四川省2025～2026学年高二数学上学期期中质量监测试题【含答案】

－学年高二上学期质量监测试题数学注意事项：．全卷满分分，考试时间分钟．．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．体工整、笔迹清楚．．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．第Ⅰ卷（选择题共分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A.60B.30C.90D.0【答案】D【解析】【分析】由倾斜角的定义即可得出答案.【详解】直线的倾斜角为.故选：D2.直线和直线间的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】由直线，得.易知与直线平行.第1页/共21页

由平行线间的距离公式，得直线和直线间的距离是.故选：B.3.已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（）A.若是对立事件，则是互斥事件B.若事件相互独立，则与也相互独立C.若事件相互独立，则与不互斥D.若事件互斥，则与相互独立【答案】D【解析】【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项.【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确；B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确；C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确；D.若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误.故选：D4.圆上有（）个点到直线的距离为.A.2B.3C.4D.1【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系即可直接判断.【详解】由题意可知该圆圆心为，半径为，因为，即圆心到直线的距离为，且，圆上点到直线的最小距离为，最大距离为.第2页/共21页

因为，所以圆上有2个点到直线的距离为.故选：A.5.已知空间中三点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解.【详解】因为依题意得，，则点到直线的距离为.故选：A.6.如图，两条异面直线a、b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使且．已知，，，线段的长为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意第3页/共21页

可得结果.【详解】由题意知，所以，展开得，异面直线，所成角为，代入得，所以或，故选：D.7.若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解.【详解】由题可知圆，半径，圆，半径.∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴，∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.又，∴代表点到直线的距离的5倍.∵圆心到直线的距离为1，∴圆环内的点到直线的距离，第4页/共21页

∴的取值范围为.故选：C.8.某次试验掷一个骰子55个点数63，方差为2.8，则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求出5个点数为，再由古典概率的计算公式求解即可.【详解】不妨设，因为这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8，所以，设平均数为，方差为，，所以，因为，由题意分析可知，众数只能为，若众数为，则5个点数可能为：；；；；；计算；；；四组数的平均数和方差，方差均不为2.8.当这五个数为：，可得，，所以成立.若众数为，则5个点数可能为：；.第5页/共21页

计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8.若众数为，则5个点数可能为：；.计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8.综上：这5个点数只能为，则的众数为，小于的数有，共2个，则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为：.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得09.某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的）A.a=0.0175B.跳远距离在区间[200，260]的人数为150C.中位数是210D.平均数是218【答案】ABD【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质、频率与频数的关系等逐个分析即可.【详解】对于选项，根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积之和为，即，解得，故正确.对于选项，跳远距离在区间[200，260]的频率为，又抽调了200名学生进行立定跳远测试，跳远距离在区间[200260]的人数为正确.对于选项，第一组的频率为；第二组的频率为；第三组的频率为第6页/共21页

；第四组的频率为；第五组的频率为，，中位数在区间内，设中位数为，则，解得，故错误.对于选项，同一组的数据用该组区间的中点值代表，,故正确.故选：.10.以下命题正确的是（）A.两个不同平面，的法向量分别为，，则B.若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C.已知，，若与垂直，则实数D.若P、A、B、C为空间中不重合的四点且，则“+=1”是“A、B、C三点共线”的充要条件【答案】ACD【解析】AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断D.【详解】对于A，由题意知，所以，故A正确；对于B，由题意知，所以或，故B错误；对于C，由题意知，解之得，故C正确；对于D，若，则，所以，即，说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立；若三点共线，则存在，使得，第7页/共21页

所以，整理得，此时，必要性成立，所以是三点共线的充要条件，故D正确.故选：ACD“曼哈顿距离”是十九世纪赫尔曼·总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（）A.若点，，则B.若对于三点A，B，C，则“”当且仅当“点A在线段BC上”C.对于平面上任意一点N，若，则动点的轨迹长度为8D.若点M在圆上，点P在直线上，则的最小值是【答案】AD【解析】【分析】根据曼哈顿距离的定义逐一判断即可.【详解】对于A，，所以A正确；对于B，取不共线三点，则，，，所以.所以B不正确；对于C，设，则，所以点N的轨迹是如图所示四条线段，所以其长度为.所以C不正确；第8页/共21页

对于D，因为当时，.所以要想使最小，点到直线的距离最小.所以如图所示，过原点作直线且交圆于点M.设，则的斜率为，所以.代入圆的方程，得.设，则当时，成立；当时，，此时；当时，，此时；因为，所以d（P，M）的最小值为.所以D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）第9页/共21页

12.在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用平面法向量的定义求解即可.【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)，其一个法向量为，因为平面方程为，所以其一个法向量为，与平行的非零向量都是该平面的法向量.故答案为：（答案不唯一）13.阅兵式上，某型防空导弹的拦截成功率为0.8，若有3枚该型导弹同时对同一目标进行拦截，则至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为__________【答案】【解析】【分析】先明确至少有2枚导弹成功拦截目标包含“恰好有2枚导弹成功拦截目标”和“有3枚导弹都成功拦截目标”这两种情况，然后分别计算这两种情况的概率，相加即可.【详解】设“1枚导弹成功拦截目标”为事件，已知，那么“1枚导弹未成功拦截目标”为事件，则，恰好有2枚导弹成功拦截目标的概率为，有3枚导弹都成功拦截目标的概率为，综上，至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为.故答案为：.14.已知实数x，y满足则式子的最小值为__________．【答案】【解析】第10页/共21页

【分析】根据同角三角函数关系式，得，所以点的轨迹为圆.将可求得结果.【详解】因为实数x，y满足，且，所以.所以点是以点为圆心，以2为半径的圆上的动点.记点，点，点，则如图所示，当三点共线，且点在线段上时，取得最小值，最小值为.因此的最小值为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，正方体中，分别为，的中点．第11页/共21页

（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）求与平面所成的角．【答案】（1）垂直，理由见解析（2）【解析】1，平面与的位置关系；（2）由（1）可知，连接，证明平面即可得到与平面所成的角.【小问1详解】，连接，因为分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，第12页/共21页

所以，所以，所以，小问2详解】由（1）可知，连接，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，由于平面，所以，因为，平面，所以平面，则与平面所成的角为16.已知圆，直线．（1）求证：直线恒过定点P，并求的最小值；（2）讨论直线与圆C位置关系．【答案】（1）证明见解析，（2）答案见解析【解析】1）将直线的方程化为，若过定点，则与m无关，即可得第13页/共21页

，求解可得定点坐标；再由两点间的距离结合二次函数的性质可求出的最小值；（2）先求出圆心到直线l的距离，比较与的大小，即可判断直线与圆C位置关系．【小问1详解】直线l的方程为，整理为关于的方程，该方程对任意成立，因此系数均为零解得，所以直线l恒过定点．圆C圆心为，半径．点P到圆心C的距离为∣=，所以=，当时，取最小值．因此，的最小值为．【小问2详解】圆心到直线l的距离为，半径．位置关系取决于d与2的比较：当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离．由得，平方两边，整理得，解得：．所以，当时，直线l与圆C相切；当（，）时，直线l与圆C相交；第14页/共21页

当或时，直线l与圆C相离．17.四棱锥中，底面，底面满足，，，．（1）画出底面的平面图及四棱锥（2）求四棱锥的体积；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）图象见解析（2）（3）【解析】1）由题意直接画出底面的平面图及四棱锥的直观图.（2）先求出四棱锥的底面积和高，再由锥体的体积公式求解即可.（3为原点，方向为轴正方向，方向为与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】底面的平面图及四棱锥的直观图如下：（方向可不同）【小问2详解】底面面积分为和：为直角三角形，面积为．由已知可得，于是有，第15页/共21页

因此，故的面积．总底面面积，高，体积V=．故四棱锥的体积为．【小问3详解】底面中，．以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立直角坐标系.设点．由，得；由，得，两式相减，得，即．代入，得，解得：，∴．显然平面的法向量可取，注意到，∴，设平面的法向量为，，所以，取，则，∴平面的法向量，设平面与平面的夹角为，第16页/共21页

所以.进而平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为．18.A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p（＜p＜1B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组．（1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率；（2）若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？（3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用【答案】（1）（2），（3）淘汰赛赛制：，双败赛制：，证明见解析【解析】1）古典概率的计算公式求解即可；（2）根据淘汰赛赛制的比赛规则，结合独立事件概率公式分别计算A和B获得冠军的概率；第17页/共21页

（3）作差得到，因式分解后判断即可.【小问1详解】从4支队伍中随机选出2支，总共有6种可能组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD．其中选出的两支队伍恰好是A和B只有1种情况．因此，概率．【小问2详解】淘汰赛赛制分组为AvsC、BvsD，胜者进入决赛．A获得冠军的概率：A必须赢半决赛和决赛．P（A赢半决赛）=P（A赢C）=p=．决赛对手是B或D，但无论对手是谁，P（A赢决赛）=p=，因此，PA=．B获得冠军的概率：B必须赢半决赛和决赛．P（B赢半决赛）=P（B赢D）=．决赛对手是A或C：P（对手是A）=P（A赢半决赛）=，P（B赢A）=1－p=．P（对手是C）=P（C赢半决赛）=1－p=，P（B赢C）=．因此，P（B赢决赛）=，PB=．综上，PA=，PB=．【小问3详解】淘汰赛赛制：．双败赛制：双败赛制流程如下：AvsCBvsD组决赛：败者组第一轮胜者vs胜者组决赛败者，总决赛：胜者组决赛胜者vs败者组决赛胜者.计算A夺冠概率需考虑所有可能路径．通过案例分析，可得．比较：要证明双败赛制对强队更有利，因为第18页/共21页

．所以当时，．因此，双败赛制