专题12整式的乘除法（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题L2整式的乘除法【十一大题型】

【北师大版】

，题型梳理1

【题型1利用整式乘法求值】....................................................................1

【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】........................................................1

【题型3利用整式乘法解决错看问题】...........................................................2

【题型4利用整式乘法解决遮拦问题】...........................................................2

【题型5整式乘法的计算】......................................................................3

【题型6整式乘法的应用】......................................................................3

【题型7整式除法的运算与求值】................................................................5

【题型8整式除法的应用】......................................................................6

【题型9整式乘法中的新定义问题】..............................................................7

【题型10整式乘法中的规律探究】................................................................8

【题型II整式乘法与面积的综合探究】............................................................9

【知识点整式的乘法】

单项式X单项式：系数相乘，字母相乘.(2犷).[rd

单项式X多项式：乘法分配律.m(a+h+c)=ma+mb+me

多项式X多项式：乘法分配律.(m+〃)(Q+b)=ma+mb+na+nb

【题型1利用整式乘法求值】

【例1】（2023春・江苏无锡•七年级期中）若。一1）（%+匕）=必+。％-2,则Q+b的值为.

【变式11】（2023•七年级单元测试）已知%2+%+1=0,则=3一%2一%+7=

【变式12]（2023春・上海松江•七年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10,则代数式（无一2>+武工+10）一

5=.

【变式13】（2023•七年级单元测试）如果a、b、7〃均为整数，且（x+a）•（x+b）=X2+加工+15,则所

有的m的和为.

【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】

【例2】（2023春•浙江•七年级专即练习）已知将（x3+mx+n）（x23x+4）展开的结果不含x3和x?项，求m、

n的值.

【变式21】（2023春・广东佛山•七年级校考阶段练习）如果（产5）（尹/〃）的乘积中不含y的一次项.则加

的值为（）

A.5B.5C.0D.3

【变式221（2023春•四川资阳•七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6,N=x+3,

且MN=4当多项式力中不含2次项时，。的值为（）.

2

A.—1B.0C.一彳D.1

【变式23】（2023春•七年级课时练习）若12+一3%+九）的积中不含有x与炉项.

⑴直接写出m.n的值，即m=,n=；

⑵求代数式（一m2n）3+（9mn）2+（3巾）2。】〜2016的值.

【题型3利用整式乘法解决错看问题】

【例3】（2023春・四川内江•七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：

（2y+a）（3y+b）.王建由于把第一个多项式中的"+a”抄成了"-Q”,得到的结果为6y2+5y-10；李楠由

于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2-7y+10.

（1）求正确的a,b的值；

（2）计算这道乘法题的正确结果.

【变式31】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x-2y）错抄成除

以（x-2y）,结果得到（3x-y）,则正确的结果是（）

A.3/-7^H-2/B.3x2+7xy+2/

C.3/-13/丁+16孙2・4"D.3A3・13/尹16孙2+4产

【变式32】（2023春•云县期末）在计算（工+。）（x+8）时，甲错把人看成了6,得到结果炉+8仆12；乙错

把“看成了-。，得到结果f+x-6.你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）

【变式33】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2什方），由于甲抄错了。的符

号，得到的结果是左2-7%十3,乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是r+2x-3.

（1）求（-2々+力）（a+b）的值；

（2）若整式中的。的符号不抄错，且。=3,请计算这道题的正确结果.

【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】

【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记

复习，发现一道题：-7xy（2v-x-3）=・14丁+7松口，口的地方被钢笔水弄污了，你认为口内应填

写（）

A.+2\xyB.-21xyC.-3D.-10盯

【变式41】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记

本复习，发现这样一道题：-3x（-Zd+Bx-I）=6/+口+3.丫，“口”的地方被墨水污染了，你认为

内应填写（）

A.9/B.-9/C.9xD.-9x

【变式42】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3-6/+1Lr-6=（x-1），其中〃人〃是被墨

水弄脏了看不清楚的两处，请求出加2+6〃?〃+9〃2的值.

【变式43】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了亘项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿

出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3日（42・即，・1）=6F3・3xV・

3Fy,空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写・3x3.3.

【题型5整式乘法的计笄】

【例5】（2023春・重庆渝中•七年级校考期中）（1）计算：“2%+工。-2）；（2）（m+l）（m—5）—m（m-6）

【变式51】（2023春・上海・七年级期中）-Qx2-8xy+

【变式52］（2023春•七年级课时练习）先化简，再求值：武工+2）+（1+无）（1一为，其中x=-2.

【变式53】（2023春•七年级课时练习）计算：

⑴（Q—1乂/+0+1）：

（2：l（2x+5）（2x-5）-（x+l）（x-4）；

（3j（3.r-2）（Zv+3）（.r-2）.

【题型6整式乘法的应用】

【例6】（2023春・浙江宁波•七年级校考期中）长方形的长和宽分别是〃厘米、8厘米，如果长方形的长和宽

各减少3厘米.新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含°百的代数式表示）？

【变式61］（2023春•上海静安•七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个"目"字形的

窗框（如图所示，窗框外沿A8CD是长方形），若窗框的横条长度都为3米.

（1）用代数式表示长方形48C。的面积.

（2）当％=3时，求出长方形A8C0的面积.

【变式62］（2023春•上海•七年级专题练习）如图，用一张高为30cm,宽为20cm的长方形打印纸打印文

档，如果左右的页边距都为xcm,上下页边距比左右页边距多1cm.

（1）请用%的代数式表示中间打印部分的面积.

（2）当;v=2时，中间打印部分的面枳是多少平方厘米？

【变式63】（2023春•广东茂名•七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的力区就会

自动减去。，同时8区就会自动加上3",且均显示化简后的结果.已知48两区初始显示的分别是25和

-16（如图所示）.

例如：第一次按键后，A,4两区分别显示：25-4,-16+36?.

⑴那么第二次按键后，力区显示的结果为,8区显示的结果为

⑵计算（1）中力、8两区显示的代数式的乘积，并求当。=1时，代数式乘积的值.

【知识点2整式的除法】

单项式+单项式：系数相除，字母相除.(2犷)+=6.y

多项式+单项式：除法性质.(a+b+c)+m=a+m+b+m+c+m

多项式+多项式：大除法.(3x2+3x)+(x+1)=3x

【题型7整式除法的运算与求值】

【例7】（2023春・河北承德•七年级统考期末）下列计算27a2+的顺序不正确的是（）

A.27a2+（/+9Q2）B.（27Q2+次）T9Q2

C.（27+g+9）a2-3-2D.（27a29a2）

【变式71]（2023春・陕西咸阳•七年级统考期末）已知14m2-7m+6=0,求代数式（3巾2-2m）+m-（2m-

1）2的值.

【变式72]（2023・四川・石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x--4x-1除以一个多项式人

得商式为2x,余式为x-1,则这个多项式4=.

【变式73】（2023春・江苏苏州•七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似,

得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进

行计算.

如图1：

-2+3计3

23X—1）x3-|-2x24-0*x-3

工3一工2

qR

-3/+0・%lI

a

383/-3」_____

363x^3-

2

近一3

0

图1图2

278+12=232,

•••（x3+2x2—3）（x—1）=x2+3x4-3.

即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如R

①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）.

②用竖式进行运算.

③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除.

例如：（炉+2%2—3）+（%-1）=/+3%+3余式为0,炉+2%-3能被x-1整除.

根据阅读材料，请回答下列问题：

⑴多项式d+5x+6除以多项式x+2,所得的商式为；

（2）已知好+2%2一々％-10能被工一2整除，则。=；

（3）如图2,有2张4卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边

长为（a+8b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由.

【题型8整式除法的应用】

【例8】（2023春•七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空

地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜.已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的右

如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4,则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产

量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3,则白黄瓜、青黄瓜和

水果黄瓜的总产量之比为.

【变式81】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配

件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：|。、2a、夕，小长方体的长、宽、

高分别为：2a、a、右配件②是一个正方体，其棱长为“

（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？

（2）若两个配件①与•个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000〃

体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？

【变式82】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报

的整式4作被除式，娜娜报的整式〃作除式，要求商式必须为-3xy（即/+8=-39）

（1）若丽丽报的是如歹-6町，2,则娜娜应报什么整式？

（2）若娜娜也报x3》・6孙，2,则丽丽能报•个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由.

【变式83】（2023•七年级单元测试）甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步

行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A

地山发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进

行，两人恰好同时到达B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？

【题型9整式乘法中的新定义问题】

【例9】(2023春•江苏宿迁•七年级统考期中)海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，

年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角

形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S,以三角形各力为边向外作正方形，三个正方形的面积分

别记作51、52、$3，定义：5=^^;$'1=5一5］；5'2=5-52；5'3=5一53；%=$'1*$'2+5'2*$'3+<3乂

S'l，经研究发现，Fs=4s2.如:三角形三条边分别为13、14、15,则S1=169,S2=196,S3=225,S=295,

S\=126：S'2=99；S；=70；F,=28224,所以S?=28224+4=7056=842,故三角形的面积S=84.

(1)若$1=3,$2=4,S3=5,则5=.Fs=.

(2)当S'i=x-3；S'2=x+3；S'3=5-x时.

①求入的表达式；

②若Si+$2+§3=20.求三角形的面积.

【变式91】(2023春•浙江衢州•七年级统考期中)定义新运算「力=Qd+3b-2c,如心=1X7+3X

5—2x3=7+15—6=16.

(1)计算的值;

x+y7xy-x2

(2)化简:

2xy-3x2+1-3x-y

【变式92】(2023春•安徽六安七年级六安市第九中学校考期中)给出如下定义：我们把有序实数对(Q,b,c)

叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对'

(a,b,c)的特征多项式.

⑴关于x的二次多项式3d+2x-l的特征系数对为：

⑵求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,-4,4)的特征多项式的乘积：

⑶有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,-2,4)的特征多项式的乘积不含义2项，求。的值;

【变式93】(2023春•四川宜宾•七年级统考期中)阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平

方等于-1,记为『=-1,这个数i叫做虚数单位，把形如a+biQ,Z)为实数)的数叫做复数，其中。叫这个

复数的实部，方叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算:(2-/)+(5+3zj=(2+5)+(-l+3)/=7+2/；

(1+.;)X(2-Z)=1X2-Z+2X/-Z2=2+(-1+2)/+1=3+Z；

根据以上信息，完成下列问题：

(1)填空：/=,?=；

(2)计算：(2+3i)x(3-4Z)；

(3)计算：i+产+产+...十*化

【题型10整式乘法中的规律探究】

【例10】(2023春•广东梅州•七年级统考期末)若正整数06的和为10,则称”,1互补”,如果两个两位

数的十位数字相同，个位数字“互补”(如24与26,52与58,简称它们“首同尾补〃);那么这两个数的枳

是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数

字与比这个十位数字大1的数之积.

例如：24x26=624(积中的6=2X(2+1),24=4x6)

52x58=3016(积中的30=5x(5+1),16=2x8)

⑴直接写出下列各式运算结果：95x95=,81x89=；

⑵用好和而分别表示两个两位数，其中。表示十位数字，力和c表示它们的个位数字，且b+c=10,

①依据题意，两位数直表示为,两位数次表示为:

②上述速算规律可用等式表示为:

③试说明②中等式的正确性.

【变式101](2023春・江苏•七年级专题练习)在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公

式，一定会提高解题的速度.在解答下列问题中，请探究其中的规律.

⑴计算后填空：(%+2)(x4-3)=：

(x-1)(X+4)=：

(x-3)(x-2)=：

⑵归纳猜想后填空：(%+a)(x+b)=x2+x+

(3)运用(2)中得到的结论，直接写出计算结果：(x—2)(x+n)=.

【变式102](2023春・安徽六安•七年级六安市第九中学校考期中)观察下面的几个算式，发现规律，并解

决卜.列问题.

①16x14=224=1x(1+1)x100+6x4；

(2)23x27=621=2x(2+1)x100+3x7；

(3)32x38=1216=3x(34-1)x100+2x8：

⑴按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81X89的结果.

⑵试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是（10九+Q）,（10n+/））,其中n,a,b均为1〜

9的整数，且Q+b=10）.

【变式103］（2023春•江西吉安•七年级统考期末）七年级某班数学小组研究系列算式：12x21,23x32,

34x43.,将算式计算过程进行变形后，得到如下规律：

12x21=121X（12+1）+10：

23x32=121x（22+2）十10；

34x43=121x（32+3）+10；

⑴根据以上规律，直接写出78x87的相应变形算式；

（2）请用含〃的代数式直接表示［10〃+（九+1）］与［（10九+10）+可之积的计算结果，并通过计算验证结果的

正确性.

【题型11整式乘法与面积的综合探究】

【例11】（2023春・湖南株洲•七年级统考期中）从一个边长为Q的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的

小长方形，得到一个美术字“5〃的图案（如图2）,再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）.