高三二轮高效复习讲义数学专题突破立体几何与空间向量教考衔接8立体几何中的翻折问题

教考衔接8立体几何中的翻折问题▶对应学生用书P75[教材溯源](人教A版选择性必修一P49第13题)如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小.解：折起后的图形如图所示，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝AC，所以BO⊥平面ADC.所以OD，OC，OB三条直线两两垂直，分别以这三条直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的对角线长为2，则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，D(1，0，0)，E(12，－12，0)，B(0，0，1)，C(0，1，0)，F(0，12，所以OE＝(12，－12，0)，OF＝(0，12，所以cos〈OE，OF〉＝OE·OF｜OE||所以〈OE，OF〉＝120°，所以∠EOF＝120°.[真题示例](2025·全国Ⅰ卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明：A'B∥平面CD'F；(2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值.解：(1)证明：第1步：利用线线平行得两组线面平行因为EB∥FC，EB⊄平面CD'F，FC⊂平面CD'F，所以EB∥平面CD'F，因为A'E∥D'F，A'E⊄平面CD'F，D'F⊂平面CD'F，所以A'E∥平面CD'F.第2步：利用两组线面平行得面面平行因为EB⊂平面BA'E，A'E⊂平面BA'E，EB∩A'E＝E，所以平面BA'E∥平面CD'F.第3步：利用面面平行得线面平行因为A'B⊂平面BA'E，所以A'B∥平面CD'F.(2)第1步：找到面EFD'A'与面EFCB所成二面角的平面角因为∠DAB＝90°，EF∥AD，所以∠FEB＝90°，即AB⊥EF，翻折后，A'E⊥EF，EB⊥EF，所以面EFD'A'与面EFCB所成二面角的平面角为∠A'EB，即∠A'EB＝60°，同理∠D'FC＝60°.第2步：找出3条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系设AD＝1，取CF的中点O，连接D'O，在△OD'F中，D'F＝1，OF＝12，∠D'FO＝60°，由余弦定理得OD'＝3所以D'F2＝OF2＋OD'2，所以OD'⊥OF.在线段EB上取一点M，使得EM＝12，连接OM，则EM＝OF，又EM∥OF，所以四边形EMOF为平行四边形所以EF∥OM，因为D'F⊥EF，CF⊥EF，D'F∩CF＝F，所以EF⊥平面CD'F，即OM⊥平面CD'F，所以OM，OC，OD'两两垂直，如图所示，以O为坐标原点，OM，OC，OD'的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系第3步：写出相关点及向量的坐标则B(1，32，0)，C(0，12，0)，D'(0，0，32)，E(1，－12，0)，F(0，－12，0)，CB＝(1，1，0)，CD'＝(0，－12，32)，FE＝(1，0，0)，FD'第4步：求平面BCD'的法向量设平面BCD'的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则CB·m＝0，CD'·m＝0，即x1＋y1＝0第5步：求平面EFD'A'的法向量设平面EFD'A'的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则FE·n＝0，FD'·n＝0，即x2＝0，1第6步：利用向量的夹角公式求平面与平面夹角的余弦值设平面BCD'与平面EFD'A'的夹角为θ，则cosθ＝｜m·n｜｜m||第7步：利用同角三角函数的基本关系求二面角的正弦值所以sinθ＝1－cos2θ所以平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值为427[方法点评]解决有关翻折问题的两大关键(1)确定翻折前后变与不变的关系(2)确定翻折后关键点的位置[预测训练]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB＝6，AD＝2，∠ADC＝60°，E，F分别为线段AB，CD上异于端点的一点，EF⊥AB，将梯形AEFD沿EF翻折至与梯形EBCF垂直的位置，得到多面体ABEDCF.(1)若BD⊥EC，证明：DF＝FC；(2)若CD∥平面ABF，求直线BC与平面ABF所成角的正弦值.解：(1)在梯形ABCD中，过点A作AH⊥CD，垂足为H，如图所示：在Rt△ADH中，AD＝2，∠ADC＝60°，所以AH＝AD·sin60°＝2×32＝3，DH＝AD·cos60°＝2×12＝又EF⊥AB，AB∥CD，所以AH∥EF，AH＝EF＝3，梯形AEFD沿EF翻折至与梯形EBCF垂直的位置，即平面AEFD⊥平面EBCF，又平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DF⊂平面AEFD，DF⊥EF，所以DF⊥平面EBCF，又EF⊥FC，以点F为原点，FE、FC、FD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AE＝x0＜x＜3，则E3，0，0，F(0，0，0)，A3，0，x，D0，0，所以BD＝－3，x－3，1＋x，EC＝(－因为BD⊥EC，所以BD·EC＝0，所以－3×－3＋x－35－x＝0，解得x＝2或此时DF＝1＋x＝1＋2＝3，FC＝5－x＝5－2＝3，所以DF＝FC.(2)设平面ABF的法向量为m＝x0，y0，z0，由FA则FA·m取x0＝3，则y0＝3x－3，z0＝