中考专题复习-几何题用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习一一几何题用旋转构造“手拉手”模型

一、教学目标：

I.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征.

2.借助“手拉手模型”，利用旋转阂造全等解决相关问题.

3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题.

二、教学重难点：

1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等.

2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择.

三、教学过程：

1.复习旧知

师：如图，△ABD,Z\BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论？

生：⑴AABE^ADBC(2)AABG^ADBF

(3)4CFBmAEGB(4)ABFG为等边三角形

(5)AAGB^ADGH(6)ZDHA=60°(7)H,GF,B四点共圆(8)BH平分NAHC......

师：我们再来重点研究^ABE与ZkDBC,这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还

有什么共同特征呢？

生：它们有同一个字母B,即同一个顶点B.

师：我们也可以把4DBC看作由4ABE经过怎样的图形运动得到？

生：绕点B顺时针旋转60°得到.

2.引入新课

师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫''手拉手模型”，谁可以将这个模型的

特征再做进一步的简化归纳呢？

生：对应边相等.

师：我们可以称之为“等线段”.

生：有同一个顶点.

师：我们可以称之为“共顶点”.

师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？

生:旋转.

师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转.

3.小题热身

A

DAD

E

图1图2图3

1.如图1,ZkBAD中，ZBAD=45°,AB=AD,AE_LBD于E,BC_LAD于C,贝！1AF=BE.

2.如图2,△ABC和aBED均为等边三角形,ADE三点共线，若BE=2,CE=4,则AE=.

3.如图3,正方形ABCD中，ZEAF=45°,BE=3,DF=5,贝EF=.

师：我们来看第1,第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”.

生：题1中，等线段是AC,BC,共顶点是C,ZXACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD.

题2中,等线段是AB,BC,共顶点是B,ZXABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE.

师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？

生：没有.

师：那其中有没有”等线段，共顶点”呢？

生：等线段是AD.AB,共顶点是A.

师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？

生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°.

师：为什么是逆时针旋转90。，你是如何思考的？

生：我准备构造一•个和4ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD,那么将AE

逆时针旋转90°可得AG连接GD,证明全等.

师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？

生：先找有没有”等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转.

师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？

生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转.旋转角为两条“等线段”间的夹角.方向应

与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致.

师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓.但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的

一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？

步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”.

步骤2:选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转.

步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一-条“等线段”的方向一致，旋转角为“等

线段”间的夹角.

师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？

生：连接GD后，要证明GD,F三点共线.

4.例题精讲A

例1:等边△ABC中,AD=4,DC=3,BD=5,求NADC度数./\

师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？/A\

要构造全等，该怎样旋转？

Rr

生：将aADC绕点A顺时针旋转60°.

师：你是怎么想的，还有其他做法吗？

生：我发现AB=AC,A为“共顶点”，我选择的旋转线段

是AD,因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB,所以AADC也要绕点A顺时针旋转60°.也可

将aADB绕点A逆时针旋转60°.

【解答】

将AD绕点A顺时针旋转60°到AE,连接BE,DE.则4ADE也为等边三角形.易证△AEB^^

ADC,ABE=DC=4,根据勾股定理逆定理，可证NBED=90°,则NAEB=NADC=15()°

例2:如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，AOB=COD=90.若△!«)(：的面

积为1,试求以AD.BC.OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.

师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这峻线段能构成一个三角形？

生：将OD绕点O逆时针旋转90，至OE,即可使OC,OD共线，再通过证明确定4BCE即是以

AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形.

【解答】

如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE,连接BE.易证△

OAD^AOBE,AD=BE,AABCE即是以AD.BC.OC+OD长度

为三边长的三角形.又・・・OC=OE,・・.S4BCE=2SZXBOC=2.

5.自主练习

1.如图，在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=

ZADC=45°,则BD的长为.

师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法.

生：“等线段”是CA和BA,“共顶点”是A.方法是将AD绕点A顺时针旋转90°.

2.如图，在AABC中，BC=2,AB=,以AC为边，向外做正方形ACDE,连接BE,则BE最大

值为.

师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法.

生：“等线段”是CA和EA,“共顶点”是A.

方法是将AB绕点A逆时针旋转90。.

师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？

生：aABC,因为AC是逆时针旋转90°到AE,所以AB也绕点A逆时针旋转90°.

3.如图，点A在(DB上,AB=1,BC=2,4ACD是等边三角形，求4BCD面积的最大值.

师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法.

生：“等线段”是CA和CD,“共顶点”是C.

方法是将CA绕点C逆时针旋转60°.

1.附：自主练习解答

如图，将AD绕点A顺时针旋转90°至AE,易证△EAC@Z\DAB,

可得CE=BD,又・.・NEDA=45°,・・・NCDE=90°,CD=3,DE=

4,则Rb^CDE中，CE2=CD2+DE2=32+(4)2=41

ACE=，,DB=

2.如图，将八B绕点A逆时针旋转90°至AF,易证△EAFBZ\CAB,

可得EF=BC=2.RtZXBAF中,AF=AB=，,BF=2.由三角形三边关系易知,BEWEF+BF,

•••BE最