问题解决活动：最短距离课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

问题解决活动：最短距离在七年级下册的时候我们学过利用转化的思想解决问题：①作点B关于河边直线

l的对称点B'，②连接AB'，与直线

l相交于点C.则点C即为所求.新课引入新知探索典例分析课堂小结作业布置“将军饮马”问题

如图，将军从A地出发，到一条笔直的河边

l饮马，然后到B地.如何选择饮马点C，可以使得将军所走的路径最短呢？为什么？BAB'Cl

你能证明AC+BC最短吗?问题1新课引入新知探索典例分析课堂小结作业布置“将军饮马”问题证明:如图，在直线l上任取一点C'(与点C不重合).

连接AC'，BC'，B'C'，由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C’.

∴AC+BC=AC+B'C=AB’，AC'+BC'=AC'+B'C’.

在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C’，

∴AC+BC<AC'+BC’，

即AC+BC最短.居民区工厂新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题

如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧,现要,沿着地铁线路修建一条地下通道,居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。

已知该地下通道长度为am,那么地下通道的两个出入口应该设计在何处,才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短?请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度)。问题2新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题

上述问题可以抽象成怎样的数学问题?试着写一写,画一画。理解问题居民区工厂已知一条直线

l(地铁线)，直线

l

两侧有两点A(居民区)、B(工厂)，在

l

上找两个点M和N，使得MN＝a(固定值).求AM＋MN＋NB的最小值.由于MN是固定长度a，所以我们的问题实际上就转化为：如何选择点M

和N，使得AM＋NB的值最小.新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题

(1)你以前遇到过类似的问题吗?拟定计划

我们学过“将军饮马”问题：在直线同侧有两点，找直线上的一个点使距离和最短；以及“两点之间，线段最短”等问题.

(2)解决这个问题最大的困难是什么?

最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离(确定一线段)无法通过直接连接A，B两点(确定一个点)来得到所求点的位置.

你能将这个问题转化成前面的问题(1)吗?新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题

(3)地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、

通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗?拟定计划

我们可以尝试把工厂沿着平行于地下通道的方向平移，平移的距离等于地下通道的长度a，通过这样的平移操作，原本被地下通道分割开的两段路，就能够在平移后连接起来，这样就可以利用“两点之间，线段最短”的原理来找到最短路线.新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题实施计划

（1）写出你的解决方案M'①平移变换(“移动”工厂)：将工厂点B沿着平行于地铁线

l的方向，向居民区A的一侧平移

am，得到一个新的点B'；②连接对应点(寻找“最短”线段)：忽略中间的地下通道，直接连接居民区A和平移后得到的点B'，连接AB'；③确定第一个入口(M'点)：线段AB'与地铁线

l相交于一点M'；B'NABMla新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题N'④确定出口(N'点)：从刚刚找到的点M'出发，沿着地铁线

l向原来工厂B所在的方向移动am，找到另一个点，标记为N'；⑤确认最终路径：现在，描出最终的最短路线，从A出发，到M'点进入地下通道，从N'点走出通道，最后到达工厂B.路径为A→M'→N'→B.

实施计划的关键是通过平移将被地下通道分离的线段转化为可利用“两点之间，线段最短”原理的连续线段，从而确定最短路径的端点.M'B'NABMala新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题证明:将点B水平向右平移a个单位到点B′，连接BN,B′M

由平移可知BB′=MN，且BB′∥MN∴四边形BB′MN为平行四边形。

∴BN=B′M∴AM+MN+NB=AM+MN+MB′＞MN+AB′

（2）说明你的方案的合理性又∵△AMB′中，

AM+

MB′＞AB′∴只有当A、M、B′三点共线时，

AM+

MB′

=

AB′最小新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题归纳总结解决实际“最短距离”问题的一般过程：1.将实际问题中的地点、路线等抽象为数学中的点、线，明确已知条件和目标；2.利用平移等图形变换，将分散的折线路径转化为可直接应用“两点之间，线段最短”的连续线段；3.通过连接转化后的点，找到与已知直线的交点，确定最短路径的关键端点.新知探索典例分析课堂小结作业布置新课引入“将军遛马”问题

通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么?回顾反思(1)解决这类最短路径问题可以将一个定点(定线段)进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答.(2)解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等进行解决典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置解决问题1.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁,现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直.那么，天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?解:如图所示，记甲单位所在位置为点A，

乙单位所在位置为点B，将点A沿竖直

向下的方向平移，平移距离等于桥长，

到达点A1，连接A1B，与道路靠近乙单

位的一侧交于点B1，过点B1建桥即符合要求.甲乙AA1B1典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置解决问题2.如图，某护城河在CC'处直角转弯，河宽均为5m，A，B到外河岸的距离都为5m，从A处到达B处，需经两座桥：DD'，EE'(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从A处到B处所走的路程最短？E□G解：如图，作法如下：

过点A作AF垂直于河岸，AF等于河宽；过点B作BG垂直于河岸，则AF＝BG＝河宽(即相当于将桥平移到AF，BG的位置)连接GF，分别与河岸相交于点E'，D'；过点D'作D'D垂直于河岸于D，过点E'作E'E垂直于河岸于E.由作图可知AD＋DD'＋D'E'＋EE'＋BE＝FD'＋AF＋D'E'＋BG＋GE'，∴最短路径为AF＋FG＋BG，∴D'D，E'E即为两座桥的位置.E'□FD'D典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置3.

如图，在