间断点典型试题及答案

间断点典型试题及答案题目1：求函数$f(x)=\frac{x^{2}1}{x^{2}3x+2}$的间断点，并判断其类型。解答过程1.确定间断点函数$f(x)=\frac{x^{2}1}{x^{2}3x+2}$是一个分式函数，分式函数的间断点是使分母为零的点。令分母$x^{2}3x+2=0$，根据二次方程的求根公式$x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}$，对于方程$x^{2}3x+2=0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=2$，则$x=\frac{3\pm\sqrt{(3)^{2}4\times1\times2}}{2\times1}=\frac{3\pm1}{2}$。解得$x_1=1$，$x_2=2$，所以函数$f(x)$的间断点为$x=1$和$x=2$。2.判断间断点类型对于$x=1$先对函数$f(x)$进行化简，$f(x)=\frac{x^{2}1}{x^{2}3x+2}=\frac{(x1)(x+1)}{(x1)(x2)}=\frac{x+1}{x2}$（$x\neq1$）。然后求极限$\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x+1}{x2}=\frac{1+1}{12}=2$。因为函数在$x=1$处极限存在，但函数在$x=1$处无定义，所以$x=1$是可去间断点。对于$x=2$求极限$\lim\limits_{x\rightarrow2}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{x^{2}1}{x^{2}3x+2}$，当$x\rightarrow2$时，分子$x^{2}1\rightarrow2^{2}1=3$，分母$x^{2}3x+2\rightarrow0$。则$\lim\limits_{x\rightarrow2^{+}}\frac{x^{2}1}{x^{2}3x+2}=+\infty$，$\lim\limits_{x\rightarrow2^{}}\frac{x^{2}1}{x^{2}3x+2}=\infty$。因为函数在$x=2$处极限为无穷大，所以$x=2$是无穷间断点。题目2：设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\lt0\\a,&x=0\\x\sin\frac{1}{x}+b,&x\gt0\end{cases}$，问$a$，$b$取何值时，函数$f(x)$在$x=0$处连续。解答过程1.根据函数连续的定义函数$f(x)$在$x=0$处连续的充要条件是$\lim\limits_{x\rightarrow0^{}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=f(0)$。2.分别计算左右极限和函数值计算左极限$\lim\limits_{x\rightarrow0^{}}f(x)$当$x\rightarrow0^{}$时，$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，根据重要极限$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow0^{}}f(x)=1$。计算右极限$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$当$x\rightarrow0^{+}$时，$f(x)=x\sin\frac{1}{x}+b$。因为$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x\sin\frac{1}{x}=0$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}(x\sin\frac{1}{x}+b)=b$。函数值$f(0)=a$3.确定$a$，$b$的值由$\lim\limits_{x\rightarrow0^{}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=f(0)$，可得$a=b=1$。题目3：求函数$f(x)=\frac{1}{1e^{\frac{x}{1x}}}$的间断点，并判断其类型。解答过程1.确定间断点对于函数$f(x)=\frac{1}{1e^{\frac{x}{1x}}}$，间断点出现在分母为零和指数函数无意义的地方。令$1e^{\frac{x}{1x}}=0$，即$e^{\frac{x}{1x}}=1$，因为$e^{0}=1$，所以$\frac{x}{1x}=0$，解得$x=0$。同时，当$x=1$时，指数函数的指数$\frac{x}{1x}$无意义。所以函数$f(x)$的间断点为$x=0$和$x=1$。2.判断间断点类型对于$x=0$求极限$\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{1e^{\frac{x}{1x}}}$，当$x\rightarrow0$时，$\frac{x}{1x}\rightarrow0$，$e^{\frac{x}{1x}}\rightarrow1$。根据等价无穷小$e^{t}1\simt$（$t\rightarrow0$），令$t=\frac{x}{1x}$，则$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{1e^{\frac{x}{1x}}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{\frac{x}{1x}}=\infty$，所以$x=0$是无穷间断点。对于$x=1$计算左极限$\lim\limits_{x\rightarrow1^{}}f(x)$，当$x\rightarrow1^{}$时，$\frac{x}{1x}\rightarrow+\infty$，$e^{\frac{x}{1x}}\rightarrow+\infty$，则$\lim\limits_{x\rightarrow1^{}}\frac{1}{1e^{\frac{x}{1x}}}=0$。计算右极限$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)$，当$x\rightarrow1^{+}$时，$\frac{x}{1x}\r