【数学】排列数第2课时-排列数的应用课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2排列数

第2课时

排列数的应用复习回顾1.什么是排列？排列的两个关键特征是什么？2.排列数公式是什么？定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.特征：(1)元素的互异性(2)元素的有序性

导入新课生活中的排列问题往往存在各种限制条件，比如升旗仪式时，要求每班一列纵队，女生在前，男生在后；跑操时，同样要求女生在前，男生在后，但要求每横排8人。今天我们就一起学习如何解决有限制条件的排列问题。【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；题型一：特殊元素（特殊位置）优先法解：（1）

第一步：甲在中间以及两端3个位置选一个站，有3种选法；第二步：甲选定位置后，余下的6人在余下的6个位置作全排列，有

种排法；甲

依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；题型一：特殊元素（特殊位置）优先法解：（2）

第一步：安排甲、乙的位置，有

种排法；第二步：余下的5人在余下的5个位置作全排列，有

种排法；甲

依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

乙甲乙

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；题型一：特殊元素（特殊位置）优先法甲在中间5个位置任选一个位置，乙有5个位置可选甲在最右端，乙在余下的6个位置可任选分类讨论【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；题型一：特殊元素（特殊位置）优先法

第二类：甲在最右端，有

种排法；

依据分类加法计数原理，不同的排队方法有：

方法总结1、对于存在特殊元素或特殊位置的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置；若有多个特殊约束，需考虑分类讨论。

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（4）全体站成一排，女生必须站在一起；（5）全体站成一排，男生、女生各站在一起；（6）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；题型二：相邻问题——捆绑法【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（4）全体站成一排，女生必须站在一起；（5）全体站成一排，男生、女生各站在一起；（6）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；题型二：相邻问题——捆绑法解：（4）

第一步（捆绑）：把所有的女生看成一个整体，与3名男生组成4个元素全排列，有

种排法；

第二步（松绑）：4名女生内部有

种排法；

依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（4）全体站成一排，女生必须站在一起；（5）全体站成一排，男生、女生各站在一起；（6）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；题型二：相邻问题——捆绑法解：（5）

第一步（捆绑）：全体男生、女生各看成一个整体全排列，有

种排法；

第二步（松绑）：3名男生内部有

种排法，4名女生内部有

种排法；

依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（4）全体站成一排，女生必须站在一起；（5）全体站成一排，男生、女生各站在一起；（6）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；题型二：相邻问题——捆绑法解：（6）

第一步：甲、乙两人有

种排法；除甲、乙外，从其余5人中任取2人站在甲、乙中间，有

种排法；

第二步：把已排好的4人看成一个整体，与余下的3人作全排列，有

种排法；依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

方法总结1、某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”。2、“捆绑法”的解题思路：先捆绑，再整体排，最后内部松绑，再排。【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（7）全体站成一排，男生不能站在一起；（8）全体站成一排，男生、女生各不相邻；题型三：不相邻问题——插空法【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（7）全体站成一排，男生不能站在一起；（8）全体站成一排，男生、女生各不相邻；题型三：不相邻问题——插空法解：（7）

第一步：先排4名女生，有

种排法

；

第二步：把3名男生安排在4名女生隔成的5个空隙中，有

种排法；依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（7）全体站成一排，男生不能站在一起；（8）全体站成一排，男生、女生各不相邻；题型三：不相邻问题——插空法解：（8）

第一步：先排3名男生，有

种排法

；

第二步：把4名女生安排在3名男生隔成的4个空隙中，有

种排法；依据分步乘法计数原理，不同的排队方法有：

方法总结1、某些元素要求必须不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空隙中，这种方法称为“插空法”，即“不相邻问题插空法”；2、“插空法”的解题思路：“先排不约束，后插不相邻”，注意：空隙数=无约束元素个数+1（包括两端）。【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（9）全体站成一排，甲必须站在乙的左边（可以不相邻）；（10）全体站成一排，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；题型四：定序问题——倍缩法或空位法

解：（9）

法一：7人排队，有

种排法；甲乙两人有

种顺序，

只有一种顺序是要求的，所以共有

种不同的排法。

法二：先安排除甲乙外其他5人的位置，有

种排法

，余下的两个空位，甲乙两人按顺序（甲在乙的左边）往空位里插，所以共有

种不同的排法。

【例题】3名男生、4名女生按照不同的要求排队拍照，求下列不同的排队方案的种数：（9）全体站成一排，甲必须站在乙的左边（可以不相邻）；（10）全体站成一排，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；题型四：定序问题——倍缩法或空位法

解：（9）

法一：7人排队，有

种排法；甲乙丙三人有

种顺序，

只有一种顺序是要求的，所以共有

种不同的排法。

法二：先安排除甲乙丙外其他4人的位置，有

种排法

，余下的3个空位，甲乙丙两人按顺序往空位里插，所以共有

种不同的排法。

方法总结某些元素的顺序固定（不一定相邻），解决这类问题的方法有：1、倍缩法：n个元素中有k个元素顺序固定①先求n个元素的全排列

；②k个元素有

种排法，只有一种是我们需要的顺序，所以所求的排法有

种。2、空位法①先排没有顺序要求的元素；②再把必须定序的元素往空位里插。

课堂练习某种产品的加工需要经过5道工序（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？

课堂小结1.

本节课学习了排列数应用的四种核心方法：特殊元素/位置：优先法、间接法相邻问题：捆绑法（先整体，后内部）不相邻问题：插空法（先排无限制，再插空）定序问题：倍缩法、空位法（先排无限制，再定序插空）2.

解题关键：先分析限制条件，再选择合适方法，遵循分步、分类计数原理。课后练习1、一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上。（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少中不同的放法？（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？课后练习2、由0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？课后练习3、甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，