微专题四：轴为线、形为体-八年级下册平行四边形折叠问题探究式教案

微专题四：轴为线、形为体——八年级下册平行四边形折叠问题探究式教案

一、教学内容解析

【基础】本节课是人民教育出版社《数学》八年级下册第十八章《平行四边形》的微专题复习内容。在完成了对平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的定义、性质、判定及三角形全等、勾股定理等知识的学习后，本节课将聚焦于“折叠”这一经典的几何变换问题。折叠问题的本质是轴对称变换，其核心特征在于变换前后的两个图形全等，即对应边相等、对应角相等。将这一变换置于特殊平行四边形的背景下，极大地丰富了问题的内涵与层次。它不仅综合运用了特殊平行四边形的边、角、对角线性质，还深度结合了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质以及方程思想等。因此，平行四边形中的折叠问题成为了培养学生几何直观、逻辑推理、数学抽象及数学建模素养的绝佳载体，也是历年各地中考的【高频考点】和【难点】所在。本节课旨在通过对典型折叠模型的系统探究，引导学生从变幻的图形中抽取出不变的几何关系，建立解决此类问题的通性通法，实现从“会解一道题”到“会解一类题”的跨越。

二、学情分析

授课对象为八年级学生。知识储备上，学生已系统掌握了全等三角形、轴对称图形、勾股定理以及特殊平行四边形的性质与判定，具备了解题所需的基础知识。能力基础上，学生已初步具备了一定的逻辑推理能力和简单的图形分析能力，但对于动态变换下的图形综合问题，往往缺乏全局观念，难以发现隐含的等量关系，尤其是在将条件集中到一个直角三角形中利用勾股定理建立方程这一关键步骤上，仍普遍感到困难，【难点】意识不强。思维习惯上，学生习惯于静态地看待图形，对于折叠带来的“动”与“不变”的辩证关系理解不够深刻，需要教师在课堂上通过直观演示和层层递进的问题链，引导其思维逐步深入。

三、教学目标

1.知识与技能【基础】：理解平行四边形折叠问题的本质是轴对称变换，掌握折叠前后图形的对应关系（对应边相等、对应角相等、折痕是对应点连线的垂直平分线）。能熟练运用特殊平行四边形的性质和勾股定理求折叠问题中线段的长度或角度的大小。

2.过程与方法【重要】：经历“观察—操作—猜想—证明—应用”的探究过程，体会方程思想、转化思想、数形结合思想在解决几何问题中的重要作用。学会通过寻找或构造直角三角形，利用勾股定理建立方程模型解决几何计算问题。

3.情感态度与价值观：通过折纸活动，感受数学的趣味性与内在的逻辑美，增强动手实践能力和空间想象能力。在克服困难、解决问题的过程中，树立学好数学的自信心。

四、教学重难点

1.教学重点【重要】：掌握折叠变换的性质（全等性、轴对称性），并能将其与特殊平行四边形的性质相结合，准确找出图形中的等量关系。

2.教学难点【难点】：灵活运用方程思想，在复杂图形中识别或构造出包含所求量与已知量的直角三角形，并利用勾股定理列出方程解决问题。理解折痕作为对应点连线的垂直平分线的性质在解题中的应用。

五、教学流程设计（核心环节）

（一）溯源·寻根——重温折叠本质

课堂伊始，教师并非直接抛出难题，而是引导学生进行一个简单的动手操作：请每位同学拿出一张矩形纸片，任意折叠一次，然后展开。观察折痕，思考：折痕起到了什么作用？折叠前后的两个图形有什么关系？

【基础】通过这种直观体验，迅速唤醒学生对“轴对称”的认知。学生回答后，教师精炼总结：【重要】“折叠的本质是轴对称，折痕就是对称轴。在轴对称变换下，对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分。”这一环节虽简短，却为整节课的探究奠定了坚实的理论基础，即所有复杂的折叠问题都将回归到“全等”这一根本点上。

（二）探究·破局——矩形中的折叠求线段

本环节是整节课的核心，选取矩形这一最基础的平行四边形作为探究载体，通过一个层层递进的“问题链”，引导学生亲历建模全过程。

问题情境：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8。按下列不同的方式折叠，求折痕或某条线段的长度。

1.【基础】热身型：将矩形的一个顶点折叠落在一边上。

将点B折叠落在边AD上的点B‘处，折痕为AE，若AB’=3，求折痕AE的长。

设计意图：此问较为基础，学生易发现△ABE≌△AB‘E，得到AB’=AB=6，BE=B‘E。设BE=x，则CE=8-x，B’E=x，在Rt△B‘CE中，利用勾股定理B’E²=EC²+B‘C²，构建方程求解。此问旨在让学生初次体验“设未知数—找直角三角形—列方程”的基本套路。

2.【重要】【高频考点】提升型：矩形的顶点折叠落在对角线上。

如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一点，将矩形沿直线AP折叠，使点B的对应点B‘恰好落在对角线BD上。已知AB=6，AD=8，求折痕AP的长。

思考路径引导：

第一步，找全等：△ABP≌△AB’P。得出AB‘=AB=6，BP=B’P。

第二步，定特殊形：在Rt△ABD中，AB=6，AD=8，由勾股定理易得BD=10。则B‘D=BD-AB’=4。

第三步，构方程：求AP的长，直接求不易。观察图形，AP是折痕，也是对应点B和B’连线的垂直平分线。但如何用AP？转化思路。我们发现BP=B‘P，且点P在BD上。设BP=x，则B’P=x，PD=10-x。

此时，我们拥有了哪些边？在Rt△B‘PD中，B’D=4，PD=10-x，B‘P=x。但这里能解出x吗？不行，因为△B’PD并非直角三角形（除非特殊位置）。那么直角三角形在哪里？

引导学生观察：折痕AP所在的基本图形。连接AB‘，则△ABP和△AB’P都是直角三角形吗？∠ABP是直角，但∠AB‘P呢？由于折叠，∠AB’P=∠ABP=90°。妙极了！

因此，在Rt△AB‘P中，AB’=6，B‘P=x，斜边AP未知；在Rt△ABP中，AB=6，BP=x，斜边AP未知。这里出现了两个直角三角形共用斜边AP。我们可以连接AB，构造更熟悉的图形。实际上，从A点向BD作垂线？这复杂了。最简洁的思路是：我们要求AP，可以将其置于一个直角三角形中，这个三角形要么是Rt△ABP，要么是Rt△AB’P。但这两个三角形都只有一条直角边已知（AB=6），另一条直角边BP=x未知。所以关键在于求x。

求x的方程藏在哪里？回到Rt△B‘PD？它不是直角。那在哪里？观察，因为B’是对称点，连接BB‘，则AP垂直平分BB’。但这依然不易得方程。

换个角度：设AP与BB‘交于点O。在Rt△ABD中，利用面积法或相似，可以求出AO或PO。更通用的方法是：在Rt△ABD中，由折叠性质，AB’=AB，∠AB‘P=90°，所以A、B’、D三点是否共线？不，B‘在BD上，所以A、B’、D构成三角形AB‘D，其中∠AB’D=90°。太好了！点B‘是BD上一点，使得△AB’D是以B‘为直角顶点的直角三角形。因此，AB’²+B‘D²=AD²？不对，AD是斜边？在△AB’D中，AD是边，AD所对角∠AB‘D=90°，所以AD是斜边。确实有AB’²+B‘D²=AD²。代入AB’=6，B‘D=4，计算得6²+4²=36+16=52，而AD=8，64≠52。这矛盾了？说明刚才的推理有误。∠AB’P=90°，P在BD上，B‘也在BD上，那么∠AB’D就等于∠AB‘P吗？是的，因为B’、P、D共线，所以∠AB‘D=∠AB’P=90°。那么△AB‘D就真的是直角三角形了，但验证数据不成立，这说明我们假设的图形是不成立的。实际上，当B’落在BD上时，点P必然是BD与折痕的交点，但B‘的位置并非任意，它必须满足AB’=AB，且B‘在BD上。我们从AB=6，AD=8推出BD=10，则B’D=4，那么AB‘=6，B’D=4，AD=8，不满足勾股定理，这意味着AB‘与B’D垂直的条件并不自动成立。所以这个图形其实是一个【难点】陷阱，它迫使学生更严谨地思考：折叠后，点B的对应点B‘落在BD上，但∠AB’B不一定等于90°，因为折叠过去的角∠AB‘P等于原角∠ABP，而∠ABP是直角，所以∠AB’P是直角，而P在折痕上，但B‘P是线段，P在BD上，所以B’P是BD的一部分，因此∠AB‘B就是∠AB’P=90°。这就矛盾了。所以，这个情形要求△AB‘D是直角三角形，但数据不满足。因此，这道题正确的数据设计应该是让AB、AD、B’D满足勾股数。比如AB=6，AD=8时，B‘D应为多少？6²+B’D²=8²=>B‘D=√28，不是整数，但题目依然可解。此时，设BP=x，则B’P=x，PD=10-x。在Rt△AB‘D中，由AB’=6，B‘D=4，AD=8，可验证∠AB’D不为90°，但∠AB‘P=90°，所以∠AB’B=90°，故在Rt△ABB‘中，BB’可由AB和AB‘及夹角求得，更复杂。

此题更为通用的解法是：设AP与BB’交于O。在Rt△ABD中，由等面积法求得AO。这超出了八年级范围。

为了降低难度且紧扣【重要】方程思想，本环节建议改为更经典的“折痕过对角线顶点”模型，或采用下面的第三种经典模型。

3.【重要】【热点】经典型：将矩形的一个顶点折叠落在对边上（折纸经典问题）。

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8。将矩形沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处。求折痕AE的长和△FEC的面积。

这是教材和各类考试中的【热点】问题。

探究活动：

（1）找全等：△ADE≌△AFE。得AF=AD=8，DE=FE。

（2）用已知：在Rt△ABF中，AB=6，AF=8，由勾股定理易求BF=√(8²-6²)=√28=2√7？等等，8²-6²=64-36=28，BF=√28=2√7，但BC=8，所以FC=BC-BF=8-2√7。这个数据不太好看，但没关系。

（3）构方程：要求AE的长，AE在Rt△ADE中，AD=8已知，DE未知。设DE=EF=x，则EC=DC-DE=6-x。

（4）终极直角三角形：在Rt△EFC中，∠C=90°，EF=x，EC=6-x，FC=8-2√7。由勾股定理：x²=(6-x)²+(8-2√7)²。

（5）解方程：x²=36-12x+x²+64-32√7+28，化简得12x=128-32√7，x=(32-8√7)/3。数据复杂，适合用计算器。

此模型完美展现了“折叠出全等—勾股求一边—设元表各边—聚焦小Rt△—方程定乾坤”的完整解题链条。

（三）拓展·升华——正方形与菱形中的折叠变式

在掌握了矩形折叠的基本模型后，将背景图形迁移至正方形和菱形，检验学生知识迁移能力。

变式1（正方形）：如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG。

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长。

此题为正方形中的折叠，融合了三角形全等的判定和方程思想。第（1）问引导学生在折叠基础上，通过HL判定Rt△ABG与Rt△AFG全等。第（2）问设BG=x，则CG=6-x，GE=EF+FG=3+x（因为FG=BG=x，EF=DE=3），在Rt△CEG中，利用勾股定理列方程求解，是矩形模型的直接迁移。

变式2（菱形）：在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4。按如图方式折叠，使点A落在对角线BD上的点A‘处，折痕为EF，且A’为BD的中点。求折痕EF的长度。

设计意图：菱形背景引入60°角，构造出等边三角形ABD，将折叠置于等边三角形中，使问题更具综合性。学生需先利用菱形和60°角推出△ABD是等边三角形，进而得到BD=4，A‘为中点则A’B=2，然后在Rt△A‘BF或利用相似求解，进一步提升思维的灵活性。

（四）整合·建模——归纳解题通法

经过以上层层递进的探究，师生共同总结出解决平行四边形折叠问题的通用策略，教师将其凝练为口诀：【重要】“折叠问题不用慌，轴对称性是桥梁；对应边角皆相等，全等图形来帮忙。所求线段设未知，勾股定理列方程；若能觅得相似形，比例关系亦能行。折痕垂直平分线，连接对应点莫忘；化动为静寻不变，转化思想记心上。”

特别强调【重要】“方程思想”的核心地位，即通过设未知数，将几何问题转化为代数方程求解，这是解决此类问题的关键一招。

（五）实战·反馈——分层巩固与提升

【基础层】

1.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在C‘处，若AB=3，BC=4，求重叠部分△BED的面积。

2.一张正方形纸片ABCD，E为AD边上一点，将△ABE沿BE折叠，点A落在A’处，延长EA‘交CD于F，若∠ABE=25°，求∠DFE的度数。

【重要/高频层】

3.（中考改编）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD。

（1）求证：AP=DF；

（2）求AP的长。

【难点/挑战层】

4.在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=5，AC=6。将菱形折叠，使点B落在线段OD上的点B’处，折痕为MN，若MB‘⊥BD，求折痕MN的长。

六、板书设计

微专题：平行四边形中的折叠问题

一、本质：轴对称（全等）

性质：对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线。

二、核心方法：方程思想

模型：矩形折叠（点落在边上/对角线上）

步骤：

1.找全等，标等量；

2.用勾股，求已知边；

3.设未知，表各边；

4.构Rt