高等数学积分学课件-一元函数的积分学及其应用讲解学习

一元函数的积分一、不定积分二、定积分三、广义积分一、不定积分1.不定积分的概念和性质

定义1设函数f与F在区间I上有定义，若则称F为f在区间I上的一个原函数问题：

（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？

(2)如果f(x)有原函数，一共有多少个？

(3)任意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的概念任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量①②

定理1（原函数存在定理）

如果函数f（x）在某个区间上连续，那么f（x）在该区间上一定存在原函数.

简单理解：连续函数一定有原函数

定理2如果函数F（x）是函数f（x）的一个原函数，则F（x）+C（C为任意数）是f（x）的全部原函数.

性质1

设函数及的原函数存在，则性质2

设函数的原函数存在，为非零常数，则性质3性质43)不定积分的性质2.不定积分直接积分法不定积分的基本公式

利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形直接积分法3.不定积分的换元积分法说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.1)第一类换元积分法（凑微分法）（凑微分）2)第二类换元积分法（变量代换法）例1

求解令例2

求解令

说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令常用的基本公式表4.不定积分的分部积分法问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式例2

求积分解注意循环形式2)化有理真分式为简单分式3)有理函数的积分法二、定积分1.定积分的概念和性质曲边梯形

设函数y

f(x)在区间[a,

b]上非负、连续.

由直线x

a、x

b、y

0及曲线y

f(x)所围成的图形称为曲边梯形,

其中曲线弧称为曲边.

1）定积分问题举例

求曲边梯形的面积

(1)分割:a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取极限:设

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲边梯形的面积为(3)求和:曲边梯形的面积近似为;在小区间[xi

1,

xi]上任取一点xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

记Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在区间[a,

b]内任取分点:

设函数f(x)在区间[a,

b]上连续.

若当

0时,

上述和式的极限存在,

且极限值与区间[a,

b]的分法和xi的取法无关,

则此极限称为函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分,

记为

即2）定积分的概念函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理1

如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

如果函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定积分的定义

3)一般地,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示介于x轴、曲线y

f(x)及直线x

a、x

b之间的各部分面积的代数和.

1）当f(x)

0时,定积分在几何上表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与y=0所围成的封闭图形的面积.

2）当f(x)<0时,

定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值.

3）定积分的几何意义

性质1

性质2

性质3

性质4

性质5

如果在区间[a

b]上f(x)

0

则ò³badxxf0)((a<b).

1）定积分性质推论

如果在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则性质6

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值

则

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式

2.牛顿-莱布尼茨公式1）变上限积分函数

此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分.定理2若函数在上连续，则积分上限函数是在区间上的一个原函数.3.定积分的积分方法1）定积分的换元积分法2）定积分的分部积分法

三、广义积分1.无限区间上的广义积分

定义设函数在区间上连续取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分记作，即此时也称广义积分存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分不存在或发散。

类似的，可以定义在区间及上的广义积分。

注

广义积分收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。2.无界函数的广义积分

设函数在区间上连续，而取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分。记作即此时也称广义积分存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分不存在或发散。

类似的，可以定义