数值分析-第一章

参考书：

[1],,.计算机数值方法.第一版.北京：高等教育出版社，1999.[2],,,.数值分析原理.第一版.北京：科学出版社，2003.[3].科学计算概论.第一版.北京：科学出版社,2007.[4]RainerKress.NumericalAnalysis.NewYork:Springer-Verlag,2003.《数值分析》绪论1实际问题建立数学模型求解计算应用于实践抽象简化否结束解释实际问题类型方法是结果分析2

数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近似解法——数值方法,是从数学模型(由实际问题产生的一组解析表达式或原始数据)出发,寻求在有限步内可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则,这种规则称为算法,它包括计算公式,计算方案和整个计算过程.

这是一门与计算机紧密结合,实用性很强的数学课程.31.可行性:它只能包括计算机能够直接处理的加、减、乘、除和逻辑运算,以及计算机的内部函数,并能够在有限步结束.2.可靠性:它应该有数学理论分析的支持,包括误差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等,使得近似解与精确解的误差可以任意地小.3.高效性:它应该具有计算量小、占用存储单元少、计算过程简单、规律性强等优点.算法应具有的特点:4《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典算法.在学习中既要重视实际应用,又要重视有关理论,必须注意理解算法的设计原理和处理技巧,重视基本概念和理论——误差分析,收敛性与稳定性.认真完成习题中的理论证明和计算方面的相关问题,手算与上机计算相结合,同时注意培养利用计算机进行科学计算的能力.

数值计算方法涉及的基础数学课程较多,但在本课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数学知识.5

引例

例1:y=arctan5430–arctan5429的准确值为:0.19···0.339

10–7第一章引论例2:计算下面积分的值(n=0,1,2,···):

积分In的值必定落在区间[0,1]内,我们由被积函数及其图形作出判断.但是,用具有八位舍入功能的计算器直接计算得

y

1.5706122–1.5706121=0.0000001=1

10–7

所得计算结果的可靠性值得怀疑.这一结果的产生是由于四舍五入造成的.6由分部积分法可得:如果取I0=1–e–1=0.63212056(八位有效数字).n=1,2,4,6,8,10,15利用递推公式进行计算得:7大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流8

例3:对于一元二次方程x2–(109+1)x+109=0有两个精确的实根:x1=109,x2=1.如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式:其中的x2=0明显失真,这也是由于舍入误差造成的.直接进行计算则得:x1=109,x2=0.9实际问题建立数学模型确定计算方法编程上机由抽象简化产生的模型误差及参数的观测误差由计算方法本身产生的截断误差或称方法误差计算过程中产生的舍入误差§1误差的来源10例如用级数的前三项计算sinx的近似值,则截断误差为：

由于计算机的字长有限,用0.166667近似表示1/3!,就会产生舍入误差.即取11§2误差的概念

一、绝对误差与绝对误差限设x*为准确值(也称为真值)x的一个近似值,则称x–x*为近似值x*的绝对误差,简称为误差,并记作e(x*)=x–x*。满足不等式|e(x*)|=|x–x*|

*的正数

*称为近似值x*的绝对误差限,简称为误差限.

在工程技术中常记作x=x*±

*。例如,电压V=100±2(V),V*=100(V)是V的一个近似值,2(V)是V*的一个误差限,即|V–V*|

2(V)12

对于两个数值x1=100±2,x2=10±1近似值x1*=100的绝对误差限

*(x1*)=2是近似值x2*=10的绝对误差限

*(x2*)=1的两倍.但是,近似值100的偏差不超过2,而近似值10的偏差不超过1.哪个近似值的精度好呢？二、相对误差与相对误差限

设x的近似值为x*,则称x*的绝对误差e(x*)与精确值x的比值为近似值x*的相对误差,并记作er(x*),

一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关,还与精确值的大小有关.为此我们需要引入相对误差的概念.13

同样,由于精确值x经常是未知的,所以,需要另外的近似表达形式.我们注意如下公式的推导,较小时,有当即的同阶无穷小,故可忽略不计.当x*x时,即e

(x*)0时,上式是14作为近似值x*的相对误差.的正数

r*称为近似值x*的相对误差限.满足不等式通常将例如:x1=100±2的近似值

x1*=100的相对误差为而x2=10±1的近似值

x2*=10的相对误差为

因此,从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好.15

若近似值x*某位数数值的半个单位是其绝对误差限,而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止,共有n位数,则我们称这个近似值x*具有n位有效数字.

例如,

=3.141592···,x*=3.14的绝对误差|e(x*)|=0.00159···

0.01

1/2,即“4”所在的百分位的半个单位0.01

1/2是x*的绝对误差限,故x*的最左边的非零位数(个位)“3”到百分位“4”共有三位,所以x*=3.14具有3位有效数字.

有效数字位数越多,近似值的绝对误差和相对误差就相对越小,反之亦然.三、有效数字及其位数16§3误差的传播规律

设x1*,x2*分别为x1,x2的近似值,函数值y=f(x1,x2)的近似值用y*=f(x1*,x2*)表示.利用函数f(x1,x2)在点(x1*,x2*)处的二元泰勒展开公式,对y*的绝对误差和相对误差进行分析.近似值y*的绝对误差的近似表达式为:

当x1*和x2*的绝对误差都较小时,

y–y*=f(x1,x2)–f(x1*,x2*)17

在y*的绝对误差近似表达式的两端除以y*,即可得到y*的相对误差的近似表达式:这两个近似表达式给出了二元函数绝对误差和相对误差的传播规律.一般地讲,我们比较注意二元运算中的相关问题,以下对加、减、乘、除四则运算进行讨论.18加,减法相关的误差公式:设f(x1,x2)=x1±x2.19乘法相关的误差公式：设f(x1,x2)=x1

x2.20设f(x1,x2)=除法相关的误差公式:21

例4:测得圆环的外径D1=10±0.05(cm),内径D2=5±0.1(cm),的近似值为:D1D2其中,D1*=10(cm),D2*=5(cm),且已知|e(D1*)|≤0.05(cm),|e(D2*)|≤0.1(cm).则其面积22

由近似公式可得S*的绝对误差限和相对误差限分别为：

圆环面积的近似值S*=68.905(cm2)的绝对误差限为1.5708(cm2),相对误差限为2.7%.23§4数值运算中应注意的几个原则再来看例2的积分问题:

由递推公式In=1–nIn–1

(n=1,2,…)可得In-In*=(-1)nn!(I0-I0*)(n=1,2,…)

由n!惊人的发散速度,只要|I0–I0*|

0,无论多小,则In–In*就会无限地增大.如前面计算的结果.我们说这个算法不是好算法.一、选用数值稳定性好的算法如果我们将递推公式转换为:24进行如下实验:取N=20,IN=10,则计算结果为:

当x1*和x2*两数相近时,y*=x1*–x2*就会很小(即y*

0),由两数差的相对误差估计式:二、相近两数避免相减可以看出|er*(y*)|可能会很大,导致y*有效数字减少.25

引例1计算失真的原因就在于此.若将计算公式进行变换,就可能避免这种情况的发生.我们来看下面的计算过程:由于则

3.3921911

10-8这个计算结果是令人满意的.

避免相近两数相减的方法随算式和条件的不同而各异.例如:当x>>0时,26当|x|很小时,

当然在无法改变算式的情况时,可以考虑增加计算过程中的有效数字的位数.等等.

由于计算机的字长是有限的,对绝对值相差悬殊的两个数进行运算时,可能出现大数“吃掉”小数现象,从而影响结果的可靠性.三、警惕大数“吃”小数造成的危害

在例3的方程x2–(109+1)x+109=0中

–b=109+1=1000000001=0.1000000001

1010或–b=0.1000000000

1010+0.000000001

101027=:109

若使用尾数八位的浮点计算机时,两结果的最后两位“01”必然消失,其计算的结果均为:–b=:109,同样即大数109“吃掉”了小数1.根x2=0不能令人满意.求出一个绝对值较大的根x1,然后利用公式x1x2=c/a求出另外一个根x2,就可以保证所得到的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的精度都是可靠的.于是如果先利用公式:28可以看出,当