2027届新高考数学热点精准复习随机事件与概率、古典概型

2027届新高考数学热点精准复习随机事件与概率、古典概型

基本结果

子集

3.事件的关系和运算定义符号表示包含（或包含于）相等_______并事件（或和事件）一定发生

至少有一个定义符号表示交事件（或积事件）互斥（或互不相容）互为对立同时不能同时发生续表

4.古典概型特征（1）有限性：样本空间的样本点只有________（2）等可能性：每个样本点发生的可能性______概率公式有限个相等

5.概率的基本性质性质1非负性性质2极端性性质3互斥可加性性质4对立互补性

性质5“单调”性性质6容斥性

续表6.频率与概率（1）概率：对随机事件发生____________的度量.可能性大小

稳定于

◆对点演练◆题组一

常识题

3件中至多有2件一级品

3.［教材改编］某商场共有三层，最初规划第一层为35家生活用品店，第二层为35家服装店，第三层为30家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量（单位：家）统计如下表：生活用品店服装店餐饮店第一层2573第二层4274第三层6123若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为__；若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为__.

题组二

常错题◆

索引：对古典概型的特征掌握不牢;对样本空间或指定事件包含的样本点个数计算错误;确定事件间的关系时出错,进一步导致应用概率性质出错.

③[解析]

①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件,所以不是古典概型；②④的样本空间的样本点不是有限个，不是古典概型；③符合古典概型的特点，是古典概型.故填③.5.博览会安排了序号分别为1，2，3的三辆车，等可能随机前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号，则乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.按照方案一、方案二乘坐到序号为3的车包含的样本点个数分别是______.3，2

探究点一

事件的关系与运算例1（1）[2025·山东潍坊模拟]从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是(

)A.至少一个红球和都是红球

B.至少一个黑球和都是红球C.至少一个黑球和至少一个红球

D.恰有一个红球和恰有一个黑球［思路点拨］由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断.√[解析]

对于A，至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，所以A不符合题意；对于B，至少一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B不符合题意；对于C，至少一个黑球和至少一个红球不互斥，一个黑球、两个红球这种情况同时发生，所以C不符合题意；对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，所以D符合题意.故选D.（2）食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法.压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低；浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用.我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨法的有芝麻油、花生油等，常见的采用浸出法的有油菜籽油，大豆油等.现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是(

)A.“取出芝麻油”和“取出花生油”B.“取出浸出油”和“取出大豆油”C.“取出油菜籽油”和“取出大豆油”D.“取出压榨油”和“取出浸出油”［思路点拨］根据互斥事件和对立事件的定义，结合生活常识直接判断即可.√[解析]

对于A，“取出芝麻油”和“取出花生油”互斥但不对立；对于B，“取出浸出油”和“取出大豆油”不互斥，也不对立；对于C，“取出油菜籽油”和“取出大豆油”互斥但不对立；对于D,“取出压榨油”和“取出浸出油”是对立事件.故选D.[总结反思]互斥事件、对立事件的判定定义法不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件；对立事件一定是互斥事件集合法变式题（1）若干人站成一排，其中为互斥事件的是(

)A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙站排尾”C.“甲站排头”与“乙不站排头”

D.“甲不站排头”与“乙不站排头”√[解析]

对于A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，为互斥事件，所以选项A正确；对于B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可能同时发生，不是互斥事件，所以选项B不正确；对于C，因为“甲站排头”与“乙不站排头”可能同时发生，不是互斥事件，所以选项C不正确；对于D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可能同时发生，不是互斥事件，所以选项D不正确.故选A.

√

探究点二

古典概型例2（1）[2024·全国甲卷]甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(

)

［思路点拨］思路一：画出树状图列出所有结果即可,适合数据较小不复杂的情况；思路二:先考虑排尾,安排甲或乙,再考虑丙的位置,最后安排剩余两人即可.√

变式题（1）将三个1和两个2随机排成一行，则两个2不相邻的概率为(

)

√

探究点三

概率的基本性质的应用

A.两个点数都是偶数

B.至多有一个点数是偶数C.两个点数都是奇数

D.至多有一个点数是奇数［思路点拨］由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.√

［思路点拨］应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可.

√

A.在一年内需要维修的概率为0.25B.在一年内不需要维修的概率为0.75C.在一年内维修不超过1次的概率为0.90D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94√√√

探究点四

频率与概率

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5√［思路点拨］根据频率与概率的关系，由题意，在10组随机数中找出表示3例心脏手术全部成功的随机数，再利用古典概型的概率公式求解.

序号频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506根据以上信息，下列说法正确的有(

)A.试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性B.试验次数较小时，频率波动较大，试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近D.要得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率［思路点拨］根据频率与概率的关系判断.√√

492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499

A.0.1

B.0.15

C.0.25

D.0.5√

334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115据此估计甲获得冠军的概率为_____.0.65

【备选理