小学三年级数学下册“余数的妙用”应用性探究教学设计

小学三年级数学下册“余数的妙用”应用性探究教学设计

一、教学内容与背景分析

（一）教学内容定位

【核心概念】本课内容隶属于数与代数领域，是“有余数的除法”单元的深化与拓展。其核心在于引导学生从对余数的静态认识（即除法计算后剩余的部分），转向对余数的动态价值与应用意义的探索。这不仅是计算技能的延伸，更是数学建模思想、优化思想和周期思想的启蒙。

（二）教材分析与处理

教材通常在初步教学有余数除法计算后，会安排诸如“租船问题”“派车问题”等实际问题。然而，传统处理往往止步于“进一法”或“去尾法”的简单套用。本设计将打破这一局限，将“余数的性质”提炼为一条主线，串联起不同类型的生活情境，让学生在对比、辨析中深刻理解余数在不同语境下的“变”与“不变”，从而构建起更为系统、灵活的知识结构。

（三）学情研判

【基础】学生已经掌握了表内除法和有余数除法的意义及计算，能够读写有余数的除法算式，初步理解余数要比除数小的规律。这是本课学习的前提。

【难点】学生的思维正处于由形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们容易机械地套用计算法则，但对于“余数到底应该如何处理”这一实际问题，往往缺乏对现实情境的敏感度。具体表现为：当计算结果有余数时，是舍去余数，还是给商加1，或是余数本身就是答案，学生容易混淆。【非常重要】

【高频考点与难点】余数在周期问题中的应用，以及根据实际情境灵活选择取近似值的方法，是小學數學中高年级的必考点和难点。

（四）设计理念

以核心素养为导向，本设计致力于实现以下转变：

从“教计算”转向“教思维”：不再满足于学生能算出余数，而是引导学生思考“余数告诉我们什么”。

从“单一情境”转向“结构化情境”：通过一组具有内在逻辑关联的问题串，让学生在解决问题的过程中，经历“具体—抽象—具体”的认知全过程。

从“被动接受”转向“模型建构”：引导学生通过对比、归纳，自主建构“进一”、“去尾”、“找规律”三种数学模型，并能够根据情境特征精准调用。

二、教学目标

（一）基础性目标

1.结合具体情境，进一步理解余数的意义，掌握用有余数的除法解决简单实际问题的方法。【基础】

2.在解决实际问题的过程中，理解并掌握根据余数的不同情况，对问题的答案进行合理取舍或推断的方法。

（二）发展性目标

3.通过观察、比较、分析、概括等活动，经历“进一法”“去尾法”“周期规律”等数学模型的建构过程，培养模型意识和应用意识。【核心素养】

4.能灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，体会数学与生活的密切联系，增强学好数学的信心。

（三）创新性目标

5.初步感悟“具体问题具体分析”的辩证思维，培养思维的灵活性和批判性。

6.尝试用数学语言（包括口头语言和符号语言）清晰地表达自己处理余数的理由和过程。

三、教学重难点

（一）教学重点

能根据具体问题的实际意义，用有余数的除法知识解决实际问题，并能够对余数进行合理解释和处理。【非常重要】

（二）教学难点

理解并区分“进一法”和“去尾法”的适用情境，探寻周期问题中余数与结果的对应关系。

四、教学准备

多媒体课件（包含动态情境图、对比表格、分层练习）、实物投影仪、小组合作学习任务单。

五、教学实施过程（核心环节）

本过程围绕“余数性质的应用”展开，设计了四个层层递进的教学板块，力求在真实的探究活动中实现深度学习。

（一）唤醒经验，初探“余”义——创设“分物”冲突，激活旧知

7.情境导入，引发思考

教师利用课件动态呈现分物情境：“有10个苹果，每盘放3个，可以放几盘？还剩几个？”

学生根据已有知识，列出算式10÷3=3（盘）……1（个），并口答：可以放3盘，还剩1个。

教师追问：“这个余下的1个苹果，在现实生活中你会怎么处理它？”【非常重要】

8.开放讨论，初步感知

学生自由发言，可能提出多种方案：

方案A：自己吃掉。

方案B：再找一个盘子单独放。

方案C：先放着，等有苹果凑够一盘再放。

方案D：扔掉。

9.聚焦核心，生成问题

教师引导学生对这些方案进行简单分类，并指出：“同学们的想法都有道理，但放在不同的地方，处理方式可能就完全不同了。余数这个‘小尾巴’，在数学世界里有时要‘进一’，有时要‘舍去’，有时还能用它来‘预测未来’呢！今天我们就一起来研究‘余数的妙用’。”（板书课题）

【设计意图：此环节通过一个开放性问题，打破学生“算完即止”的思维定式，让学生意识到“余数”在现实世界中不是静止的，而是需要被“处理”的，从而自然引出本节课的核心探究任务，激发学习内驱力。】

（二）建构模型，探究“余”法——对比“进一”与“去尾”，明晰边界

此环节是本课的核心，通过两个看似相似但本质不同的情境，引导学生进行深度辨析，初步建立数学模型。

10.情境一：租船问题（建构“进一法”模型）

（1）出示例题，理解题意

【课件出示】“22名学生去划船，每条船最多坐4人。他们至少要租多少条船？”

师生共同审题，理解关键词“最多坐4人”和“至少”。

（2）自主尝试，列式计算

学生独立列式：22÷4=5（条）……2（人）。

（3）冲突产生，引发辩论

教师提问：“需要租5条船吗？为什么？”

预设学生可能会出现两种答案：5条或6条。

教师不急于评判，而是组织辩论：

持“5条船”观点的学生可能认为：商是5，余2，所以5条就够了。

持“6条船”观点的学生则反驳：剩下的2个人也需要一条船，不然他们没法去。

（4）画图验证，深化理解

教师引导学生用圆圈代表人，用大方框代表船，通过画图或学具摆一摆的方式，直观展示：

5条船只能坐20人，还有2人没有船坐。

必须再加1条船，让这2人也坐上，所以是5+1=6（条）船。

（5）归纳建模，点明“进一法”

教师总结：像这样，在解决租船、载人、装货等问题时，即使最后余下的人数很少，哪怕只有1人，也需要再增加一条船。这种方法，我们数学上称之为“进一法”。【非常重要】【高频考点】

板书：进一法：余数→商+1

11.情境二：购物问题（建构“去尾法”模型）

（1）变换情境，独立尝试

【课件出示】“李老师有20元钱，想买一些笔记本奖励给进步之星。每本笔记本6元，最多能买多少本？”

学生独立列式：20÷6=3（本）……2（元）。

（2）辨析结果，引发思考

教师提问：“能买4本吗？为什么？”

学生结合生活经验会很快发现：不能买4本，因为4本需要24元，20元不够。剩下的2元钱不够再买一本了。

（3）对比分析，凸显差异

教师将两个算式并列呈现：

22÷4=5（条）……2（人）→需要租6条船。

20÷6=3（本）……2（元）→最多能买3本。

引导学生观察讨论：“为什么都是余2，一个要加1，一个却不加呢？”

（4）深度辨析，触及本质

组织小组讨论，引导学生从“余数代表什么”的角度进行思考：

在租船问题中，余下的“2”代表“2个人”，他们也需要一个位置，所以必须加1。

在购物问题中，余下的“2”代表“2元钱”，不够再买一本笔记本，所以直接舍去。

（5）归纳建模，点明“去尾法”

教师总结：在解决买东西、做衣服、包装礼品等问题时，余下的部分因为不够再做成一份，所以只能舍去。这种方法，我们数学上称之为“去尾法”。【非常重要】【高频考点】

板书：去尾法：余数→直接舍去

12.对比反思，深化模型

教师引导学生回顾两个问题的解决过程，完成对比分析：

问题的共同点：都用到了有余数的除法计算。

问题的不同点：对余数的处理方式不同，一个“进一”，一个“去尾”。

处理方式为何不同？根本原因在于“余数”所代表的实际意义不同。

教师强调：“数学计算只是工具，而生活智慧在于如何根据实际情况选择如何使用这个工具。‘进一’和‘去尾’没有好坏之分，关键在于是否合情合理。”【难点突破】

【设计意图：本环节是整节课的基石。通过两个具有强对比性的经典问题，将学生置于认知冲突的中心。通过辩论、画图、讨论等多种方式，让学生不仅知其然，更知其所以然，深刻理解“进一法”和“去尾法”的本质区别，初步完成了数学模型的建构。】

（三）拓展提升，探寻“余”律——走进“周期”世界，感受余数之妙

在学生掌握了“进一”与“去尾”两种基本模型后，将视野拓展到更广阔的“周期现象”中，进一步挖掘余数的预测功能。

13.情境导入，发现规律

【课件出示】“为了庆祝六一儿童节，学校门口挂了一排彩色气球，它们按照‘红、黄、蓝、绿、紫’的规律重复排列。”

教师提问：“如果这样挂下去，第16个气球是什么颜色？”

14.分析问题，明确结构

引导学生分析：

一组有几个气球？（5个）

要求第16个是什么颜色，就是看16里面包含几个这样的组。用除法计算：16÷5=3（组）……1（个）。

15.聚焦余数，探寻奥秘

教师引导：“这个余数‘1’在这里表示什么？”

学生理解：余数“1”表示第16个气球是第4组里的第1个。因为每组都是从“红”开始的，所以第4组的第1个就是红色。

16.变式练习，巩固模型

（1）第23个气球是什么颜色？

学生计算：23÷5=4（组）……3（个），余数是3，对应每组中的第三个颜色是蓝色。

（2）第27个气球是什么颜色？

学生计算：27÷5=5（组）……2（个），余数是2，对应黄色。

（3）如果没有余数，比如第20个，是什么颜色？

学生计算：20÷5=4（组），没有余数，说明它正好是一组的最后一个，即紫色。

17.归纳建模，总结规律

教师引导学生共同总结周期问题的解题策略：

核心方法：用总数除以每组的个数，看余数。

对应关系：余数是几，就找一组中的第几个；没有余数，就找一组中的最后一个。【热点】【非常重要】

板书：周期问题：余数→确定位置

18.联系生活，拓展应用

教师举例生活中的周期现象：星期、十二生肖、红绿灯变化、春夏秋冬四季轮回等，让学生感受数学规律在生活中的广泛应用。

【设计意图：周期问题是余数应用的另一个重要领域。本环节将抽象的余数与直观的图形位置建立一一对应关系，让学生深刻体会到余数的“定位”功能，进一步丰富了“余数性质”的内涵，同时培养了学生的推理能力和模型意识。】

（四）综合应用，玩转“余”数——解决复杂情境，实现思维进阶

此环节旨在打破单一模型的思维定式，创设一个需要综合考量、灵活运用多种策略的复杂问题情境，进一步提升学生的高阶思维能力。

19.呈现复杂情境，激发挑战欲望

【课件出示】“三（1）班有45名同学去游乐园。游乐园推出两项活动：

活动一：旋转木马，每人每次3元。

活动二：碰碰车，每辆车坐3人，每辆车每次6元。

班主任张老师带了100元钱，让同学们先玩旋转木马，剩下的钱全部用来玩碰碰车。请你算一算：

（1）全班同学玩一次旋转木马，需要花多少钱？

（2）剩下的钱最多可以让多少名同学玩碰碰车？”

20.分层引导，逐步拆解

（1）解决第一个问题：旋转木马费用。

学生独立计算：45×3=135（元）。

教师追问：“可是张老师只有100元，这说明了什么？”

学生意识到：100元不够全班玩一次旋转木马！这需要重新思考。

（2）修正问题条件，引发深度思考。

教师引导：“看来情境需要调整。实际情况应该是：张老师用100元先尽可能让多的同学玩旋转木马，剩下的钱再用来玩碰碰车。那么，问题变成了：

①100元最多可以让多少名同学玩旋转木马？

②剩下的钱最多可以让多少名同学玩碰碰车？”

21.小组合作，探究解决

将学生分成小组，合作完成任务单。

（1）探究问题一：玩旋转木马的人数。

列式：100÷3=33（人）……1（元）。

辨析：这里用什么方法？为什么？

引导学生分析：这里是“花钱买东西”的情境，剩下的1元不够再让一个人玩，所以应该用“去尾法”。即最多让33人玩旋转木马。

（2）探究问题二：剩下的钱与玩碰碰车的人数。

计算剩余钱数：100-33×3=100-99=1（元）。

提出问题：“只有1元钱，还能玩碰碰车吗？”（显然不能）

（3）教师追问：“难道这样安排，剩下的33位同学就只能干看着吗？有没有更好的方案，能让更多同学玩到项目？”【高阶思维触发点】

22.打破定式，寻求最优解

（1）学生经过讨论，可能会提出：不一定非要先让33个人玩旋转木马，可以少让一些人玩旋转木马，省下钱来让更多的人玩碰碰车。

（2）教师引导学生建立新思路：这是一个“统筹规划”问题。我们可以尝试调整玩旋转木马的人数。

（3）提供支架，尝试列表或推理。

引导思考：碰碰车每辆车坐3人，每次6元，相当于每人次2元（6÷3=2）。而旋转木马每人次3元。相比之下，玩碰碰车更便宜。

为了用100元让尽量多的人玩上项目，应该优先选择更便宜的碰碰车。

（4）重新规划：

先保证碰碰车的名额。

设玩碰碰车的人数为x，则玩旋转木马的人数为(45-x)。

总费用为：2x+3(45-x)≤100。

化简得：135-x≤100，即x≥35。

所以，玩碰碰车的人数至少为35人。

检验：35人玩碰碰车，费用35×2=70元，剩余30元。

30元可以让10人玩旋转木马（30÷3=10）。

这样，总共玩上项目的人数为35+10=45人，刚好全班都能玩！且总花费70+30=100元。

（5）成果分享，感悟数学魅力

当学生通过自己的探索得出这个最优方案时，教师给予高度评价：“看，当我们不再满足于简单的‘进一’或‘去尾’，而是学会灵活运用余数，甚至调动方程思想时，我们就创造出了更完美的解决方案。这就是数学的力量！”

23.小结升华

引导学生回顾解决这个复杂问题的过程，总结出：

面对复杂问题，要读懂信息，理清数量关系。

要灵活运用“进一”“去尾”等模型，但不能生搬硬套。

有时需要打破常规，用统筹优化的思想去寻找最优解。【创新素养】

【设计意图：此环节是整节课的高潮和升华。它不再是单一模型的简单套用，而是一个需要综合运用“去尾法”（计算人数）、比较思想（寻找更优方案）以及初步代数思想（列不等式）的复杂问题。这极大地挑战了学生的思维，让学生在“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的探究过程中，真正体会到数学的应用价值和思维乐趣。】

六、教学评价设计

（一）过程性评价

24.课堂观察：观察学生在小组讨论中的参与度、倾听习惯以及能否清晰表达自己的观点。

25.关键问题反馈：在“租船”与“购物”的辨析环节，通过学生的回答判断其对“进一法”和“去尾法”本质的理解程度。

26.合作学习评价：通过小组任务单的完成情况，评价学生在复杂问题解决中的合作能力与思维水平。

（二）结果性评价

设计分层作业，考察学生对余数性质的应用能力。

【基础层】

27.有28箱货物，一辆卡车每次运5箱，至少要运几次才能运完？（28÷5=5次……3箱，5+1=6次）【基础】【进一法应用】

28.做一个风筝要用6米布，现有50米布，最多能做多少个风筝？（50÷6=8个……2米，8个）【基础】【去尾法应用】

【综合层】

29.六一儿童节，同学们用彩色小旗布置教室，这些小旗按“红、黄、蓝、绿、红、黄、蓝、绿……”的顺序排列。第37面小旗是什么颜色？（37÷4=9组……1面，红色）【周期规律应用】

30.面包店做了54个蛋挞，每盒装8个。至少需要几个盒子才能全部装完？如果全部装在盒子里拿去卖，最多能装满几盒？（54÷8=6盒……6个，全部装完需要6+1=7个盒子；最多能装满6盒）【重要】【对比应用，区分两种模型】

【拓展层】

31.旅游团有38人入住酒店。酒店有两人间和三人间，两人间每间180元，三人间每间220元。怎样安排房间最省钱？【热点】【最优方案问题】

七、板书设计

余数的妙用

一、具体情境，灵活处理

32.租船问题：22÷4=5（条）……2（人）

【进一法】5+1=6（条）

（余数→商+1）

因为剩下的2人也需要一条船。

33.购物问题：20÷6=3（本）……2（元）

【去尾法】最多买3本

（余数→直接舍去）

因为剩下的2元不够买一本。

二、周期规律，余数定位

16÷5=3（组）……1（个）→第16个是红色