(2025年)透镜成像的应用例题(带答案)

(2025年)透镜成像的应用例题(带答案)（1）2025年，某科技公司研发的新型3D投影仪采用双凸透镜系统，主投影镜头焦距为12cm。测试时，将一张边长为8cm的正方形胶片放置在镜头前某位置，要求在距离镜头60cm的幕布上呈现清晰的正立放大实像。①求胶片到镜头的实际物距；②计算幕布上像的边长；③若需将像放大至原尺寸的4倍，保持幕布位置不变，应如何调整胶片位置？解答：①已知f=12cm，v=60cm（像距为正，因成实像）。根据透镜公式1/f=1/u+1/v，代入得1/12=1/u+1/60，解得1/u=1/12-1/60=5/60-1/60=4/60=1/15，故u=15cm。②放大率m=|v/u|=60/15=4，原胶片边长8cm，像的边长为8×4=32cm。③放大至4倍时，新放大率m'=4（原放大率已为4，此处应为题目调整后放大率为原4倍即16倍？需修正题意。假设题目要求放大至原像的4倍，即总放大率为16倍，则m''=16=|v'/u'|。因幕布位置不变，若保持v'=60cm，则u'=v'/m''=60/16=3.75cm。但此时u'=3.75cm<f=12cm，成虚像，无法在幕布上呈现实像。因此正确调整应为改变像距：设新放大率m=16=v''/u''，同时1/12=1/u''+1/v''。联立得v''=16u''，代入公式得1/12=1/u''+1/(16u'')=17/(16u'')，解得u''=17×12/16=12.75cm，v''=16×12.75=204cm。因此需将幕布后移至204cm处，同时将胶片从15cm移至12.75cm处。（2）2025年新款智能AR眼镜采用“凸透镜+凹透镜”组合光学系统，其中凹透镜用于矫正用户近视。某用户近视度数为-300度（焦度单位：m⁻¹），需通过凹透镜将无穷远处的物体成像在其远点处。①求该凹透镜的焦距；②若用户未佩戴眼镜时，远点距离眼睛1.5m（假设眼镜与眼睛距离可忽略），验证焦度是否匹配；③若AR眼镜的凸透镜用于将微型显示屏（尺寸10mm×8mm）成像至眼前2m处作为虚拟屏幕，凸透镜焦距为4cm，求显示屏到凸透镜的物距及虚拟屏幕尺寸。解答：①近视镜为凹透镜，焦度Φ=1/f（f单位m），度数D=100Φ，故Φ=D/100=-300/100=-3m⁻¹，f=1/Φ=-1/3≈-0.333m=-33.3cm（负号表示凹透镜）。②近视用户远点为1.5m，即未戴眼镜时，无穷远物体需成像在1.5m处（虚像，像距v=-1.5m）。根据透镜公式1/f=1/u+1/v，u→∞时1/u≈0，故1/f=1/v→f=v=-1.5m。但焦度Φ=1/f=-2/3≈-0.667m⁻¹，度数D=100Φ=-66.7度，与题目中-300度不符，说明题目中用户远点应为f=-0.333m（即远点距离0.333m），此时验证：u→∞，v=f=-0.333m，符合焦度-3m⁻¹，度数-300度。③虚拟屏幕为实像（需被眼睛接收），像距v=2m=200cm，f=4cm。由1/f=1/u+1/v得1/u=1/4-1/200=50/200-1/200=49/200，u=200/49≈4.08cm。放大率m=|v/u|=200/(200/49)=49，显示屏尺寸10mm×8mm，虚拟屏幕尺寸为10×49=490mm=49cm，8×49=392mm=39.2cm。（3）2025年某高校实验室升级的光学显微镜，物镜焦距f₁=2mm，目镜焦距f₂=2.5cm，镜筒长度（物镜后焦点到目镜前焦点的距离）L=18cm。观察时，物体位于物镜前焦平面外0.1mm处。①求物镜成的像到物镜的距离；②计算物镜的放大率；③求显微镜的总放大率（目镜的视角放大率取25cm/f₂）。解答：①物体位于物镜前焦平面外0.1mm，即物距u₁=f₁+Δ=2mm+0.1mm=2.1mm。根据透镜公式1/f₁=1/u₁+1/v₁，代入得1/2=1/2.1+1/v₁，解得1/v₁=1/2-1/2.1=(2.1-2)/(2×2.1)=0.1/4.2=1/42，故v₁=42mm=4.2cm。②物镜放大率m₁=|v₁/u₁|=42mm/2.1mm=20（因u₁和v₁单位相同，可直接计算比值）。③目镜的视角放大率M₂=25cm/f₂=25cm/2.5cm=10。显微镜总放大率M=m₁×M₂=20×10=200倍。（4）2025年某汽车厂商推出的智能驾驶辅助系统中，倒车影像采用“广角镜头+凸透镜”组合，其中广角镜头为凹透镜，焦距f₁=-8cm，凸透镜焦距f₂=15cm，两透镜共轴放置，间距d=5cm。当后方1.2m处的物体通过凹透镜后，经凸透镜成像在CCD传感器上。①求凹透镜对物体成的像的位置和性质；②该像作为凸透镜的物，求凸透镜的物距；③计算最终像到凸透镜的距离及总放大率。解答：①物体到凹透镜的物距u₁=1.2m=120cm，f₁=-8cm。由1/f₁=1/u₁+1/v₁得1/v₁=1/f₁-1/u₁=1/(-8)-1/120=-15/120-1/120=-16/120=-2/15，故v₁=-15/2=-7.5cm（负号表示虚像，位于凹透镜左侧7.5cm处）。②凹透镜成的虚像作为凸透镜的物，两透镜间距d=5cm，故凸透镜的物距u₂=d-|v₁|=5cm-7.5cm=-2.5cm（负号表示物为虚物，位于凸透镜左侧2.5cm处，即凹透镜成的虚像在凹透镜左侧7.5cm，凸透镜在凹透镜右侧5cm，因此虚像在凸透镜左侧7.5cm-5cm=2.5cm处，u₂=-2.5cm）。③对凸透镜，f₂=15cm，u₂=-2.5cm，代入1/f₂=1/u₂+1/v₂得1/v₂=1/15-1/(-2.5)=1/15+2/5=1/15+6/15=7/15，故v₂=15/7≈2.14cm（实像，位于凸透镜右侧2.14cm处）。总放大率m=m₁×m₂=(v₁/u₁)×(v₂/u₂)=[(-7.5)/120]×[(15/7)/(-2.5)]=(-0.0625)×(-0.857)≈0.0536（约放大0.054倍，即缩小，符合广角镜头扩大视野的特点）。（5）2025年某激光研究所开发的高精度激光测距仪，采用“凸透镜+反射镜”系统：激光发射器发出的平行光经凸透镜（焦距f=20cm）会聚后照射到远处目标，反射光经同一凸透镜成像在光电探测器上。若目标距离测距仪500m，求反射光在探测器上的成像位置及光斑直径（激光束原始直径为2mm）。解答：①平行光经凸透镜会聚于焦点，故发射时激光束经凸透镜后会聚于焦点F（距透镜20cm）。但目标在500m处，远大于焦距，可视为物距u→∞，反射光可视为从目标发出的平行光（因目标远，反射光近似平行），经凸透镜后会聚于焦点，故探测器应放置在凸透镜的焦点处，即距透镜20cm位置。②激光束原始直径D₀=2mm，经凸透镜准直后，光束发散角θ≈D₀/f（弧度），θ=2mm/200mm=0.01rad（f=20cm=200mm）。到达500m目标时，光斑直径D=θ×L=0.01rad×500m=5m。反射光经凸透镜会聚，光斑在探测器上的直径d=D×(f/L)=5m×(0.2m/500m)=0.002m=2mm（因凸透镜对反射光的会聚作用相当于将远处光斑缩小，比例为f/L）。（6）2025年某品牌显微镜新增“自动对焦”功能，通过调整物镜与载物台的距离使观察对象清晰成像。已知物镜焦距f=4mm，初始时物体位于物镜前4.2mm处，成像在镜筒内的CCD传感器上（像距v₁=168mm）。若物体因载物台轻微移动，物距变为u₂=4.1mm，为保持像仍清晰，需将物镜向哪个方向移动？移动距离是多少？解答：初始状态：u₁=4.2mm，f=4mm，v₁=168mm（验证：1/4=1/4.2+1/168→1/4≈0.238+0.00595≈0.244，实际计算1/4.2≈0.2381，1/168≈0.00595，和为0.24405，1/4=0.25，存在误差，应修正初始v₁。正确计算：1/v₁=1/4-1/4.2=(4.2-4)/(4×4.2)=0.2/16.8=1/84，故v₁=84mm。物体移动后u₂=4.1mm，新的像距v₂=1/(1/f-1/u₂)=1/(1/4-1/4.1)=1/(0.25-0.2439)=1/0.0061≈163.93mm。初始时物镜与物体距离为u₁=4.2mm，传感器与物镜距离为v₁=84mm；移动后，物体与物镜距离变为u₂=4.1mm（物体靠近物镜0.1mm），为保持传感器位置不变（v₂需仍为84mm），需调整物镜位置。设调整后物镜新的物距为u'，像距v'=84mm，则1/4=1/u'+1/84→1/u'=1/4-1/84=21/84-1/84=20/84=5/21→u'=21/5=4.2mm。但物体实际物距变为4.1mm，说明物体向物镜移动了0.1mm，为保持u'=4.2mm，物镜需向物体方向移动0.1mm，使物体与物镜的相对距离恢复4.2mm。（7）2025年某天文爱好者使用自制反射式望远镜，主镜为凹面镜（焦距f₁=1.2m），副镜为平面镜，将主镜会聚的光反射至侧面的凸透镜目镜（焦距f₂=5cm）。若观察月球时，月球直径对目镜的张角为0.5°，求望远镜的视角放大率及主镜与目镜的间距（忽略副镜尺寸）。解答：反射式望远镜的视角放大率M=f₁/f₂=1.2m/0.05m=24倍。月球实际张角α=0.5°，通过望远镜后张角α'=M×α=24×0.5°=12°。主镜为凹面镜，焦距f₁=1.2m，其焦点与目镜的焦点重合（开普勒望远镜原理），故主镜顶点到焦点的距离为f₁=1.2m，目镜位于焦点处，因此主镜顶点到目镜的距离为f₁+f₂=1.2m+0.05m=1.25m（因平面镜副镜仅改变光路方向，不影响光程长度，故主镜到目镜的间距为f₁+f₂）。（8）2025年某医疗科技公司推出的便携式眼底镜，采用“凸透镜+凹面镜”组合：凸透镜（f₁=3cm）用于将LED光源发出的光会聚到患者眼底，凹面镜（f₂=10cm）用于收集眼底反射光并成像在观察窗口。若患者眼底到凸透镜的距离为2.5cm，求光源需放置在凸透镜的什么位置才能使光线会聚到眼底？若眼底反射光经凹面镜成像在观察窗口（像距v=20cm），求眼底到凹面镜的物距。解答：①凸透镜需将会聚光投射到眼底，即眼底为凸透镜的像点，物距为光源到凸透镜的距离u₁，像距v₁=2.5cm（眼底在凸透镜另一侧2.5cm处）。由1/f₁=1/u₁+1/v₁得1/u₁=1/3-1/2.5=5/15-6/15=-1/15，故u₁=-15cm（负号表示光源为虚物，位于凸透镜左侧15cm处，实际应为光源发出的发散光经凸透镜后会聚到眼底，即光源位于凸透镜的焦点以内，成虚像？需修正：若眼底为被照亮的物体，光源应位于凸透镜的焦点以外，使凸透镜出射平行光或会聚光。正确分析：若要使光线会聚到眼底（物点），光源应位于凸透镜的像点，即眼底作为物点，凸透镜的物为光源，像为眼底。因此u₁为光源到凸透镜的距离，v₁=2