北师大版八年级下册数学4.1因式分解课件

4.1因式分解

第四章

因式分解章节导读

我们已经学习过整式的乘法运算.本章将学习如何把一个多项式化为几个整式乘积的形式.你将体会这一过程与整式乘法的联系，感受这种变形对解决相关问题的意义，进一步提升思维品质和运算能力.

你能把993-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？学

习

目

标1.解掌握因式分解的概念，会判断一个变形是否为因式分解;（重点）2.理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题.（难点）情境引入问题：这两位同学的回答正确吗？你们觉得他们计算出的总金额一样吗？它们之间又有怎样的关系？某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”.新知探究

探究一：因式分解的定义问题：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.所以，993-99能被100整除.993-99还能被哪些正整数整除?小明是这样做的：在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.新知探究a3-a

=a(a2-1)

在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式.逆用平方差公式=a(a+1)(a-1).你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.观察下列拼图过程，写出相应的代数式.a+b+cmambmcm(1)新知探究

=

.xxx111x1(2)x+1x+1

=

.ma+mb+mcm(a+b+c)x2+2x+1(x+1)2新知探究观察以下等式，等号两边的代数式有什么不同？x2+2x+1=(x+1)2.ma+mb+mc=m(a+b+c)

,a3-a

=

a(a+1)(a-1),多项式整式的积你能总结出因式分解的定义吗？像这样的变形叫做因式分解.新知探究因式分解的定义知识归纳

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.新知探究1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(

)A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2C新知探究判定一个变形是因式分解的条件：方法归纳(1)等式左边是多项式；(2)等式右边是积的形式；

(3)等式右边的因式全是整式.2.根据左面的算式进行因式分解:(1)3x2-3x=_________;(2)ma+mb+mc=_________;(3)m2-16=__________;(4)y2-6y+9=________.1.计算下列各式:(1)

3x(x-1)=__,(2)

m(a+b+c)=______,(3)(m+4)(m-4)=_____,(4)(y-3)2=

.新知探究

探究二：因式分解与整式乘法的关系3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+93x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(y-3)2整式乘法因式分解例如:如图，一块草坪被分成三部分，用不同的方式表示这块草坪的面积。

=

.新知探究3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明.ma+mb+mcm(a+b+c)因式分解整式乘法新知探究因式分解与整式乘法的关系：知识归纳多项式几个整式的积因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.新知探究2.对于:①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3从左到右的变形,下列表述正确的是(

)A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解C典例分析

下列从左到右的变形中是因式分解的有(

)①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1；

②x3+x＝x(x2+1)；③(x-y)2＝x2-2xy+y2；

④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).A.1个

B.2个C.3个D.4个例1解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B.B

若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.例2典例分析解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)

=ax2+ax-6a.

∴a=1，b=﹣6a=﹣6.方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.

巩固练习C

C巩固练习3.把x3−xy2因式分解，正确的结果是()A.x2+xy(x−y)B.x(x2−y2)C.x(x−y2)D.x(x+y)(x−y)4.如果多项式x2-mx-35可因式分解为(x-5)(x+7),那么m的值是(

)A.2B.-2C.12D.-12BD5.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (

)A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198B巩固练习6.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是

，从右到左的变形是

.整式乘法因式分解7.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:

.8.完成下列题目：（1）x(x-2)＝_______，（2）(x+y)(x-y)＝_______，（3）(x+1)2＝________.根据上面的填空，解决下列问题：（1）x2-2x＝(

)(

),（2）x2-y2＝(

)(

),（3）x2+2x+1＝(

)2.巩固练习x2-y2x

x-2x2-2xx2+2x+1x+y

x-y

x+1巩固练习9.小明在解答“因式分解:(1)3x2-9x+3;(2)9x2-4.”这道题目时,是这样做的:解:(1)3x2-9x+3=3(x2-6x+1).(2)9x2-4=(3x+2)(3x-2).请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对.解:(1)因为3(x2-6x+1)=3x2-18x+3≠3x2-9x+3,所以小明分解得不对.(2)因为(3x+2)(3x-2)=(3x)2-4=9x2-4,所以小明分解得对.巩固练习10.通过计算说明255+511能否被30整除.解:原式=510+511=510+5×510=6×510=6×5×59=30×59.∵30×59能被30整除,∴255+511能被30整除.巩固练习11.若多项式x2-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值.解:因为x2-mx+4=(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,所以-m=n-2，