江苏专用2025届南京高考数学模拟试题二模（附答案）

[江苏专用]2025届南京高考数学模拟试题[二模]（附答案）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)答案：C解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，因式分解得\((x1)[x(a1)]=0\)，则\(x=1\)或\(x=a1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a1=1\)，即\(a=2\)时，\(B=\{1\}\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a1=2\)，即\(a=3\)时，\(B=\{1,2\}\)，也满足\(B\subseteqA\)。所以实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)。2.已知复数\(z=\frac{2i}{1+i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：化简复数\(z\)，\(z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1i)}{(1+i)(1i)}=\frac{2i2i^2}{1i^2}\)。因为\(i^2=1\)，所以\(z=\frac{2i+2}{2}=1+i\)。根据共轭复数的定义，\(z=1+i\)的共轭复数\(\overline{z}=1i\)。在复平面内，\(\overline{z}=1i\)对应的点为\((1,1)\)，位于第四象限。3.函数\(y=\frac{1}{2}x^2\lnx\)的单调递减区间为（）A.\((1,1]\)B.\((0,1]\)C.\([1,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)答案：B解析：函数\(y=\frac{1}{2}x^2\lnx\)的定义域为\((0,+\infty)\)。对\(y=\frac{1}{2}x^2\lnx\)求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n1}\)，\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，可得\(y^\prime=x\frac{1}{x}=\frac{x^21}{x}=\frac{(x+1)(x1)}{x}\)。令\(y^\prime\leqslant0\)，因为\(x\gt0\)，则\(\frac{(x+1)(x1)}{x}\leqslant0\)等价于\((x+1)(x1)\leqslant0\)且\(x\gt0\)。解不等式\((x+1)(x1)\leqslant0\)得\(1\leqslantx\leqslant1\)，又\(x\gt0\)，所以\(0\ltx\leqslant1\)。所以函数\(y=\frac{1}{2}x^2\lnx\)的单调递减区间为\((0,1]\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m\)等于（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(6\)D.\(8\)答案：D解析：先求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+3,m2)=(4,m2)\)。因为\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，根据向量垂直的性质，若\(\overrightarrow{c}\perp\overrightarrow{d}\)，则\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=0\)。所以\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=4\times3+(m2)\times(2)=0\)。即\(122m+4=0\)，\(162m=0\)，移项可得\(2m=16\)，解得\(m=8\)。5.已知\(\sin(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{1}{3}\)，则\(\cos(\frac{2\pi}{3}+2\alpha)\)的值为（）A.\(\frac{7}{9}\)B.\(\frac{7}{9}\)C.\(\frac{4\sqrt{2}}{9}\)D.\(\frac{4\sqrt{2}}{9}\)答案：A解析：因为\(\cos(\frac{2\pi}{3}+2\alpha)=\cos[\pi(\frac{\pi}{3}2\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)\)。根据二倍角公式\(\cos2\theta=12\sin^{2}\theta\)，令\(\theta=\frac{\pi}{6}\alpha\)，则\(\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)=12\sin^{2}(\frac{\pi}{6}\alpha)\)。已知\(\sin(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{1}{3}\)，所以\(\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)=12\times(\frac{1}{3})^2=1\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\)。则\(\cos(\frac{2\pi}{3}+2\alpha)=\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)=\frac{7}{9}\)。6.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率为\(\sqrt{3}\)，则双曲线\(C\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\sqrt{2}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x\)C.\(y=\pm2x\)D.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)答案：A解析：双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距，且\(c^2=a^2+b^2\)）。已知离心率\(e=\sqrt{3}\)，即\(\frac{c}{a}=\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{3}a\)。又因为\(c^2=a^2+b^2\)，所以\((\sqrt{3}a)^2=a^2+b^2\)，\(3a^2=a^2+b^2\)，移项可得\(b^2=2a^2\)，即\(b=\sqrt{2}a\)。双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，把\(b=\sqrt{2}a\)代入可得渐近线方程为\(y=\pm\sqrt{2}x\)。7.已知函数\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则\(f(x)\)的解析式为（）[此处应插入函数图象，不过我们继续文字解析]已知图象过\((\frac{\pi}{12},0)\)，\((\frac{7\pi}{12},0)\)，且在\(x=\frac{\pi}{3}\)时取得最大值\(2\)。A.\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)B.\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)C.\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{3})\)D.\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)答案：A解析：由图象可知\(A=2\)。函数的周期\(T\)满足\(\frac{T}{2}=\frac{7\pi}{12}\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\)，则\(T=\pi\)。根据\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（\(\omega\gt0\)），可得\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\)。所以\(f(x)=2\sin(2x+\varphi)\)。因为函数图象过点\((\frac{\pi}{12},0)\)，所以\(2\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\varphi)=0\)，即\(\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)=0\)。则\(\frac{\pi}{6}+\varphi=k\pi\)，\(k\inZ\)，\(\varphi=k\pi\frac{\pi}{6}\)。又因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以当\(k=0\)时，\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。所以\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)。8.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leqslant0\\2x,x\gt0\end{cases}\)，若\(f(x)=10\)，则\(x\)的值为（）A.\(3\)B.\(3\)C.\(3\)或\(5\)D.\(3\)或\(3\)答案：A解析：当\(x\leqslant0\)时，\(f(x)=x^2+1\)，由\(f(x)=10\)，即\(x^2+1=10\)，\(x^2=9\)，解得\(x=\pm3\)。因为\(x\leqslant0\)，所以\(x=3\)。当\(x\gt0\)时，\(f(x)=2x\)，由\(f(x)=10\)，即\(2x=10\)，解得\(x=5\)，但\(5\)不满足\(x\gt0\)，舍去。所以\(x\)的值为\(3\)。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(A\)与\(B\)一定对立B.若事件\(A\)与\(B\)对立，则\(A\)与\(B\)一定互斥C.若\(P(A)+P(B)=1\)，则事件\(A\)与\(B\)一定对立D.若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A)+P(B)\leqslant1\)答案：BD解析：选项A：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生。若事件\(A\)与\(B\)互斥，不一定有\(A\cupB=\Omega\)（样本空间），所以\(A\)与\(B\)不一定对立，A错误。选项B：若事件\(A\)与\(B\)对立，则\(A\capB=\varnothing\)且\(A\cupB=\Omega\)，满足互斥事件的定义，所以\(A\)与\(B\)一定互斥，B正确。选项C：若\(P(A)+P(B)=1\)，不能得出\(A\capB=\varnothing\)且\(A\cupB=\Omega\)，例如在几何概型中，设\(x\in[0,1]\)，事件\(A\)为\(x\in[0,0.5]\)，事件\(B\)为\(x\in[0.5,1]\)，\(P(A)+P(B)=1\)，但\(A\)与\(B\)不是对立事件（因为\(x=0.5\)时\(A\)与\(B\)同时发生），C错误。选项D：若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)，又\(P(A\cupB)\leqslant1\)，所以\(P(A)+P(B)\leqslant1\)，D正确。10.已知直线\(l_1:ax+2y+6=0\)，\(l_2:x+(a1)y+a^21=0\)，则“\(a=1\)”是“\(l_1\parallell_2\)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：若\(l_1\parallell_2\)，则\(a(a1)2\times1=0\)，即\(a^2a2=0\)，因式分解得\((a2)(a+1)=0\)，解得\(a=2\)或\(a=1\)。当\(a=2\)时，\(l_1:2x+2y+6=0\)，即\(x+y+3=0\)；\(l_2:x+(21)y+2^21=0\)，即\(x+y+3=0\)，此时\(l_1\)与\(l_2\)重合，不符合要求。当\(a=1\)时，\(l_1:x+2y+6=0\)，\(l_2:x+(11)y+(1)^21=0\)，即\(x2y=0\)，此时\(l_1\parallell_2\)。所以当\(l_1\parallell_2\)时，\(a=1\)；当\(a=1\)时，\(l_1\parallell_2\)。所以“\(a=1\)”是“\(l_1\parallell_2\)”的充分必要条件。11.已知正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(1\)，点\(P\)是线段\(A_1C_1\)上的动点，则（）A.线段\(BP\)长度的最小值为\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)B.三棱锥\(PABC\)的体积为定值C.直线\(BP\)与平面\(ABC_1D_1\)所成角的正弦值的最大值为\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)D.当\(A_1P=\frac{1}{3}A_1C_1\)时，\(\triangleBPD_1\)的面积为\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)答案：ABC解析：选项A：连接\(B_1D_1\)，\(A_1C_1\)，交点为\(O_1\)，连接\(BO_1\)，因为\(A_1C_1\perpB_1D_1\)，\(A_1C_1\perpBB_1\)，\(B_1D_1\capBB_1=B_1\)，所以\(A_1C_1\perp\)平面\(BB_1D_1D\)，则\(BP\)的最小值为\(BO_1\)。在\(Rt\triangleBB_1O_1\)中，\(BB_1=1\)，\(B_1O_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，根据勾股定理\(BO_1=\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)，A正确。选项B：因为\(A_1C_1\parallelAC\)，\(A_1C_1\not\subset\)平面\(ABC\)，\(AC\subset\)平面\(ABC\)，所以\(A_1C_1\parallel\)平面\(ABC\)，则点\(P\)到平面\(ABC\)的距离为定值\(1\)，\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)，根据三棱锥体积公式\(V=\frac{1}{3}Sh\)（\(S\)为底面积，\(h\)为高），所以\(V_{PABC}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{6}\)为定值，B正确。选项C：以\(D\)为原点，分别以\(DA,DC,DD_1\)所在直线为\(x,y,z\)轴建立空间直角坐标系。则\(B(1,1,0)\)，\(A(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(D_1(0,0,1)\)，\(\overrightarrow{AB}=(0,1,0)\)，\(\overrightarrow{AD_1}=(1,0,1)\)。设平面\(ABC_1D_1\)的法向量为\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，则\(\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=y=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AD_1}=x+z=0\end{cases}\)，取\(x=1\)，则\(z=1\)，\(\overrightarrow{n}=(1,0,1)\)。设\(P(x,x,1)\)（\(0\leqslantx\leqslant1\)），\(\overrightarrow{BP}=(x1,x1,1)\)。设直线\(BP\)与平面\(ABC_1D_1\)所成角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BP}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|x1+0+1|}{\sqrt{(x1)^2+(x1)^2+1}\cdot\sqrt{2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2(x1)^2+1}\cdot\sqrt{2}}\)。当\(x=1\)时，\(\sin\theta\)取得最大值\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)，C正确。选项D：当\(A_1P=\frac{1}{3}A_1C_1\)时，\(P(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1)\)，\(B(1,1,0)\)，\(D_1(0,0,1)\)。\(\overrightarrow{BP}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1)\)，\(\overrightarrow{BD_1}=(1,1,1)\)。\(\cos\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD_1}\rangle=\frac{\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{BP}|\cdot|\overrightarrow{BD_1}|}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+1}{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+1}\cdot\sqrt{1+1+1}}=\frac{\frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{17}{9}}\cdot\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{51}}\)。\(\sin\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD_1}\rangle=\sqrt{1\cos^{2}\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD_1}\rangle}=\sqrt{1\frac{49}{51}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{51}}\)。\(|\overrightarrow{BP}|=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+1}=\sqrt{\frac{17}{9}}\)，\(|\overrightarrow{BD_1}|=\sqrt{3}\)，\(S_{\triangleBPD_1}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BP}|\cdot|\overrightarrow{BD_1}|\cdot\sin\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD_1}\rangle=\frac{1}{2}\times\sqrt{\frac{17}{9}}\times\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{51}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\neq\frac{\sqrt{6}}{2}\)，D错误。12.已知函数\(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2(m+1)x+m+\frac{1}{2}\)，则（）A.函数\(f(x)\)在定义域内单调递增B.若\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)，则\(x_1+x_2=m+1\)，\(x_1x_2=1\)C.若\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)，则\(f(x_1)+f(x_2)\lt0\)D.若\(f(x)\)有且只有一个零点，则\(m\leqslant1\)答案：BC解析：函数\(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2(m+1)x+m+\frac{1}{2}\)的定义域为\((0,+\infty)\)。\(f^\prime(x)=\frac{1}{x}+x(m+1)=\frac{x^2(m+1)x+1}{x}\)。选项A：令\(g(x)=x^2(m+1)x+1\)，其判别式\(\Delta=(m+1)^24=m^2+2m3=(m+3)(m1)\)。当\(\Delta\gt0\)，即\(m\gt1\)或\(m\lt3\)时，\(g(x)\)有两个不同的零点，\(f^\prime(x)\)有正有负，\(f(x)\)不单调递增，A错误。选项B：若\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)，则\(x_1,x_2\)是方程\(x^2(m+1)x+1=0\)的两个根，根据韦达定理，\(x_1+x_2=m+1\)，\(x_1x_2=1\)，B正确。选项C：\(f(x_1)+f(x_2)=\lnx_1+\frac{1}{2}x_1^2(m+1)x_1+m+\frac{1}{2}+\lnx_2+\frac{1}{2}x_2^2(