中考数学一轮复习【举一反三】系列-专题27 矩形的性质与判定【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

专题27矩形的性质与判定【十四大题型】

♦题型梳理

【题型1利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】.............................................1

【题型2矩形的判定定理的理解】.................................................................2

【题型3根据矩形的性质与判定求角度】............................................................3

【题型4根据矩形的性质与判定求面积】............................................................5

【题型5根据矩形的性质与判定求线段长】.........................................................6

【题型6根据矩形的性质与判定求最值】............................................................7

【题型7与矩形有关的新定义问题】...............................................................8

【题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题】...................................................9

【题型9与矩形有关的规律探究何题】............................................................11

【题型10矩形有关的动点问题】..................................................................12

【题型11与矩形有关的折叠问题】................................................................13

【题型12矩形与一次函数综合】..................................................................15

【题型13矩形与反比例函数综合】................................................................16

【题型14矩形与二次函数综合】..................................................................18

,

【知识点矩形的性质与判定】

(1)定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

(2)矩形的性质

矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(3)矩形的判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形.

【题型1利用矩形的性质求角度、线段【题型1利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】

【例1】(2023•广东江门・统考二模)如图,在矩形4BC0中,对角线AC与相交于点0,已知的2=35。,

则480C的度数是()

AB

A.65°B.70°C.75°I).80°

【变式1-1]（2023・甘肃武威・统考三模）如图,矩形ABCD的对角线相交于点0,过点0的直线交AD,BC于

点££若=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为.

【变式1-2]（2023•江苏南通・统考二模）如图,矩形力BCD中，点&点r分别在边48,8C上，线段力尸与线段

DE相交于点G,若48=4,BC=6,AE=BF=3,贝I」尸G的长度为

【变式1-3]（2023•天津河东・统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点力在第一象限，氏〃

分别在y轴匕。是8。的中点.若AB=08=2k,则点。的坐标是（)

A.（3,V3）B.（-3,-由）C.（b,3）D.（-73,-3）

【题型2矩形的判定定理的理解】

【例2】（2023•上海・统考中考真题）在四边形48CD中，4。IIBC.AB=CD.下列说法能使四边形ABCO为

矩形的是（）

A.AB||CDB.AD=BCC.Z.A=48D.Z.A=ZD

【变式2-1]（2023•山东青岛•统考三模）如图，和△力CF都是等边三角形,4E、FO分别是8。、力。边

上的中线,连接E。并延长交4小于C,连接CG.

AG

BEC

(1)求证：△ADGWACDE;

(2)求证：四边形4ECG是矩形.

(变式2-2](2023•北京-统考中考真题)如图，在见4BCD中，点E,〃分别在BC,71。上，BE=DF,AC=

EF.

(I)求证：四边形/EC尸是矩形；

(2)AE=BE,AB=2,tan〃CB=1,求BC的长.

【变式2-3](2023•湖南岳阳•模拟预测)如图所示，△ABC中，。是BC中点，过点力作BC的平行线交CE的延

长线于F,且4尸=80,连接8F.请从以下三个条件：①48=4C;②尸8=力。;③E是AD的中点，选择一个合

适作为己知条件，使四边形力F8D为矩形.

--------

RDc

(1)你添加的条件是;(填序号)

(2)添加条件后,请证明四边形4F8O为矩形.

【题型3根据矩形的性质与判定求角度】

【例3】(2023•河北承德・统考二模)如图，在册5CD中，对角线月。、BD相交于点。且ON=OD.^OAD=

55。,则上OAB的度数为()

DC

A.35"B.4UUC.45uD.50w

【变式3-1]（2023•吉林・吉林省第二实验学校校考模拟预测）概念提出

若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四

边形叫〃巧妙四边形”，若•个四边形有两条巧分线，则称为〃绝妙四边形”.

（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是；（填序号）

①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.

（2）初步应用

在绝妙四边形ABCD中,4。垂直平分做若/创480°,求/应〃的度数.

（3）深入研究

在巧妙四边形力戈力中，力?=49=绍/力=90°,儿:是四边形月池的巧分线，请直接写出/灰刀的度数.

【变式3-2]（2023•河南新乡・统考一模）如图，在Rt△4BC中，ZC=90°,AC=2,cB=30°,点〃、£分别

在边BC、4B上,8。=2,0臼|力。,将480£绕点8旋转,点〃、£旋转后的对应点分别是。、。，当月、»、E，

三点共线时，乙的度数为.

【变式3-3]（2023•福建度门・统考模拟预测）如图,4。是。。的直径，点&〃在。。上,40=BC.

（1）在CD上求作一点七使得NAED=iCCE;（要求：尺规作图,不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，连接0E,CE,AE,若/EC4=2Z.CAB,求乙。4日的大小.

【题型4根据矩形的性质与判定求面积】

【例4】（2023•山东威海♦统考中考真题）如图，在平行四边形4BCD中，/Z）=3,CD=2.连接/IC过点8

作BE〃力C,交加7的延长线于点夕连接然交BC于点、F.若iAFC=2Z.D,则四边形力花。的面积为

【变式4-1]（2023•广西梧州・统考中考真题）如图，在业△/1和中，点〃£内分别是边AB,AC,%的中点，4。

=8,BC=6,则四边形。力’的面积是（）

A.6B.12C.24D.48

【变式4-2]（2023•河北沧州・统考模拟预测）如图，点。是正六边形4BCDE/对角线DF上的一点，旦

5-oc=8,则正六边形力8CDE9的面积为（）

A.18B.24C.30D.随着点。的变化而变化

【变式4-3]（2023•黑龙江哈尔滨-校考二模）已知矩形力BCD,点E在?10边上,DE<AE,连接5E,点G在8C

边上，连接EG,BE平分，力EG,若BG=5GC,DE=2CG,BE=2^10,WU48E的面积是.

【题型5根据矩形的性质与判定求线段长】

【例5】（2023•陕西西安・西北工业大学附属中学校考三模）如图，菱形的对角线相交于点0,过点。作

且DE=^AC,连接CE、OE,连接4E,交。。于点尸.若48=2,^ABC=60°,则4E的长为（)

A.V3B.V5C.V7I）.2^2

【变式5-1］（2023•浙江杭州・统考一模）如图，在Rt△ABC中，”=90。,P为边BC上一动点，PE14B于

E,PF12C于凡动点P从点B出发,沿着8C匀速向终点C运动,则线段EF的值大小变化情况是（）

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少

【变式5-2］（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨风华中学校考模拟预测）如图，在RS4BC中，4ACB=9（T,C4=

CBD、E分别在4C、BC上,CE=42连接DE,CGIDE于点凡交4B于点G,/E=1,FG=3,贝IJ

AC=.

【变式5-3］（2023♦河南周口•校联考三模）如图，在矩形力BCD中,48=4,40=6,点£为江上靠近点1

的三等分点，点，'是矩形内一动点,且S,cD=y矩形ABC。，连接"，当EF最小时,的长为.

【题型6根据矩形的性质与判定求最值】

【例6】（2023•四川德阳・统考中考真题）如图，a48CO的面积为12,4C=BD=6,AC与BD交于点、0.分

别过点C,〃作8D,4C的平行线相交于点F,点6是CD的中点,点『是四边形。CFD边上的动点，则PG的最小

【变式6-1］（2023•四川雅安•统考中考真题）如图，在a/IBC中/。=90。,力。=8。=6.〃为边4B上一动

点，作PD1BC于点D,PE1Z1C于点E,则DE的最小值为.

【变式6-2］（2023•陕西西安•高新一中校考模拟预测）如图，四边形48CO中，A8||C0,N48C=90。,48=

5,BC=4,CD=3,点P为直线8C左侧平面上一点，△BCP的面积为2,则|P/1-PC|的最大值为.

【变式6-3]（2023・广东汕尾・统考二模）如图，在矩形。中,48=2,BC=4,£是40上一点，连接BE,

作点A关于直线BE的轴对称点F.

⑴如图1,当乙EBF=30。时，求LE的长;

⑵当^BCF的面积等于3吐求力E的长；

（3）如图2,射线交线段4。于G,求4G的最大值.

【题型7与矩形有关的新定义问题】

【例7】（2023•江西-校联考模拟预测）定义：有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等

腰直角四边形.如图，在矩形4完刀中，科=6,8。=9/是对角线力C上一点，且力只PC=2,.3,过点P作直线

分别交边AD,比、于点E,F,使四边形力必尸是等腰直角四边形，贝IJ，价的长是.

【变式7-1]（2023•广西南宁-广西大学附属中学校联考一模）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的

距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值.在平面内有一个矩形=4,AD=2,中心为0,

在矩形外有一点P,OP=3,当矩形绕着点。旋转时,则点尸到矩形的距高d的取值范围为.

【变式7-2]（2023•陕西西安・亶新一中校考模拟预测）如图①，在矩形中，点尸是矩形边上一动点,将

线段BF绕点尸顺时针旋转一定的带度，使得3F与矩形的边交于点£（含端点），连接BE,把^BEF定义为"转

角三角形”.

图①图②图③

⑴由“转角三角形”的定义可知，矩形A8C”的任意一个“转角△3""一定是一个—三角形；

⑵如图②,在矩形48CD中,AB=2,BC=3,当点尸与点。重合时，画出这个“转角△BEF",并求出点£的坐

标；

⑶如图③,在矩形中,AB=2,BC=3,当"转角△8"〃面积最大时,求点尸的坐标.

【变式7-3]（2023•江苏无锡•统考二模）定义：如图1,点。把线段月8分成两部分，如果?二鱼,那么点C

CD

为线段/厉的〃白银分割点”.

⑴应用：如图2,矩形ABCD中，A3=1,BC=企,E为CD上一点,将矩形ABC。沿施折叠，使得点。落在AD

边上的点尸处,延长BF交⑦的延长线于点G,说明点£为线段GC的“白银分割点”.

⑵已知线段力义如图3）,作线段后的一个〃白银分割点”，（要求：尺规作图,保留作图痕迹，不写作法）

【题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题】

[例8]（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中,矩形相切的顶点A在第一象般，氏〃分别

在y轴上,AB交*轴于点/r；AF1x轴,垂足为F.若OE=3,EF=1.以下结论正确的个数是（）

①04=34F;②/平分NCMF;③点。的坐标为（-4,一企）;四）BD=66;⑤矩形/Ia刀的面积为24四.

B]

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式8-1］（2023・四川成都•模拟预测）如图1,将•张菱形纸片ABC。（乙40c>90。）沿对角线BD剪开，得

到△力8。和仆BCD,再将△BCD以。为旋转中心,按逆时针方向旋转角%使@=得到如图2所示的

△DB'C,连接AC,BB'/DAB=45°,有下歹U结论：①AC=BB'\®AC1AB\®LCDA=90°;④8B'=

V3AB.其中正确结论的序号是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

B

/Ml&彳图28

【变式8-2］（2023•山东临沂・统考二模）如图，在矩形4BCD中,4B=3气AD=6,点£少分别是边48,BC

上的动点，点6不与A,8重合,且E尸=AB,G是五边形A£TCD内满足GE=GF且r=90。的点,现给出以

下结论：①与“尸8一定相等;②点G至IJ边AB,BC的距离一定相等;③点G到边力D,DC的距离可能相

等;④点。到边DC的距离的最小值为3,其中正确的是（写出所有正确结论的序号）.

【变式8-3］（2023•广东东莞-堪度初中校考二模）如图，已知一个矩形纸片的小将该纸片放置在平面直

角坐标系中，点/1（10,0）,点4（0,6）,点尸为仇7边上的动点,将△如「沿”折叠得到△。外,连接CD.AD.则

下列结论中：①当N/M—45°时，四边形如勿为正方形;②当/仇々30°时，ZSQ切的面积为15;③当P

在运动过程中，切的最小值为2取-6;④当O〃_L/L9时，跖=2.其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型9与矩形有关的规律探究问题】

【例9】（2023•湖南永州・三模）如图，在矩形A8CD中"8=2,CB=4,连接力C,以对角线力C为边,按逆时

针方向作矩形ACGa,使矩形4CGa相似于矩形;再连接4C1，以对角线AG为边,按逆时针方向作矩形

AC£82,使矩形〃£为相似于矩形ACGa;……按照此规律作下去.若矩形/出切的面积记作Si，矩形

ACC1名的面积记52,矩形力GC2%的面积记作S3,……，则$2024的值为.

［变式9-1］（2023•辽宁・统考中考真题）如图，四边形力BCD是矩形,延长DA到点E,使力E=DA,连接E8,

点Fi是CD的中点,连接EF］,BF］，得到ZlEFiB;点尸2是CF］的中点,连接BF?,得至必EF28;点F?是CF?的中

点，连接EF3,BF3t得到/EF3氏…;按照此规律继续进行下去,若矩形力BCD的面积等于2,则4E吊B的面积

为.（用含正整数n的式子表示）

【变式9-2］（2023•广西南宁・三模）如图，四边形48CD是矩形，点尸是边的三等分点，"=24乩点瓦

是C8边的中点,连接E/,EM得到△瓦尸。;点%是C瓦的中点,连接段产，%。得到△&F。；点E3是CE2的

中点,连接用凡E3。，得到△E3FD；…按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于6,则4E2Q22FD^

面积是.

B

【变式9-3]（2023•黑龙江鸡西«校考三模）如图，△ABC中，乙8=90。,8C=3,8。边上的高A8=1,点入、

Q】、H】分别在边48、AC.8c匕且四边形PiQ[H]B为矩形,PiQ1:P$=2:3,点P2、＜22、/分别在边

Qi%、CQi、C"i上，且四边形P2Q2H2从为矩形,P2Q2J2Hl=2:3,……按此规律操作下去,则线段CQ2023的

长度为.

【题型10矩形有关的动点问题】

【例10】（2023•广东深圳・校联考模拟预测）在矩形A8CD中"B=6,AD=15,点E在边BC上,且/AED=

90。,P是射线ED匕的一个动点.若^AEP是等腰直角三角形,则CP的长为.

【变式101]（2023•广东清远•统考二模）如图，已如四边形力。CD为矩形,43=8"。=6,F是3C边上一动

点,。是AC的中点,OE1。小交AB于£连接EF、OB.若。8将40"1的面积分成1:2的两部分,则8F的长

【变式10-2】（2023•河南南阳•校联考一模）【初步探究】

（1）把矩形纸片SBCD如图①折叠,当点A的对应点?在MN的中点时,填空：△EB'MqB'AN（W或

〃一）.

【类比探究】

（2）如图②，当点〃的对应点夕为MN上的任意一点时,请判断（1）中结论是否成立?如果成立,请写出证明过

程;如果不成立,请说明理由.

【问题解决】

⑶在矩形力BCD中,AB=4,BC=6,点E为BC中点、,点产为线段.48上一个动点,连接“,将^BPE沿PE折叠

得到△B'PE,连接当^EB'O为直角三角形时,8P的长为一.

【变式10-3]（2023•福建厦门・统考模拟预测）在矩形A8CD中,E是边CD上一点.

（1）如图1,点D,『关于直线AE对称.平移线段DE,使点E与点F重合,设点。的对应点为G.画出示意图,判断

四边形DEFG的形状并证明；

（2）如图2,若DE=k•DC（k为常数）,，是矩形内的动点，且满足EH=ED,若点，在运动的过程中，存在线段

8,长度最小时.，点，恰好关于直线4E对称的情形,请探究矩形48。。的边4。与CD满足的数量关系.（用

含A的式子表示）

【题型11与矩形有关的折叠问题】

【例11】（2023•黑龙江-统考中考真题）矩形ABCD中,48=3,AD=9,将矩形48CD沿过点4的直线折叠，

使点2落在点E处，若△4QE是直角三角形，则点E到直线OC的距离是.

【变式11T]（2023•湖北黄石・统考中考真题）如图，有一张矩形纸片A8CD.先对折矩形4BCD,使人）与

BC重合，得到折痕ER把纸片展平.再一次折叠纸片，使点4落在Er上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同

A-fB-1C-V2

【变式11-2]（2023•浙江衢州・统考中考真题）如图1,点。为矩形43CD的对称中心、=4,AD=8,点E

为ND边上一点（0<AE<3）,连接£0并延长，交BC于点居四边形与AB'FE关于£尸所在直线成轴对称,

线段86交力。边于点G.

(1)求证：GE=GF;

(2)当4E=22G时,求4E的长;

⑶令AE=a,DG=b.

①求证：(4一。)(4-b)=4:

②如图2,连接。8',0D,分别交AD,8/于点H,K.记四边形OKGH的面积为Si，△DGK的面积为S2.当a=1时,

捺的值.

【变式11-3】(2023•广西♦统考中考真题)【探究与证明】

折纸，操作简单,富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

【动手操作】如图1,将矩形纸片A8C。对折，使4。与BC重合，展平纸片，得到折痕Er;折叠纸片，使点夕落在

E尸上,并使折痕经过点4得到折痕AM,点B,£的对应点分别为以E',展平纸片,连接力",BB',BE'.

请完成：

⑴观察图1中41/2和乙3,试猜想这三个角的大个米养

⑵证明(1)中的猜想；

【类比操作】如图2,N为矩形纸片A8CD的边4。上的一点,连接8N,在力B上取一点P,折叠纸片，使B,P两点、

重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片，使点氏厂分别落在EF,BN上,得到折痕，，点氏〃的对应点分别为

B',P',展平纸片，连接,P'B'.

（图2）

请完成：

(3)证明8夕是NN8C的一条三等分线.

【题型12矩形与一次函数综合】

【例12](2023•河北沧州・校考模拟预测)矩形。ABC在平面直角坐标系如图所示,OA=12,OC=24,点

E、尸分别是。小OC上的动点，点E、尸分别从尔。同时出发，沿OA、OC方向，分别以每秒1个单位长度和

甸秒2个单位长度的速度向点。、C运动，当运动_秒时，"||47;当_L。3时，吏线ET的解析式

【变式12-1](2023•广东肇庆・统考一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形力8。。的顶点/I、〃在坐标轴匕

其坐标分别为(2,0),(0,4),对角线AC1X轴.

(1)求直线OC对应的函数解析式

(2)若反比例函数y=^(x>0)的图象经过DC的中点必请判断这个反比例函数的图象是否经过点B,并说明

理由.

【变式12-2](2023•江西萍乡・统考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中，直线y=-\x+2分别与“轴、

y轴交于点力、8,点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以力、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的

坐标为.

【变式12-3]（2023•黑龙江哈尔滨-哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）在平面宜角坐标系中，直线

AD交x轴于点4（-6,0）,交y轴正半轴于点〃，点C是点〃上方p轴上一点，以力。、。。为邻边作矩形

OABC,tanZ-OAD=1.

（1）求直线4）的解析式；

（2）延长8C交直线AD于点E,连接0£,连接CE,OG为公AE。的中线,设点E的横坐标为t,△G。。的面积为S,

当点G在线段/D上时，求S与£之间的函数关系式（不要求写自变量，的取值范围）；

⑶如图2,在⑵的条件下，作。/1。£交AE于点£必是线段4B上一点,连接MG、ME,作GN1MG交BE于

点A；作GP1ME垂足为P交BN于点、Q,若4尸+DE=1DF,NE=4QN,求直线QG的解析式.

【题型13矩形与反比例函数综合】

【例13】（2023•广西-统考中考真题）如图，过y=>0）的图象上点4分别作x轴,y轴的平行线交y=

，的图象于B,D两点，以力8,710为邻边的矩形/18CD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为工,S2,S3,S4,

若$+S3+S4=p则〃的值为（）

A.4B.3C.2D.1

【变式13-1]（2023•辽宁丹东-校考二模）如图，矩形0A8C的两边OA,。。在坐标轴上，且OC=204MA,分

别为。A,OC的中点,AN与8M交于点£且四边形EMON的面积为2,则经过点8的反比例函数的解析式

【变式13-2]（2023•陕西・统考中考真题）如图，在矩形。48。和正方形CDEF中，点力在y轴正半轴上，点

C尸均在x轴正半轴上，点。在边BC上,BC=2CD,AB=3.若点氏E在同一个反比例函数的图象上,则这

【变式13-3]（2023•湖南株洲・统考二模）在矩形力。BC中，OB=8,OA=4.分别以。&。力所在直线为x

轴,y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系./是BC边上一个动点（不与氏。重合），过点尸的反比例函数

（1）当点/运动到边8c的中点时,求点£的坐标；

（2）连接EF、A8,求证：EF||AB;

⑶如图2,将仆CEF沿EF折置，点。恰好落在边。8上的点G处,求此时反比例函数的解析式.

【题型14矩形与二次函数综合】

【例14】(2023•浙江湖州-统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x