专题14概率统计期望（原卷版）

专题14概率、统计、期望

二级结论1：条件概率

【结论阐述】计算条件概率有两种方法.

（1）定义法：利用定义尸（@N）=婴?;

1\A）

（2）压缩事件空间法：若〃（力）表示试验中事件A包含的基木事件的个数，则0（用力）=¥?.

【应用场景】

（1）注意：利用定义求条件概率时，事件A与事件8有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件,

要弄清尸（"）的求法.

（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件

数〃（力），再在事件A发生的条件下求事件6包含的基本事件数，即〃（/6）,

【典例指引1】

1.先后掷一枚质地均匀股子（骰子的六个面上分别标有1，2,3,4,5,6个点）两次，落在水平桌

面后，记正面朝上的点数分别为'J,设事件A为“x+y为偶数”，事件“为"xj中有偶数，且"尸二

则概率尸（8|4）=

1111

A.-B.-C.-D.一

3456

【典例指引2】

2.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中

随机取出一球放入乙罐，分别以4,4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙

罐中随机取出一球，以8表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出

所有正确结论的编号）.

/、2

①

②p（8|4）=5；

③事件B与事件4相互独立；

④4,4,4是两两互斥的事件；

⑤P$）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关

【针对训练】

（2022广西•南宁市东盟中学模拟预测（理））

3.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，

则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1（）（）O,5O2）,且各个元

件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）

元件3

（2022四川成都•高三月考（理））

4.若随机事件A,B满足尸(4)=：,P(B)=s，P(A+B)=~,则P(力忸)=(

5.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示.公司规定：每个车位只能停一辆车，

每个员工只允许占用一个停车位.记事件A为“员工小王的车号在编号为奇数的车位上”，事件8为“员

工小李的车停在编号为偶数的车位上，，，则尸（图8）=（）

123456

（2022福建省南平市高级中学高三月考）

6.已知在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条

件下，第二次抽的是正品的概率是（）

A1B邑C»D。

54595

7.某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知

识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3,则被称为“优

秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为四，A.若科二；|，

P2=：2，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组''的概率为（）

（2022重庆市第七中学校高三月考）

8.一个口袋中装有3个白球，4个黑球和5个红球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次

摸出的球是1白1黑的概率是（）

1111

A.二B.—C.-D.—

34612

9.甲箱中有5个红球，2个白球和3.不黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中

随机取出行球放入乙箱中，分别以4、4、4表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事衅；再从

乙箱中随机取出一球，以月表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则。（司4）=,

P（B）=.

（2022福建•福州四中高三月考）

10.东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学

每人从中只选修一门课程.设事件［为“甲独自选修一门课程”，4为“三人选修的课程都不同”，则概

率尸（例仆.

（2022北京市八一中学高三开学考试）

11.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车

间的成品都混合堆放在一个仓寿，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中

随机提一台产品，求该产品合格的概率为.

（2022黑龙江•哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））

12.投掷红、蓝两颗均匀的股子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件8：两骰子的点数之和

大于9,则在事件B发生的条件下事件A发生的概率P（A\B）=.

二级结论2：常见分布的数学期望和方差

【结论阐述】

二项分布：超几何分布：

典型分布两点分布：成

X-Bgp）X,1

数字特征功概率为〃

数学期望E（X）=pE（X）=npE（X）=等

D（X）=np[\

方差D（X）=p（\-p）

【应用场景】有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，

超几何分布可近似为二项分布来处理.

【典例指引1】

13.若随机变量X服从参数为4,g的二项分布，则（）

A.P（X=l）=P（X=3）B.P（X=2）=3P（X=1）

C.P（X=0）=20（X=4）D.P（X=3）=4P（X=1）

【典例指引2】

14.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X,求

P（%<1）=.

【针对训练】

（2022・陕西・渭南市临渭区教学研究室二模）

15.设随机变量X,丫满足：y=3x-i,x~8（2,p）,若P（x2i）=g,则。（y）=

A.4B.5C.6D.7

（多选题）（2022・湖南岳阳•一模）

16.若随机变量X服从两点分布，其中〃（X=0）=；,则卜列结论止确的是（）

A.尸（X=1）=E（X）B.E（3X+2）=4

C.Q（3X+2）=4D.O（X）=[

（2022•河南洛阳•模拟预测）

17.已知随机变量X〜8（4,p）,若P（X21）=警，则DY=.

（2022•浙江省新昌中学模拟预测）

18.在一次投篮游戏中，每人投蓝3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标

的概率为:，则此人恰好投中2次的概率为,得分的方差为.

（2022•湖南永州•一模）

19.我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男、女生

各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据:

分钟

(0,40](40,60](60,90](90,120]

性别

女生10404010

男生5254030

根据学生课余体育运动要求，平均每大体育运动时间在（60,120］内认定为“合格”，合则被认定为“小

合格”，其中，平均每天体育运动时间在（9（）,120］内认定为“良好”.

⑴完成下列2X2列联表，并依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因

素有无关联；

不合格合格合计

女生

男生

合计

⑵从女生平均每天体育运动时间在（0,40］，（40.60］,（60,90］,（90.12q的100人中用分层抽样的方法抽

取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X为2人中平均每天体白运动时间为“良好”的人数，求X

的分布列及数学期望；

（3）从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为九记“平均每天

体育运动时间为，良好的人数为％”的概率为=，视频率为概率，用样本估计总体，求尸代=心的

表达式，并求产信=〃）取最大值时对应人的值.

附”“蚁;靠工…其中

n=a+b+c+d

a

Xa

（2022-四川省内江市第六中学模拟预测）

20.国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性另!采取分层

抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校

学生平均每天运动的时间范围是[0,3],若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”,

低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为，运动达人中进行统计，得到如下

2x2列联表:

运动时间

运动达人非运动达人合计

性别

男生36

女生26

合计100

⑴请根据题目信息，将2x2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过的

前提下认为性别与“是否为，运动达人’”有关；

⑵将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数

为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差。（丫）.

附表及公式：

P(K/)

k。

“2n(ad-bc)2,

K"=-------------------------------,其中〃=4+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（2022,广东广州•一模）

21.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“4作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学

生中做用户测试.经过•个阶段的试用，为了解"4作业''对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了

200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校乙校

使用AI作不使用力/作使用AI作不使用4作

业业业业

基本掌握3228503()

没有掌提8141226

假设每位学生是否掌握“向量数量积“知识点相互独立.

(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用J表示抽取的2名学生中使

用“4/作业”的人数，求J的分布列和数学期望；

(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“4,作业”的学生和一名不使用“4「作业”的

学生，用“X=l”表示该名使用“〃作业”的学生基本掌握了响吊数展积"，用“X=0”表示该名使用“4

作业，，的学生没有掌握，，向量数量积，，，用“丫=1”表示该名不使用7/作业”的学生基本掌握了响量数量

积"，用“y=0”表示该名不使用2/作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DY和。y的大小关系

二级结论3：二项分布概率的最值

【结论阐述】

下图是不同参数的二项分布的图象

S

Z-

O

•p:0.5andn=20

-p=0.7andn=20

8.•p=0.5andn=40

d

m

■

6

o

d

s

o-

d

S-

o

010203040

图1.不同参数下的二项分布的图象

从图1中可以看出，对于固定的〃及当%增加时，概率P(X=公先是单调递增到最大值，随后单

调减少.可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且：

(1)当(〃+1)〃不为整数时，概率23=左)在左=[("+1)2]时达到最大值；

(2)当(〃+1)P为整数时，概率P(X=Q在A=(〃+l)p和％=(〃+l)p-l同时达到最大值.

注：国为取整函数，即为不超过x的最大整数.

【应用场景】可以利用该结论方便地计算山相应地最大值.

【典例指引1】

22.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：

阶梯年用气量（立方米）价格（元/立方米）

第一阶梯不超过228的部分

第二阶梯超过228而不超过348的部分

第三阶梯超过348的部分

从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:

居民用气编号12345678910

年用气量（立方米）95106112161210227256313325457

（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；

（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的

用户数的分布列与数学期望：

（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取1（）户，其中

恰有A,户年用气量不超过228立方米的概率为尸伏），求网上）取最大值时的值.

【典例指引2]

23.某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用

原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高

到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和

2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化

学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分9190898887858382

转换分10099979594918886

人数11212111

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X,求X政分布列和

数学期望：

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分y服从正态分布M75.&36）.若y〜汽（〃。2）,令，7=3,

则"~M0，l）,请解决下列问题:

①若以此次高一学生生物学科京始分。等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约

为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记《为

被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求尸=外取得最大值时R的值.

附：若〃~N（0,l）,则尸（明,0.8）=0.788,尸①“1.04）=0.85.

【针对训练】

（多选题）（2022•湖北部分市州高二期末）

24.已知随机变量4〜例2〃,〃），〃22,（）<〃<]，记/«）=PC=。，其中fwN,Y2〃,

贝IJ（）

A.Z/«）=lB.EtfQ）=2np

f=or=O

C.E/（2/）<|<E/（2/-l）D.若叩=6,则/⑺二川2）

z=o21=]

25.若随机变量X服从二项分布8口5,；）,则使P（X=k）取得最大值时，k=.

（2022•河南•南阳中学高二月考）

26.已知随机变量、~8（6。8）,若尸（X=〃）最大，则。（d+1）=.

（2022•河南省杞县高中模拟预测）

27.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发

现的正确结论得到老师和同学们的一致好评.设随机变量X~8（〃,P）,记p&=C：pA（l-p）”“，A=0,

1,2,...,〃.在研窕处的最大值时，该小组同学发现：若（〃+1）。为正整数，则太=（〃+1）〃时，外二07,

此时这两项概率均为最大值；若（〃+l）P为非整数，当女取（〃+1）〃的整数部分，则心是唯一的最大

值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到

第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点

数1一共出现的次数为的概率最大.

（2022・河北・石家庄一中东校区高二期末）

28.如果X~8（〃，P），其中0<P<Lk=时，P（X=〃）最大.（注：p（〃+l）是整数）

29.在周二的一个班中，有!的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀

4

的学生人数4〜8(5，)，则P(&=k)取最大值时k=

(2022•广东中山高二下学期期末)

30.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发

现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X〜3(%p),记％=p)…,

%=012，〃.在研究处的最大值时，小组同学发现：若(〃+1)〃为正整数，则衣=(〃+1)〃时，4=〃1，

此时这两项概率均为最大值；若(〃+1)〃为非整数，当〃取("+1)〃的整数部分，则P*是唯一的最大

值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数I出现的次数.当投掷到第

20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数

1总共出现的次数为的概率最大.

(2022•北京•景山学校模拟预测)

31.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书FT.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情

况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单

位：小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,叫，(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]

九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

0.15............................

O5

O4

O3

O2

O1

024681012141618日平均阅读时间/小时

⑴从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时

间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中

随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用尸伏)表示这10名学生

中恰有k名学生日平均阅读时间在（8,12］内的概率，具41A-二（）,1,2,…，10.当尸（左）最大时，写

出R的值.（只需写出结论）

（2022•江苏•海安高级中学二模）

32.我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（OVpVl）,

且各个芯片的生产互不影