2026年上海市静安区中考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．函数的定义域是（）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．当是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（）A． B． C． D．4．已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（）A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，45．直角坐标平面上有一点，其中，先将点沿着直线翻折，得到点，再将点绕着原点逆时针旋转后得到点，那么点与点的位置关系是（）A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称6．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次联结四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（）A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：．8．分解因式：．9．已知正比例函数图象经过点，那么当自变量的值增大时，的值随之．（填“增大”或“减小”10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．11．方程的解是．12．我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么．13．如图，在△中，点是中点，设，，那么．（用含向量、的式子表示）14．为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为次．15．某十人小队进行一项抽奖活动，共准备了10张奖券，奖券上标的数字分别为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是．16．如果抛物线（其中、、是常数，且经过点、，那么抛物线与轴的交点坐标是．17．如图，△中，点在边上，，，，那么的值等于．18．如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足点在轴负半轴上，已知点，关于原点对称．（1）当点的横坐标是时，求△的面积；（2）当时，求直线的表达式．20．（10分）如果关于的分式方程的解为正数，求常数的取值范围．21．（10分）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点、在弓形弧上，边的长比的2倍多4米．（1）求该弓形所在圆的半径；（2）求的长．22．（10分）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为元．（1）求关于的函数解析式，并写出定义域．（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？23．（12分）如图，正方形中，点在边上，点是正方形外一点，联结、、，对角线与线段相交于点，如果，且．（1）求证：，；（2）当点是边的中点时，请直接写出△与△面积的比值：．24．（12分）如图1，四边形中，，，，．（1）求证：△△，并求△与△的相似比；（2）如图2，我们以直线为轴，以过点且垂直于线段的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知．①求图象经过点、、三点的二次函数解析式；②如果我们将（1）中△与△的关系看作是一种图形变换，这种变换是将△先绕点按顺时针方向旋转，使点落在上，点落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的倍，从而得到△，我们将△称为△的像，将△称为△的原像．如果△是△的像，而△是△的原像，试直接写出点和点的坐标：点的坐标是，点的坐标是．25．（14分）菱形中，点在线段上，联结、．（1）如图1，联结交于点，若，求证：；（2）如图2，，，点在线段上，且满足，设，，①求关于的函数解析式，并写出定义域；②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．函数的定义域是（）A． B． C． D．解：分式的分母不能为0，，解得，因此函数的定义域为．故选：．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则，对各选项逐一计算判断，即可得到正确结果．解：根据单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则逐项分析判断如下：、，选项计算正确，符合题意；、，选项计算错误，不符合题意；、，选项计算错误，不符合题意；、，选项计算错误，不符合题意．故选：．3．当是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（）A． B． C． D．【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可．解：利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形逐项分析判断如下：、当时，，0不是正数，故选项不符合题意；、当时，，0不是正数，故选项不符合题意；、，当时，，故选项不符合题意；、，，，即代数式的值一定为正数，故选项符合题意．故选：．4．已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（）A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4【分析】根据平均数和方差的定义解答即可．解：一组数据，，的平均数是3，另一组数据，，的平均数是．一组数据，，的方差是2，另一组数据，，的方差是．故选：．5．直角坐标平面上有一点，其中，先将点沿着直线翻折，得到点，再将点绕着原点逆时针旋转后得到点，那么点与点的位置关系是（）A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【分析】由点的坐标，结合折叠的性质，可得出点的坐标，由点的坐标，结合旋转的性质，可得出点的坐标，再对照点，的坐标，即可得出结论（画出图形，观察图形亦可）．解：点的坐标为，，将点沿着直线翻折，得到点，点的坐标为；将点绕着原点逆时针旋转后得到点，点的坐标为，点与点关于轴对称．故选：．6．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次联结四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（）A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形【分析】对于等腰梯形、矩形、平行四边形和菱形，分别分析它们的对角线性质，再根据垂足四边形的定义判断其形状．解：、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，故选项错误，不符合题意；、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意；、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，故选项错误，不符合题意．故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：1．【分析】根据零指数幂的运算法则：计算即可．解：，故答案为：1．8．分解因式：．【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．解：，故答案为：．9．已知正比例函数图象经过点，那么当自变量的值增大时，的值随之减小．（填“增大”或“减小”【分析】根据题意，求出的值，再结合正比例函数的性质即可解决问题．解：由题知，因为正比例函数图象经过点，所以，解得，所以当自变量的值增大时，的值随之减小．故答案为：减小．10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得．故答案为：．11．方程的解是．【分析】利用因式分解法得到或，再分别解两个无理方程，然后进行检验确定原方程的解．解：，或，解得，解得，检验：当时，没有意义，当时，，则为原方程的解，所以原方程的解为．故答案为：．12．我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么50．【分析】延长到点，由，得到，进而求出，再根据得到．解：如图，延长到点，，（两直线平行，同旁内角互补），，，，，（两直线平行，内错角相等），故答案为：50．13．如图，在△中，点是中点，设，，那么．（用含向量、的式子表示）【分析】根据平面向量三角形加减运算法则计算．解：由题意可知，，点是中点，，，故答案为：．14．为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为8次．【分析】根据10次的人数及其百分比可得总人数，再求出样本中“引体向上”次数为7次的人数，根据中位数的定义求解可得．解：本次接受随机抽样调查的男生人数为（人，样本中“引体向上”次数为7次的人数为：（人，中位数为（次．故答案为：8．15．某十人小队进行一项抽奖活动，共准备了10张奖券，奖券上标的数字分别为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是．【分析】先确定10个数据哪些为正多边形中心角，然后根据概率公式计算．解：正三十六边形的中心角为，正十八边形的中心角为，正十二边形的中心角为，正九边形的中心角为，正六边形的中心角为，正四边形的中心角为，所以第一个上去抽奖的同学中奖的概率．故答案为：．16．如果抛物线（其中、、是常数，且经过点、，那么抛物线与轴的交点坐标是，．【分析】先利用抛物线的变换规律得到抛物线先右平移1个单位得到抛物线，然后把点、向右平移1个单位得到抛物线与轴的交点坐标．解：抛物线先右平移1个单位得到抛物线，而抛物线与轴的交点坐标为、，抛物线与轴的交点坐标是，．故答案为：，．17．如图，△中，点在边上，，，，那么的值等于1．【分析】先证明△△，利用得方程，去分母得，再将方程两边同除以再移项即可．解：，，△△，，，，整理得，方程两边同除以，，，故答案为：1．18．如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为10或13．【分析】证明△和△全等得，设，，则，，由此得，则①，证明△和△相似得，则，由此得②，由①②解得，，由此得当时，，当时，，据此可得出的长．解：四边形是正方形，，，，，△是直角三角形，在△中，，又，，在△和△中，，△△，，设，，，，，，，①，在△和△中，，，△△，，，②，将①代入②得：，整理得：，解得：，，当时，，当时，，的长为10或13．故答案为：10或13．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足点在轴负半轴上，已知点，关于原点对称．（1）当点的横坐标是时，求△的面积；（2）当时，求直线的表达式．【分析】（1）依据题意，先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可；（2）依据题意，设点的坐标为，，则点的坐标为，故，又点与关于原点对称，可得，又在△中，，可得，结合，从而，故（正值舍去），进而，，，，再由待定系数法计算可以得解．解：（1）点在反比例函数的图象上，轴于点，，点，关于原点对称，，；（2）由题意，设点的坐标为，，点的坐标为．．又点与关于原点对称，．在△中，，．又，．（正值舍去）．，，，．设直线的表达式为，，．直线的表达式为．20．（10分）如果关于的分式方程的解为正数，求常数的取值范围．【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果．解：关于的分式方程的解为正数，方程两边同时乘以得：，去括号得：，移项并合并同类项得：，解得，由题意可得：，解得，，，，，综上所述，常数的取值范围且．21．（10分）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点、在弓形弧上，边的长比的2倍多4米．（1）求该弓形所在圆的半径；（2）求的长．【分析】（1）如图，设圆心为，连接．设的半径为米，则米，米，利用勾股定理构建方程求解；（2）连接，设交于点，设米，则米，利用勾股定理构建方程求解．解：（1）如图，设圆心为，连接．设的半径为米，则米，米，，（米，在△中，，解得．答：该弓形所在圆的半径为25米；（2）连接，设交于点，设米，则米，，米，在△中，，整理得，解得或（舍去）．米．22．（10分）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为元．（1）求关于的函数解析式，并写出定义域．（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？【分析】（1）先算出4月总就餐60顿，每顿九折后元，总消费元，用卡面金额减消费额得，再由余额非负求范围；（2）已知月底余额108元，将代入函数解析式，解方程求出每餐标价的值；（3）先由九折消费1080元算出原价总额，再用原价总额减实际支付的1000元，得到总优惠金额．解：（1）4月共30天，每天2餐，总就餐次数为：顿，每顿九折后扣款：元，总扣款：元，卡内余额：，由，得，又，故定义域为，综上，函数解析式为；（2）依题意，，代入解析式：，解得，答：他该月每餐标价是18元；（3）卡内1080元全部用完，即九折后消费1080元，原价总额为：元，张爷爷实际支付1000元，总优惠：元，答：他实际共获得200元优惠．23．（12分）如图，正方形中，点在边上，点是正方形外一点，联结、、，对角线与线段相交于点，如果，且．（1）求证：，；（2）当点是边的中点时，请直接写出△与△面积的比值：10．【分析】（1）先证明△△，得，再证明△△，得△是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边是直角边的倍，即可证明；（2）先证明△△，再证明△△，设，得，，最后利用求解即可．【解答】（1）证明：是正方形的对角线，，，，即，，，△△，，，，即，，，△△，△是等腰直角三角形，；（2）解：，，△△，，，，△△，点是边的中点，设，则，，，．故答案为：10．24．（12分）如图1，四边形中，，，，．（1）求证：△△，并求△与△的相似比；（2）如图2，我们以直线为轴，以过点且垂直于线段的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知．①求图象经过点、、三点的二次函数解析式；②如果我们将（1）中△与△的关系看作是一种图形变换，这种变换是将△先绕点按顺时针方向旋转，使点落在上，点落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的倍，从而得到△，我们将△称为△的像，将△称为△的原像．如果△是△的像，而△是△的原像，试直接写出点和点的坐标：点的坐标是，点的坐标是．【分析】（1）导角易证△与△相似，根据，以及对应线段的比例关系，可以得