《矩阵》-第四章第二节向量组的线性相关性

目录01向量组的线性组合02线性相关性1.向量组的线性组合定义6给定向量组，对于任何一组实数表达式称为称为这个线性组合的系数．1.向量组的线性组合定义7给定向量组和向量若存在一组数使则称，又称.11.向量组的线性组合例3设三维向量可以看到，因此向量是向量组的线性组合．11.向量组的线性组合例4

n维零向量可以由任意n维向量组线性表示，这是因为11.向量组的线性组合例5任意n维向量都可以由n维基本向量组线性表示．这是因为1.向量组的线性组合定理1

向量可由向量组线性表示的充要条件是线性方程组1.向量组的线性组合时，可由线性表示为．有解，且该方程组的解为1.向量组的线性组合例6某医院药剂科用五种中草药（A－E），根据适当的比例配制成了四种中成药，各成份用量如下表．某药店要购买这四种中成药，但药剂科的4号中成药已经卖完，请问能否用其它中成药配制出4号中成药？药物用量成份表（单位：g）1.向量组的线性组合解：把每一种中成药的成分用量看作一个5维列向量，便得到一个含有4个向量的向量组，记为，问题的实质是判断向量能否由线性表示．设，由1.向量组的线性组合得解方程组的解由于方程组有解，所以向量可以由向量组线性表示，且，即4号中成药可由1，2，3号中成药按3:1:1的比例配制．1.向量组的线性组合定理2

向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩．1.向量组的线性组合定义8设有两个向量组和如果向量组的每一个向量都可以由向量组线性表示，则称1.向量组的线性组合定义9如果向量组和向量组可以互相线性表示，则称,记作1.向量组的线性组合向量组等价的性质：(1)反身性：任意向量组和它自身等价，即；(2)对称性：如果，则有；(3)传递性：如果，且,则．1.向量组的线性组合定理3

向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即．1.向量组的线性组合推论1

向量组与向量组等价的充分必要条件是，其中是向量组所构成的矩阵．1.向量组的线性组合定理4

向量组能由向量组线性表示，则2.线性相关性定义10给定向量组，如果存在不全为零的数使则称向量组线性相关，否则称为线性无关．2.线性相关性备注：(1)向量组只含有一个向量时，线性无关的充分必要条件是．(2)仅含两个向量的二维向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量对应分量成正比，两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线；(3)三个三维向量线性相关的几何意义是这三个向量共面．2.线性相关性定义10如果向量组和向量组可以互相线性表示，则称,记作2.线性相关性定理5

向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示．2.线性相关性定理6

n维列向量组线性相关的充要条件是矩阵的秩小于向量的个数s．2.线性相关性推论1

n维列向量组线性无关的充要条件是矩阵的秩等于向量的个数s．2.线性相关性推论2

n维列向量组线性无关(线性相关)的充要条件是矩阵的行列式不等于(等于)零．2.线性相关性例7讨论n维基本向量组的线性相关性．解：n维基本向量组构成的矩阵是n阶单位矩阵，由，知，即等于向量组中向量的个数，故由推论3知此向量组是线性无关的．2.线性相关性例8,试讨论向量组及向量组的线性相关性．解：对矩阵施行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵及的秩，再由定理6可得出结论．可见故向量组线性相关，向量组线性无关．2.线性相关性定理7

若向量组有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关．推论4

线性无关的向量组中任一部分组皆线性无关．2.线性相关性定理8

若向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量可由线性表示，且表示法唯一．2.线性相关性定理9

设向量组和向量组,且向量组能由向量组线性表示，若,则向量组线性相关.2.线性相关性推论5设向量组能由向量组线性表示，若向量组线性相关，则.2.线性相关性推论6设向量组与可以互相线性表示，若与都是线性相关的，则.2.线性相关性例9设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：(1)能由线性表示；(2)不能由线性表示．证明：(1)因