（人教A版必修第二册）高一数学8.2立体图形的直观图（同步教学课件）

第8章立体几何初步8.2立体图形的直观图

人教A版·必修第二册·学习目标1.理解“斜二测画法”的概念，掌握其“横不变、纵减半、平行性不变、z轴线段保长”的核心规则。2.能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、直角梯形等）的直观图。3.会用斜二测画法绘制常见空间几何体（长方体、圆柱、圆锥、正三棱柱）及简单组合体的直观图。4.能根据直观图还原原平面图形或空间几何体，进行相关长度、面积的计算，体验数形结合思想。目录CATALOG01.水平放置的平面图形的直观图的画法03.题型强化训练02.空间几何体直观图的画法04.小结及随堂练习01水平放置的平面图形的直观图的画法8.2立体图形的直观图导入新知1：“手机拍照里的‘立体还原’之谜’’

我们日常用手机拍照时会发现，水平放置的正方形、长方形拍出来常变成“斜着”的平行四边形，包含长方体结构的建筑照片比例会变，但我们仍能还原其真实形状；建筑师画施工图纸时，也能通过平面图纸精准呈现楼房的空间布局。1.手机拍摄的正方形照片会变成平行四边形，为什么我们依然能一眼认出它原本的正方形形状？2.建筑师画施工图纸时，如何让平面的图纸精准呈现楼房的长、宽、高和空间布局，确保施工无误？3.手机拍照的“变形逻辑”和建筑师画图的“规范方法”，核心共通之处是什么？“斜二测画法”能解决这一问题的关键的是什么？导入新知2：“手工模型的‘图纸翻译’挑战’’手工制作模型时，不规范画法的图纸会导致硬纸板无法拼接成所需模型，而规范图纸能让人快速完成制作；学校科技节制作“圆柱+圆锥”组合体模型，仅给出尺寸数据时，也需要一张规范图纸指导裁剪拼接。1.用不规范画法绘制的长方体图纸，为什么会导致硬纸板无法拼成长方体？核心问题出在哪里？2.制作“圆柱+圆锥”组合体模型，仅给出尺寸数据时，画指导图纸需注意什么，才能让制作者清楚各部分大小和组合方式？3.斜二测画法作为“图纸翻译”的核心方法，其能解决手工模型画图难题的关键是什么？它如何实现直观图与原图形的转化？学习新知前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特．为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.学习新知【观察】如图8.2-1,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?图8.2-1图8.2-2一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关,若一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2).学习新知利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：学习新知ABCD图8.2-3学习新知【思考】ABCD图8.2-3【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

中心投影与平行投影辨析学习新知例1：用斜二侧画法画水平放置的正六边形的直观图.ABCDEFxyOMNQ问题:你认为画水平放置的多边形的直观图的关键是什么?关键是确定多边形顶点的位置.学习新知ABCDEFOMNxy(1)(2)学习新知ABCDEFOMNxy(1)(2)学习新知在利用斜二测画法画直观图的过程中，x轴和y轴起到了什么作用？(2)(3)ABCDEFOMNxy(1)【思考】【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形学习新知画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．学习新知画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题．生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图．实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板．图8.2-5学习新知画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变.xyoz【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

斜二测画法中有关量的计算【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

由直观图还原几何图形【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形练习（第109页）1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．（1）相等的线段在直观图中仍然相等．（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行．（）（3）一个角的直观图仍是一个角．（）（4）相等的角在直观图中仍然相等．（）（1）×，正方形的邻边相等，但在用斜二测画法画出的直观图中成了

2倍关系；（2）√，在斜二测画法中，原图形中平行的线段在直现图中仍然平行；练习（第109页）1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．（1）相等的线段在直观图中仍然相等．（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行．（）（3）一个角的直观图仍是一个角．（）（4）相等的角在直观图中仍然相等．（）（3）√，虽然角的度数会发生改变，但仍是一个角；（4）×，在水平放置的正方形中相邻的两个角都是直角，但在用斜二测

画法画出的直观图中一个为45°，另一个为135°．2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．OBCD(A)xyOBCD(A)xyE2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．OxyABC2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．OABCDEyx2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．02空间几何体直观图的画法8.2立体图形的直观图学习新知画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．下面介绍几种简单几何体的直观图的画法．例2：已知长方形的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．【分析】学习新知O(A)BCDxyzCDAB学习新知O(A)BCDxyzCDAB学习新知注明：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感．学习新知【变式】用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图．学习新知(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．(2)关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

瞬时变化率的概念及辨析【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

由三视图还原几何体、几何体三视图的概念及辨析学习新知例3：已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.ABOxzO学习新知对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8)．画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9)．OOSO图8.2-8图8.2-9学习新知【变式】已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.学习新知1.画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．【感悟提升】学习新知2.画空间几何体的直观图的策略(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图．(2)画空间几何体的步骤可简单总结为：

【感悟提升】画轴画底面画侧棱成图【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

斜二测画法中有关量的计算学习新知例4：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了．【分析】【画法】如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图．学习新知x’xABOP例4：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．PABA’B’OO’学习新知例4：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．AOBPxAOBP图8.2-10学习新知【变式】已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图？学习新知对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线；

画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性．O圆锥O球学习新知画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直；(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变；(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半；(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．

03题型强化训练8.2立体图形的直观图能力提升【练习1】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（

）【答案】C【知识点】由直观图还原几何图形【分析】根据斜二测画法的规则判断．【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一

象限内的边平行于y′轴，

故选：C.A.B.C.D.题型一、平面图形的直观图的画法能力提升题型一、平面图形的直观图的画法【反思感悟】画平面图形直观图的关键(1)在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定．能力提升【练习2】用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.题型二、空间几何体的直观图的画法【分析】建立空间直角坐标系，可以底面三角形一边所在直线为x轴，高所在直线为y轴，过这边中点，与底面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，x′轴水平，z′轴与x′轴垂直，y′轴与

x′夹角为45°，平行于x轴、z轴的线段仍平行于x′轴、z′轴，长度不变，平行于y轴的线段仍平行y′轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．能力提升【练习2】用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.题型二、空间几何体的直观图的画法正三棱柱直观图如图：本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．【详解】【点睛】能力提升题型二、空间几何体的直观图的画法【反思感悟】立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)画底面：x′O′y′平面表示水平平面，y′O′z′平面和x′O′z′平面表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．能力提升【练习3】题型三、直观图的还原与计算【详解】如图所示，能力提升【感悟提升】题型三、直观图的还原与计算1．直观图还原平面图形的策略2．直观图与原图面积之间的关系通性通法1．直观图的还原技巧2．直观图与原图面积之间的关系04小结及随堂练习8.2立体图形的直观图课堂总结11．知识清单：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法．(2)直观图的还原与计算．(3)空间几何体直观图的画法．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．课堂总结2①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面．利用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤：②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．课堂总结3①画出底面的直观图；②画平行于z轴的线段，并保持长度不变;③成图（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）．利用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤：课堂总结4作业8.2立体图形的直观图教材第112页第3--7题练习（第111页）1．用斜二测画法画一个棱长为3的正方体的直观图．O(A)BxCDyzABCD2．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图．3．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心．画出这个组合体的直观图．OOxz习题8.2（第111页）1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．（1）三角形的直观图是三角形．()（2）平行四边形的直观图是平行四边形．()（3）正方形的直观图是正方形．()（4）菱形的直观图是菱形．()√√××2．用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图：（1）直角边横向；

（2）斜边横向．3．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图．4．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图．5．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图