弦值为_____________.【答案】【解析】【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可.【详解】设中点为，连接，，因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角，因为，，，所以，，，所以在中由余弦定理可得，所以异面直线与所成角的正弦值为，故答案为：14.设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是__________.【答案】第9页/共19页

【解析】根的分布列出不等式组即可得解.【详解】作出函数的图像如下：令，关于x的函数恰好有五个零点，则有两个不同的实根，设两根分别为，有五个零点，即与共有五个交点.则由图像可知，，或者令，据二次函数根分布关系，可得或解不等式组，得.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第10页/共19页

15.已知，且.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】1）可先根据二倍角余弦公式求出与的关系，进而求出；（2）先求出的值，再结合的取值范围确定其具体值.【小问1详解】已知，根据二倍角余弦公式，且，可得：设，则，即，解得.因为，所以，则.【小问2详解】将代入二倍角正切公式可得：.再根据两角和的正切公式.因为，所以，又，所以.在这个区间内，正切值为的角是，而，所以.16.已知函数的部分图象如图所示．第11页/共19页

（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2的图象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】1）由题意可得，利用过点，可求得，利用过点，结合周期可求，可求解析式；（2）由已知要得，进而可求得，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可求值.【小问1详解】由题意可得，又因为过点，所以，所以，又，所以，所以，又因为过点，所以，所以，所以，第12页/共19页

所以，又函数的最小正周期，所以，所以，解得，又，所以，所以；【小问2详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2得到，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以17.如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点.第13页/共19页

（1）用，表示、；（2）若，求的值；（3）求.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】1）利用向量基本定理得到，；（2）表达出，根据三点共线，得到，求出；（3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解.小问1详解】N为的中点，故，，故；【小问2详解】，因为三点共线，设，即，，故，，所以，解得；【小问3详解】由（1）知，，，又，，，故，第14页/共19页

，，，则.18.在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，．（1）若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD；（3）当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）3（2）证明见解析（3）【解析】1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值；（2）证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立；（3的中点、作为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值.第15页/共19页

【小问1详解】如图，连接交于点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，在梯形中，∵，∴，∴，∵，∴，∴.【小问2详解】∵，平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又平面，平面，∴平面.【小问3详解】在上取一点，使得，连接、，，，，∴且，四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴，又，，∴，又，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，过点作，由，则，∴平面，平面，即平面平面，∴，，∴为平面与平面所成的锐二面角的平面角，∴.又由，∴，∴，∵，，∵，平面，平面，∴平面，∴为与平面所成的角，第16页/共19页

，∴，因此，与平面所成角的正弦值为.19.若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”（1）若函数是“型函数”，且，求满足条件实数对；（2）若函数是“型函数”，求和的值；（3是“为时，的取值范围．【答案】（1）（2），．（3）【解析】1）解方程，，即可得出满足条件的实数对；（2）根据函数是型函数，可得出，结合等式恒成立可得出，即可解出实数、的值；第17页/共19页

（3在上的值域是在，然后利用函数是“型函数”并结合参变量分离法可求出的取值范围.小问1详解】因为是“型函数”，所以存在实数对使得等式成立，即，代入，可得，即，.所以满条件的实数对为.【小问2详解】由是型函数，得，则，因此对定义域内任意恒成立，于是，解得，，所以，．【小问3详解】因为对任意时，都存在，使得，所以在上的值域是在上的值域的子集，因为，当时，，则对任意，都有，因为是“型函数”，且对应的实数对为，所以．当时，，则只需满足对任意，都有且，即对任意，都有即可，第18页/共19页

即不等式对任意恒成立且．①当时，