中国海洋大学概率论和数理统计期末考试题库

数理统计练习

一、填空题

1.设A.B为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=O.6,P(B(A)=O.8,则P(A+B)=_0.7

2.某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率。

3.设随机变量X服从［0,2］上均匀分布，则1/3。

4.设随机变量服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知=1,则—1—。5、一次试验的成功率为，进行100

次独立重复试验，当1/2时,成功次数的方差的值最大，最大值为25。

6、(X,Y)服从二维正态分布，则X的边缘分布为。

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(X)=o

8、随机变量X的数学期望，方差，k、b为常数，则有=；=<,

9、若随机变量X〜N(-2,4),Y〜N(3,9),且X与Y相互独立。设Z=2X—Y+5,则Z〜N(-2,25)。

10、的两个无偏估计量，若，则称比有效。

1、设A.B为随机事件,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AUB)=0.6,则P()=_0.3_o

2.设X(B(2,p),Y(B(3,p),且P{X31}=,则P{Y-i}=。

3.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y=3X-2,则E(Y)=4。

4、设随机变量X服从［0,2］上的均匀分布，Y=2X+1,则D(Y)=4/3°

5.设随机变量X的概率密度是：

,且，则=0.6o

6、利用正态分布的结论，有

+81(*-2)2

［/(x2—4x+4)e2dx=.

J—8N27r

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(Y)=3/4。

8、设(X,Y)为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

，则X与7的相关系数-1o

9、若随机变量X〜N(1,4),Y〜N(2,9),且X与Y相互独立。设Z=X—Y+3,则Z〜N(2,13)<.

10、设随机变量X〜N(1/2,2),以Y表示对X的三次独立重复观察中"”出现的次数，则=3/8。

1、设A,B为随机事件，且P(A)=0.7,P(A—B)=0.3,则0.6。

2、四个人独立地破译一份密码，己知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是11/24°

5.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则=6。

6.设随机变量X~N(1,4),已知①(0.5)=0.6915,6(1.5)=0.9332,则0.6247。

7、随机变量X的概率密度函数，则E(X)=1o

8、已知总体X~N(0,1),设XI,X2,…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则~。

9、设T服从自由度为n的t分布，若，则。

10、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(X)=4/3。

L设A,B为随机事件，且P(A)=0.6,P(AB)=P(),则P(B)=0.4。

2.设随机变量X与Y相互独立，且，，则P(X=Y)=_0.5_。

3.设随机变量X服从以n,p为参数的二项分布，且EX=15,DX=10,则限45。

4.设随机变量，其密度函数，则=2。

5.设随机变量X的数学期望EX和方差DX>Q都存在，令，则DY二1。

6.设随机变量X服从区间［0,5］上的均匀分布，Y服从的指数分布，且X,Y相互独立，则(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=

o

7、随机变量X与Y相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=44。

8、设是来自总体X~N(O,1)的简单随机样小，则服从的分布为。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击中的概率是3/5。

10、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，

则EK=1/2o

1.设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=O.3,则P()=_0.6_o

2.设随机变量X的分布律为，且X与Y独立同分布，则随机变量Z=i胆x{X,Y}的分布律为。

3.设随机变量X〜N(2,),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=0.2。

4、设随机变量X服从泊松分布，则

5.已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为。

6.设X是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则2.4

7、XI,X2,…，Xn是取自总体的样本,则

8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度,则EX=2/3。

9、称统计量的无偏估计量，如果

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。

I.设A.B为两个随机事件，若P(A)=0.4,P(B)=0.3,,则0.3

2.设X是10次独立重及试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则18.4

3.设随机变量X〜N(1/4,9),以Y表示对X的5次独立重复观察中"”出现的次数，则5/16。

4.已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4),则

5.称统计量的无偏估计量，如果=0

6.设，且：《，Y相互独立，则t(n)

7、若随机变量X〜N(3,9),Y〜N(-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X—2Y+2,则Z(7,29)

8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，则EY=1/3

9、己知总体是来自总体X的样本，要检验，则采用的统计量是。

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若，则

1.设A.B为两个随机事件,P(A)=0.4,P(B)=0.5,,则0.55

2、设随机变量X~B(5,0.1),则D(1-2X)=1.8

3.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率为1/4

4、设随机变量的概率分布为，则的期望EX二2.3。

1次数，贝

k系数々

Y*勺联彳

4为\

-21/91/32/9

11/18ab

若X、Y相互独立，则a=1/6,b=1/9o

7、设随机变量X服从［1,5］上的均匀分布，则1/2。

8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是3/5。

9、若是来自总体X的样本，分别为样本均值和样本方差，则~t(n-1)。

1()、的两个无偏估计量，若，则称匕有效。

1、已知P(A)=0.8,P(A-B)=O.5,且A与B独立，则P(B)=3/8。

2.设随机变量X〜N(l,4),且P{X(a}=P{X(a},则a=1。

3、随机变量X与Y相互独立且同分布，，，则。

4.已知随机回量(X,Y)的联合分布密度，则EY=2/3。

5.设随机变量X〜N(1,4),则=0.3753。(已知((().5)=0.6915,((1.5)=0.9332)

6.若随机变量X〜N(0,4),Y〜N(-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X+Y—3,则Z〜N(-4,9)。

7、设总体X〜N(l,9),是来自总体X的简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，则；。

8、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则二6o

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为4/7<.

10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而

接受。这类错误称为二错误。

B为两,-1012

hP(A)

B)=0.4,

B)=0.

i10次3

验成功白

年次试货

率为0.4

2.4

儿变量X

分布

P0.I0.30.20.4

则p{x2>1}=0.7o

4.设随机变量X的概率密度函数，则=o

5.袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放问抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X,则P{X=

10)=0.39*0.7o

6.某人投篮，每次命中率为().7,现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是。

7、设随机变量X的密度函数，旦，则c=-2。

8、已知随机变量U=4—9X,V=8+3Y,且X与Y的相关系数=1,则U与V的相关系数=-1。

9、设，且X,Y相互独立，则t(n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。

1、随机事件A与B独立，0.4<,

2.设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为

3.设随机变量X服从［2,6］上的均匀分布，则0.25。

4.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4,则=18.4

5.随机变量，则N（0,1）o

6.四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2.3/4.2/3.3/5,则目标能被击中的概率是

59/60o

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是，则袋中白球的个数是4

8、已知随机变量U=1+2X,V=2-3Y,且X与Y的相关系数=-1,则U与V的相关系数=1。

9、设随机变量X〜N（2,9）,且P{X（a}二P{X（a},则a=2。

10、称统计量的无偏估计量，如果=。

二、选择题

1.设随机事件与互不相容，且，则（D

A.B.C.D.

2.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。

A.B.C.D.

3、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（D）。

A.B.C.D.

4、设随机变量，满足，是的分行函数，则对任意实数有（B）。

A.B.C.D.

5、设为标准正态分布函数，

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

1、设，为随机事件，，，则必有（A

A.B.C.D.

2、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（C）。

A.B.C.D.

3.设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是（A）o

A.B.C.I).

4.设为标准正态分布函数,

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

5.设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（D）。

A.；B.；C.；D.；

1、已知A.B.C为三个随机事件，则A.B.C不都发生的事件为（A）。

A.B.C.A+B-K；D.ABC

2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（B）。

A.B.

C.D.

3.是二维随机向量，与不等价的是（D）

A.B.C.D.和相互独立

4.设为标注正态分布函数，

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.I）.

5、设总体，其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为，则下列各式中不是统计量的是（C）。

A.B.C.D.

1.若随机事件与相互独立，则=（B）。

A.E.C.D.

2、设总体X的数学期望EX=U,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是来自总体X的简单随机样本，则下列U的估计量中最有效

的是（D）

A.-X.H----X,H----X,H----XX]H---X2H----X、

6,623333313233

34111

C.-X.+-X,--X,--XD.X,+-X,+-X,+-X.

5152535441424344

3.设为标泮正态分布函数,且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

4、设离散型随机变量的概率分布为，，则=（B）。

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

5.在假设检验中，下列说法错误的是（C）。

A.真时拒绝称为犯第二类错误。B.不真时接受称为犯第一类错误。

C.设，，则变大时变小。

D.、的意义同（C）,当样本容量一定时，变大时则变小。

1、若A与B对立事件，则下列错误的为（A）。

A.B.C.D.

2.下列事件运算关系正确的是（A）。

A.B.C.D.

3.设为标注正态分布函数,

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C,D.

4.若，则（D

A.和相互独立B.与不相关C.D.

5、若随机向量（）服从二维正态分布，则①一定相互独立；②若则一定相互独立；③和都服从一维正态分

布；④若相互独立，则

Cov（X,Y）=0。几种说法中正确的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

1.设随机事件A.B互不相容，，则=（C

A.B.C.I）.

2.设A,B是两个随机事件，则下列等式中（C）是不正确的。

A.,其中A,B相互独立B.，其中

C.,其中A,B互不相容D.,其中

3.设为标准正态分布函数,

且相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似丁（B

A.B.C.I).

4、设随机变量X的密度函数为f（x）,则Y=5—2X的密度函数为（B)

B.匚

272

D.-八_2_^.)

22

5.设是一组样本观测值，则其标准差是B）。

A.B.C.D.

1.若A.B相互独立，则下列式子成立的为A

A.B.C.D.

2.若随机事件的概率分别为，则与一定（D

A.相互对立B.相互独立C.互不相容D.相容

3.设为标准正态分布函数，且相互独立。令则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.I).

4、设随机变量X〜N(u,81),Y〜N(u,16),记，则（B）。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

5、设随机变量X的密度函数为f（x）,则Y=7-5X的密度函数为（B）

)'一7B.-林-口)

A.一*)

555

尸7

C-)D.匕_皿)

555

1.对任意两个事件和，若，则（I)

A.B.C.D.

2.设为两个随机事件，且则必有（B）o

A.B.C.D.互不相容

3.设为标准正态分布函数,

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B)o

A.B.C.D.

4、己知随机变量和相互独立，且它们分别在区间［-1,3］和［2,4］上服从均匀分布，则A),,

A.3B.6C.10I).12

5.设随机变量X〜N（u,9）,Y〜N（H,25）,记，则（B）。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2I）,pl与p2的关系无法确定

1.设两个随机事件相互独立，当同时发生时，必有发生，则（A）。

A.B.C.D.

2.已知随机变量的概率密度为，令，则Y的概率密度为（A

A.B.C.D.

3.两个独立随机变量，则下列不成立的是（C）。

A.B.C.D.

4.设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

5、设总体X的数学期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3是来自总体:《的简单随机样本，则下列u的估计量中最有效的是

B)

A.X]4----H-----------X->B.——X2-!—

4*22433।3~3

3

X,+-X--XD.-X.4-—X,4-—X3

,52361622

1.若事件两两独立，则下列结论成立的是（B）。

A.相互独立B.两两独立

C.D.相互独立

2.连续型随机变量X的密度函数f（x）必满足条件（C）o

A.0</(x)<lB.在定义域内单调不减

c.fy(x)dx=iD.limf(x)=\

X->+oC'

3.设是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（B）。

A.必为密度函数B.必为分布函数

C.必为分布函数D.必为密度函数

4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从［0,1］上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B）。

A.XYB.（X,Y）C.X—YI）.X+Y

5.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、

第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的

概率为多少？

解设表示产品由第i家厂家提供，i=l,2,3：B表示此产品为次品。

则所求事件的概率为

X（）2

miB）==______________P（4）尸⑷A）______________=-_______2°-=0.4

P（B）P（Ai）P（B|A）+P（A2）P（BIA2）+P（A.）P（B\A.）1x002+1x002+1x004

24.44・

答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%,次品率分别为0.03.0.02.0.01。现从所有

的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率：（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间牛产的

概率是多少？

解：设，，表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为

P（8）=P（A）P（3|AJ+尸（4）P（例&）+P（A）P（8|&）=0.25X0.03+0.35X0.02+0.4x0.01=0.0185

0.35x0.02

^0.38

0.0185

答：这件产品是次品的概率为0.0185,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3,加工零件A时停机的概

率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床己停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。

解：设，，表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为

|211

P(B)=P(C]).P(D|C,)+P(C2).P(D|A)=-x0.3+-x0.4=—

（2）机床停机时正加工零件A的概率为

P(C)/(D|G)_3…2

P(CID)=

P(D)一11

30

三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5:3:2,各机床所加工的零件合格率依

次为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解设，，表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）

则所求事件的概率为

P(A⑶_P(AI8).P⑷P(BIA)=__________\0°6__________=3

1P(B)£p(A)p(B|A)0.5X0.06+0.3X0.10+0.2X0.057

*=i

答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交

通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。

（10分）

解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。

P(4|8)P(A2)P(BI&)XXXX=02Q9

则P(4|B)=0.050+0.15X0,30.4+0,50,1-

P(B)

XP(Ai)P(B\Ai)

1=1

答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交

通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。

解：设分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。

则尸(8)=E0(Al)P(B\Ai)=0.05X1+0.15X0.7+().3X0.6+0.5X0.9=0.785

1=1

答：如期到达的概率为0.785。

四(1)设随机变量X的概率密度函数为

Av,0<x<1

/⑴=。，其它

求(1)力；(2)I的分布函数尸(x)；(3)P(0.5<Z<2)o

解：

(2)当x<0时，尸(幻=「,/(/辿=0

当0Vx<1时，/(x)=J：=J；2f力=x2

当X>1时，r(A)-『f3dt=£2tdt-1

0,x<0

故F(x)=卜2,0<x<l

1,x>\

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

四(2)、已知连续型随机变量乃的概率密度为

kx+1,0<A:<2

/«=<

0,其它

求(1)A；(2)分布函数尸(x)；(3)P(1.5<1<2.5)

解：

(2)当x<00寸，F(x)=J^/(rWr=O

2

当0W1<2H、j,F(x)=j：f(t)dt=£(-0.5r+lV/r=-y+x

当x>2H寸,F(x)=[jWt=1

0,x<0

r2

故F(x)='-^-+x,0<x<2

1,x>2

(3)P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

四(3)、已知连续型随机变量X的概率密度为

fM=a7x,0<x<l

0,其它

求(1)a；(2)才的分布函数少(力；(3)P(X>0.25)。

解：

(2)当x<0时，尸(工)=/：/(/辿=0

当0W1<1时，F(x)==[性石df=尸2

当x21时，F(x)=[f(t)dt=\

0,x<0

故/(>)=•//2,O<X<1

1,x>1

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

四(4)、已知连续型随机变量X的概率密度为

2x,xe(0,A)

/(x)=«

0,其它

求(1)[；(2)分布函数少(>)；(3)P(-0.5<¥<1)。)

解:

(2)当x<OH寸,/7u)=fv/m=o

J-O0

当OW/cl时,F(x)=j=£2tdt=x2

当x21时,F{x}=[_XJ{t}dt=\

0,x<0

故尸⑶=,厂,0<x<l

1,x>l

(3)P(-0.5<X<1)=F(1)—F(-0.5)=1

四（5）、已知连续型随即变量X的概率密度为

f(x)=\y/l-x2I-

b.其它

求(1)c；(2)分布函数〃(x)；(3)P(-0.5</<0.5)o

解:

(2)当工＜一1时,F(x)=£/(r)J/=O

当_]4x<1时，F(x)=J'=j；—:仃=—arcsin”二

'兀\/1—广71

1.71、

=—(zarcsinx+—)

兀2

当x21时，F(x)=jy(r)Jr=l

0,x<-l

故F(A)='—(arcsinx+—),-1<x<1

TC2

1,x>1

⑶P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=1/3

四（6）、已知连续型随机变量才的分布函数为

A+&2,尤>o

F(x)=,

0,其它

求(1)A,E；(2)密度函数f(x)：(3)P(1<X<2)。

解:

xe~x'2,x>0

fM=F(x)=

0,x<0

(3)P(1<X<2)=F(2)—F(l)=e-I/2-e~2

四(7)、已知连续型随机变量力的分布函数为

F(x)=A+J?arctanx

求(1)A,E；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)。

解：

(2)

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=—arctan2

四(8)、己知连续型随机变量X的分布函数为

0,x<0

F(x)="A4X0<x<1

1,x>\

求(1)力；(2)密度函数f3；(3)P(0<*0.25)。

解：

(3)P(0<AK0.25)=1/2

四(9)、已知连续型随机变量乃的分布函数为

.r>2

F(x)=

x<2

求(1)J；(2)密度函数f(*)；(3)P(0WXW4)。

、解:

(3)P(0<X<4)=3/4

四(10)、已知连续型随机变量¥的密度函数为

2A

J⑺=j4

0,其它

求(1)a；(2)分布函数尸(x)；(3)P(-0.5</<0.5)o

解：

(3)P(0.5<X<0.5)=r(0.5)F(0.5)=—^

4乃2

五(1)、设系统L由两个相互独立的子系统LI,L2并联而成，且LI.L2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿

命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统L1.L2的寿命，则系统L的寿命Z=max(X,Y)。

显然，当zWO时，FZ(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)=O；

当z>0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)

axPypz

=PCTWz,YMz)=P(XWz)P(z)=ae-dx^Pe-dy=(1--^)(1-e-)o

因此，系统L的寿命Z的密度函数为

一、d…Jae"+偿z>()

fz(z)=—r>(z)=<

dz[O,z<0

五(2)、已知随机变量X〜N(0,1),求随机变量Y=X2的密度函数。

解：当yWO时，FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=()；

当y>0时,FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=

因此，fY(y)=

五(3)、设系统L由两个相互独立的子系统LLL2串联而成，且LLL2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿

命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统U、L2的寿命，则系统L的寿命Z=min(X,Y)。

显然，当zWO时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=O；

当z〉0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=l-P(min(X,Y;>z)

=\-p(x>z,\^z)=\-p{x>z)p(r>z)=\ae^dx^pe-ft>dy=\g-g仍z

因此，系统L的寿命Z的密度函数为

-(a+0)eSz,z>0

0,z<0

五(4)、已知随机变量X〜N(0,1),求Y=|X|的密度函数。

解：当yWO时，FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=O：

当y>0时，FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=

五(5)、设随机向量(X,Y)联合密度为

A~(2x+3y)x>0,y>0;

f\xyy)={

o,其它.

(1)求系数月；

(2)判断K,Y是否独立，并说明理由;

(3)求P{0WXW2,0WYW1}。

解：(1)由1==

可得力=6。

(2)因ar；关于X和Y的边缘概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X与Y独立。

(3)P{0WXW2,OWYW1}=

=(-)(-*：)=(1_/)(]_"3)

五(6)、设随机向量(X,Y)联合密度为

b"6+4y),x>0,y>0；

f(x,/)=<—一，

[0,其它.

(1)求系数求

(2)判断：《，Y是否独立，并说明理由；

(3)求P{0WXW1,0WYW1)。

解：(1)由1=

包也

=A(--e-3x)(--e-4v)=—,可得力=12。

3。4。12

⑵因(X,Y)关于X和Y的边^概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X与丫独立。

(3)P{0WXW1,OWYW1)=

=(_/[：)(_I.1)=(i-/)(]一厂)

五(7)、设随机向量(X,Y)联合密度为

6x,0<A:<y<1;

f(x,y)=

0,其它.

(l)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断K,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<0或x>l时，解(x)=0：

当OWxWl时,fX(x)=

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=

当y<0或y>[时，fY(y)=0；

当OWyWl时，fY(y)=

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)因为f(1/2,1/2)=3/2,而fX(1/2)fY(1/2)=(3/2)*(3/4)=9/8#「(1/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

五(8)、设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

e-v,0<x<y;

f(%。二〈

0,其它.

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断：(与Y是否相互独立，并说明理由。

解：(1)当xWO时,fX(x)=()；

当x>0时，fX(x)=

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=

当yW0时，fY(y)=0；

当y>0时,fY(y)=

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)因为f(1,2)=e-2,而fX(1)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3Wf(1,2),

所以，X与Y不独立。

五(9)、设随机变量>的概率密度为

『，x>()

“正。，其它

设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。

解：当y<0时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=O；

当y〉l时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

当OWyWl时，FY(y)=P(Y<y)=P((F(X)<y)=

=F(F-'(y))=y

因此，fY(y)=

五(10)、设随机向量(X,Y)联合密度为

8孙0<x<y<1;

f(x,y)=，

0.其它.

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<0或x>l时，fX(x)=0；

当OWxWl时，fX(x)=

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=

当y<0或y>l时，fY(y)=0；

当OWyWl时，fY(y)=

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)因为f(1/2,1/2)=2,而fX(1/2)fY(l/2)=(3/2)*(l/2)=3/4Wf(1/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

六(1)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X+Y,X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28

。(六D二即。F2Cov(X『)=7+9-2*6=4

CovCnKX-}}=DX-DY=7-9=-2

_co-x+y,x-y)_-2_-i

—gX+Y)/D(X-Y)-V28*V4-V28

所以，(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和

六(2)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y);DX+DY+2Cov(X,Y)=9+1+2*2=14

D{X~}}=“。尸2Cov(XD=9+1-2*2=6

Cov(不匕X-}}=DX-DY=^-\=^

_3(x+y,x-y)_8_4

―^D(X+Y)y]D(X-Y)-V14*V6-V21

所以，(X+Y,