四川省成都市锦江区2026届高三数学上学期期中试题【含答案】

本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16 B.18 C.20 D.24【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义得高三年级应该抽取.故选：D.2.设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数后，得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】,.所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A.3.是等差数列，…，，，…的（）A.第1013项 B.第1012项 C.第1011项 D.第1010项【答案】C【解析】【分析】首先求等差数列的通项公式，再根据项求序号，即可求解.【详解】由条件可知，等差数列的首项是，公差是，所以等差数列的通项公式为，令，得.故选：C4.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）.A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中点线面位置关系即可判断AB，由面面垂直的性质定理即可判断C，利用线面垂直的性质定理即可判断D.【详解】对于A：若，，，则或与异面或相交，故A错误；对于B：若，，，则或相交，故B错误；对于C：若，，，则相交或或与异面，故C错误；对于D：若，，，则，故D正确.故选：D.5.从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（

）种A. B. C.30 D.20【答案】C【解析】【分析】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数.【详解】由题意，甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）.故选：C.6.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解【详解】，.因为，所以，解得.故选：B7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及、弦化切，把所给式子化简，将代入可得答案.【详解】.故选：D8.已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解.【详解】因为的渐近线上一点满足，且，所以中，而，则，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以，所以.故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）A.若椭圆的焦点在轴上，则B.若椭圆的离心率，则或C.当且时，的面积为D.当时存在点使得【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D.【详解】A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误；B：当椭圆焦点在轴上时，，可得，当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确；C、D：由题设，则，当，则，所以，而，则，所以，C正确，当为椭圆上下顶点时，，则，此时，在中，故最大角可达到，所以存在点使得，D正确.故选：BCD10.已知函数，则以下结论正确是（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递减C.将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为D.若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】根据余弦函数对称中心的性质代入检验判断A，利用余弦型函数的单调性判断B，根据平移变换及诱导公式判断C，利用换元法及余弦函数的性质判断D.【详解】因为，所以函数的图象不关于点对称，故A错误；当时，令，而在上单调递减，所以函数在上单调递减，故B正确；将函数的图象向右移个单位长度，得到，故C正确；，当时，，即在上恰有三个零点，所以，解得，故D错误.故选：BC11.已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称可判断A，对求导得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．【详解】A：因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称且定义域为R，所以，A正确；B：由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确；C：因为为奇函数，即为奇函数，则，所以，则（为常数），当时，，即，故为偶函数，所以的图象关于直线对称，则，又，所以，所以的图象关于点成中心对称，由得，所以，C错误；D：由得，，所以，又，所以，D正确．故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，，若，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论解方程即可．【详解】因为，，所以，当时，集合不满足集合元素特征互异性，不符合题意；当，即时，由上分析可知不符合题意，时，集合符合题意；故答案为：.13.在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为______.【答案】或1【解析】【分析】根据球的性质确定球心位置，根据球的表面积求出半径，利用勾股定理求出三棱锥的高，代入锥体体积公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点，因为，所以点在平面上的射影为的外心，连接，根据球的性质可知三棱锥外接球的球心在上，连接，设三棱锥外接球的半径为，则因为球的表面积为，所以，因为，所以该三棱锥的高为或，如图:所以该三棱锥的体积为或.故答案为：或114.已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则______；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出数列的通项公式；设满足不等式的正整数的最小值为，推导出，设，其中且，根据可得出关于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即为所求.【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，则，，，解得，，，所以，，，由，整理可得，数列的各项分别为：、、、、、、、、、，其中前若干项中，数列有项，数列有项，所以，是数列的第项，所以，，所以，，令，整理可得，令，则有，解得，因为，所以，，可得，所以，满足不等式的正整数的最小值为，同理可知，满足不等式的正整数的最大值为，所以满足不等式的正整数的最小值，即，设，其中且，则，，由，整理可得，解得，所以自然数的最小值为，所以.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数的最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解,四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数在上的单调区间和值域【答案】（1）1（2）单调增区间为和，单调减区间为，值域为.【解析】【分析】（1）求导得，由此结合题意即可求解；（2）求导得，根据导数与极值、单调性、最值的关系列表即可得解.【小问1详解】，在点处的切线平行于直线，，；【小问2详解】由（1）可得令解得，或，当变化时与的变化如下表：134+0-0+0由上表可得，函数在上的单调增区间为和，单调减区间为值域为.16.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差.【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125；（2）分布列见解析，方差为.【解析】【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案；（2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差.【小问1详解】该厂商生产口罩质量指标值的平均数为；，故第60百分位数落在内，设其为，则，解得，故第60百分位数为125；【小问2详解】一级口罩与二级口罩的个数比为，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，则一级口罩有个，二级口罩有个，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2，，，，故的分布列如下：012数学期望为，方差为17.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．（1）求多面体的体积；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值；（3）令，,根据面面垂直及相关面法向量列方程求参数，即可得答案.【小问1详解】因为，即,又,平面，所以平面，平面，所以.又,平面，所以平面，所以.【小问2详解】因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量，由，得，因为平面，所以平面的法向量，所以.因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【小问3详解】假设存在线段上存在一点，使得平面平面,设，，则.所以，设平面的法向量，由，令，得，因为平面平面，所以，解得，所以在线段上存在点，使得平面平面，且.18.已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB对称.（1）求抛物线C与圆M的方程；（2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系得的值，即得抛物线方程，利用弦长公式求直径，即可得到圆的方程.（2）设，根据直线与圆、抛物线的位置关系求的范围，利用切割线定理求的范围.【小问1详解】由以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称，得线段为圆的直径，点为线段的中点，而直线过点且斜率为1，则直线的方程为，即，设，由得，则，，由，得，因此抛物线的方程为；此时，，则圆的半径为，所以圆的方程为.【小问2详解】设，直线的方程为，即，由直线与圆有两个交点，得点到直线的距离，解得，由，得，而直线与抛物线有两个公共点，则，解得，于是，由，得点在圆外，过点作圆的切线，设切点为，连接，则，由切割线定理得，，而，则，所以的取值范围是.19.定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为．（1）已知，若函数，求函数的“源向量”的模的取值范围；（2）设中角所对的边为，向量的“伴生函数”为，且当时，取得最大值．①若，设为的重心，求的最大值；②设是外心，且，求实数的值．【答案】（1）函数的“源向量”的模的取值范围为；（2）①的最大值为；②.【解析】【分析】（1）函数解析式可变形为，结合定义求出函数的“源向量”，再求其模，结合余弦函数性质求模的范围；（2）根据定义求函数解析式，结合正弦定理可得，由条件当时，取得最大值，结合正弦函数性质求，①延长与边交于点，结合向量运算法则及数量积性质可得，结合关系，余弦定理，结合基本不等式求结论；②设，，由条件结合向量运算可