四川省部分学校2026届高三数学下学期综合素质模拟预测试题【含答案】

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】D解析：由题意知，，则.故选：D.2.已知等比数列满足，，则的公比为（）A. B. C.2 D.3【答案】A解析：等比数列满足，则，解得或，而，当时，，与矛盾；当时，，所以数列的公比.3.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C解析：对方程求解得或，因此集合；已知全集，则；而，则.4.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A解析：由题意知，，则可知，当时，，即充分性成立；取，满足，，，但是，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.5.已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线l，若l交C的另一条渐近线于点A，则（O为坐标原点）的面积为（）A. B.1 C. D.2【答案】C解析：已知双曲线，得，因此，即.右焦点坐标为，原点.双曲线渐近线方程为，不妨取平行于的直线，斜率为，得的方程：

.

直线交另一条渐近线，联立方程：

y=3(x-2)y=-3x

解得，即

底（在轴上），高为点纵坐标绝对值，因此面积：

.6.已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B解析：在边长为2的正方形中，，设，，而，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.7.已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（）A. B.C. D.【答案】D解析：由函数的定义域均为R，且为偶函数，得，求导得，则，由是R上的减函数，得当时，，因此函数在上单调递减，所以.8.已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A解析：正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点，以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则球心的坐标为：因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径；故

，，，所以

，，设平面的法向量为，则由，即，令，则，则是平面的一个法向量.又，因此球心到平面的距离.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.从某校高三年级随机抽取50名学生的数学模拟考试分数（满分150分）作为样本，整理得到样本的平均数，中位数，标准差，则下列说法正确的有（）A.若将这50名学生的分数都加4，则新样本的平均数为109B.若将这50名学生的分数都加4，则新样本的标准差为10C.若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的中位数一定不变D.若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数一定不变【答案】AC解析：设这50名学生的分数从小到大为，对于A，将这50名学生的分数都加4，则新样本的平均数为，A正确；对于B，将这50名学生的分数都加4，由A知新样本的平均数也加4，则新样本的标准差，B错误；对于C，原样本共50个数据，排序后中位数是第25个数和第26个数的平均值；去掉1个最高分、1个最低分后，剩余48个数据，新中位数是新样本的第24个数和新第25个数的平均值，这两个数恰好对应原排序的第25、26个数，因此中位数不变，C正确；对于D，去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数为，而，只有当时，，当时，，即去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数可能改变，D错误.10.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（）A.l的方程为 B.为正三角形C. D.的面积为【答案】ABD解析：抛物线的焦点在直线上，则，解得，对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确；对于B，由，解得或，，，为正三角形，B正确；对于C，由选项B得，，，C错误；对于D，点到直线的距离，，，D正确.11.设数列，，，各项均为正整数，其所有项的和为S，该数列为单调不减数列，若对于任意正整数m，，m为数列中的某一项或若干项的和，则（）A.可能为2B.当时，n的最小值为4C.当该数列为递增的等比数列时，其公比为2D.对任意的，都有【答案】BCD解析：选项A：若，根据定义，正整数，但数列各项均为正整数且，后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示，与条件矛盾，选项A错误；选项B：当时：为使能表示正整数范围最大，数列应取，，，此时可表示的最大数为故无法满足；当时：数列取，其和为且取中若干项之和可表示到的所有整数（二进制原理），因此满足条件，故的最小值为4，选项B正确；选项C：设数列首项为，公比为（且为正整数），数列单调递增，由条件可知，必须能被表示，故，数列变为，要表示，则（若，无法表示），验证公比为2时，可通过项的和表示任意正整数，符合条件，选项C正确；选项D：记，假设，由于数列单调递增，，则，此时正整数，但无法用前项和表示（最大值为），也无法包含及后续项（均大于），与题设矛盾，故假设不成立，即，选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式的第2项的系数为_________.【答案】解析：展开式第2项为.所以展开式的第2项的系数为.13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________.【答案】解析：函数的定义域为，求导得，由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根，则，解得，令是的两个正根，，则，当或时，；当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，所以实数a的取值范围为.14.设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________.【答案】解析：函数，则，其最大值为2，的最大值为，由，得，因此对任意，有，，即函数的周期为4，又函数的最小正周期为，于是，解得，又，因此为正奇数，则，，当时，，当时，；当时，，所以，在上的值域为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，，求AB边上中线的长.【答案】（1）（2）5解析：（1）在中，，故.由，得，即，即，(舍去，因).由，，得.（2）由，，得..由正弦定理得，同理，.设的中点为，则.在中，，故，即边上的中线长为.16.如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是正三角形，且．（1）求证：；（2）若，，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.解析：（1）取中点，连接，，因为是正三角形，所以，因为底面是平行四边形，所以，已知，所以，又，且，平面，所以平面，因为平面，所以，在中，是中点，且，所以是的垂直平分线，所以.（2）由，，为中点，得，，设，则，，在正中，，又，在中，，故，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，，即，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设且，若，求a的最小值.【答案】（1）当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）5解析：（1）函数的定义域为R，求导得，当时，，函数在R上单调递减；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）得，当时，，由，得，整理得，令，由，得，令函数，求导得，函数在上单调递减，而，则由，得，因此，解得，又，所以的最小值为5.18.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0．（1）若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为，求；（2）对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率.（ⅰ）证明：为等比数列；（ⅱ）求的最大值.【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.解析：（1）掷3次硬币，每次硬币正面朝上时添加1个字符，反面朝上时添加2个字符，所以的取值可能为.当时，即3次都是正面朝上，概率，当时，即2次正面朝上，1次反面朝上，从3次中选1次反面朝上，概率，当时，即1次正面朝上，2次反面朝上，从3次中选1次正面朝上，概率，当时，即3次都是反面朝上，概率，.（2）（ⅰ）若第个字符是“前0”，则第个字符必须是“后0”，若第个字符是“后0”或“1”，则第个字符是“前0”的概率为，是“1”的概率为，则有，即，即，第1个字符是“前0”的概率为，则，则是首项为，公比为的等比数列.（ⅱ）若第个字符是“0”，则第个字符是“0”的概率为，是“1”的概率为，又第个字符是“前0”的概率为，第个字符是“后0”的概率为，则第个字符是0的概率为，若保证第个字符是1，则第个字符一定是“后0”，其概率为，所以可得，是首项为，公比为的等比数列，，，，，，设，则，，，设，，在定义域内是单调递增函数，最大值为，即当时，，当时，的绝对值逐渐减小，逐渐趋近于，故的最大值为.19.已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E．（ⅰ）求轨迹E的方程；（ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值.【答案】（1）（2）（i）（ii）解析：（1）已知椭圆，离心率，短轴长，由短轴长得，由离心率，得，结合，得，解得，因此，椭圆的方程为：.（2）（i）若动直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与椭圆方程：，得，直线与椭圆相切