勾股定理的证明

勾股定理的证明第一课时教学目标：了解勾股定理的文化背景，经历探索并发现并验证勾股定理的过程，在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探索结果。通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情，在探究活动中体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神教学重点及难点：重点：经历探索并验证勾股定理的过程，难点：用拼图的方法证明勾股定理学具准备，方格纸全等的直角三角形纸板【教学过程】1、导入：师：同学们知道勾股定理吗？生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道。大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等。我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的。（投影显示勾股图）师：下面，让我漫步走进勾股定理的世界，一起来认识这种大自然共同的“语言”吧。2、勾股定理简介：在中国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。据《周髀算经》记载：约公元1千多年前，有个叫商高的人对周公说：“把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，则弦一定是5，即”人们还发现，在直角三角形中，勾是6，股是8，则弦一定是10，即；勾是5，股是12，则弦一定是13，即。所有的直角三角形都有这样的性质吗？世界上许多数学家，先后用400多种方法证明了这一定理，我国称之为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理。定理是这样的：直角三角形中两直角边a，b的平方和等于斜边的平方，即勾股定理的证明不同于前面所学的任何一个定理的证明，主要是用拼图的方法证明的，下面给大家介绍三种拼图，每一种拼图代表一种证法，你能分别给予证明吗？3、勾股定理的证明出示勾股定理拼图（如上图），学生四人一组展开讨论。约5－6分钟后学生举手发言，叙述不同的证法。证法三（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.∴.∴.证法四证法四也叫“总统证法”，讲述美国第20届总统加菲尔德发现勾股定理的故事。此时竟有学生发现两个证法三的图形拼在一起即为证法一的图形，观察力之敏锐，实在出乎意料。下面我们先看一看勾股定理的应用。4、勾股定理的应用学生叙述勾股定理的简单应用：已知直角三角形两边，求第三边。教师给出勾股定理的变式：，，，，例1、RtABC中，C=90°（1）a＝6，b＝8，求c（2）a＝40，c＝41，求b解：在Rt△ABC中，根据勾股定理（1）（2）例2、RtABC中，C=90°,∠B=30°，求AB、BC的长解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm∴AB=2AC=12cm（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半）在Rt△ABC中，根据勾股定理BC＝勾股定理的证明我们给大家准备了四种证法，最后一种证法也就是最经典的一种证法，我们把它放在最后，这正应了西方的一句谚语：Thelastisthebest.（最后的也就是最好的。）5、用几何画板演示奇异的勾股树，激发学生的兴趣7、小结：勾股定理及其证明和应用【课后记】勾股定理是数学史上最重要的定理之一，我觉得不仅要让学生知道勾股定理，会用勾股定理，还很有必要让学生了解这一伟大定理的简要证明。这对学生来说，不仅是学习一点简单的数学知识，更是对心灵的一种震撼。我想，数学不能只教一些死的、刻板的知识，更要让学生去体验、发现数学的美。第二课时【教学目标】知识技能：1、理解并掌握勾股定理的内容及其证明方法，能运用勾股定理解决实际问题。2、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理探索过程。数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想。问题解决：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。2、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究过程。情感态度：1、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生学习兴趣。2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神【教学重点】1、掌握勾股定理的内容。2、理解勾股定理的证明3、运用勾股定理解决具体问题。【教学难点、关键】利用“拼图”、【教学方法】观察法、小组讨论法、引导练习法、启发式教学及探究式教学法。【教学手段】三角尺、拼图、多媒体投影、课件【教学过程设计】自学指导：1.请同学们认真看课本36页活动1、活动2探究的内容，并用4张全等的直角三角形纸片，拼出了一些与教科书上不同的图案，用自己拼出的图案证明了勾股定理2.由此你能得出什么结论?8分钟后看谁做得又快又好，现在自学比赛开始。一、情境导入展示2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，被誉为数学界的“奥运会”，会徽的图案。会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就活动2来一同探索勾股定理．实验操作活动一学校需要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案，并与同伴交流.活动二用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.对这个命题的证明方法已有几百种之多。引导用拼图验证。在独立思考的基础上以小组为单位动手拼接。展示拼接过程。尝试证明。回答会徽问题。得出勾股定理。【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积∴，即.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90º，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即.同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有.∴，即.活动五我们今天学习了什么？（引导学生回忆、归纳总结。）勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方学习活动中你，你有得到快乐吗？在探究问题时，你有积极帮助别人或接受别人帮助吗？这节课你学到了什么，你有哪么收获？在此次活动中教师应重点关注：（1）不同层次的学生对知识的理解程度；（2）学生能否从不同方面谈感受；（3）倾听他人的意见，体会合作学习的必要性．布置作业：收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流．第三课时【教学目标】1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行简单的计算和证明；2、通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力；3、对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。【教学重点与难点】1、重点是勾股定理的应用；2、难点是勾股定理的证明及应用。【课型】新课。【教具】多媒体课件（演示文稿和几何画板）。【教学方法】讲授法、讨论法。教学程序：环节一：创设情境，导入新课如图：这是某学校平面图的一部分，A处是教学楼，B处是学生食堂，从教学楼到食堂有一条路ACB，但一些不守纪律的同学经常从在教学楼与食堂之间一块长80米、宽60米的长方形草坪上抄近路，结果草坪被踏出了一条斜路，你怎么看待这些同学的行为？你认为走斜路比直路能少走多少米？AABC这是我们生活中经常遇到的实际问题，那么将其转化为数学问题它又是已知什么求什么的问题呢？已知直角三角形的两边，如何求第三边，这就是我们今天要共同探索的问题----直角三角形三边的数量关系.环节二：合作探究，发现新知活动一地砖里的秘密在2500年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯就已经对直角三角形三边的数量关系有了明确的结论并给予了证明，相传他对三角形三边关系的发现竟然是从地砖中得到的，现在就让我们一同回到2500年前，体验一下毕达哥拉斯的经历：问题1、地砖是由全等的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系呢？你是怎么看出来的？问题2、如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？A﹢B＝C等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.活动二探究猜想验证1.等腰直角三角形三边满足上述关系，那么一般直角三角形呢？下面我们借助网格进行探索（每个小格代表一个单位面积）QQPEDFR问题1.请分别求出三个正方形的面积分别是几个单位面积.问题2.你能发现这三个正方形的面积间有怎样的关系吗？问题3.由此你能发现直角边长为3和4的直角三角形的三边具有怎样的数量关系？学生先独立思考，然后小组合作探究，共同交流，小组代表发言，全班集体交流，后多媒体展示.用数学语言表述你的猜想：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.动手实践：（1）画图：每个小组1号、3号同学画两直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，2号、4号同学画两直角边长分别为5cm和12cm的直角三角形，.（2）测量：请用刻度尺量出斜边的长（3）计算验证：三边长度是否满足上述关系.综合上述结果，你能用文字语言叙述这一结论吗？屏幕展示：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.这一活动学生先独立画图验证探究得到的结论，然后同桌交流，组长评阅.其实这一结论是可以证明的，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都曾经探讨和研究过它的证明.有资料表明，关于勾股定理的证明方法有500多余种，仅我国清末数学家华衡芳就提供了二十多种精彩的证法.今天我们也来证明一下怎么样？环节三：多种方法证明【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①∵=，，∴=.②把②代入①，得==.∴.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90º，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.∵，，，又∵，，，∴==，即.【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得===，即，∴.【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴，即，∴.同学们刚刚亲身经历了勾股定理的探索过程，并且了解了勾股定理的由来，其实很多科学家的伟大成就都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的；生活中处处有数学，只要我们用心观察，有一天我们也会成为某一伟大成就的发现者.勾股定理有着悠久的历史，它是几何学中的明珠，勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一.在古今中外的数学中占有十分重要的地位，在科学研究中也发挥着重要的价值.请看下面的阅读材料：阅读材料：世界上有外星人吗？现在世界上的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法.早在1820年，德国著名数学家高斯，就曾提出就曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命.我国数学家华罗庚也曾突出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空船戴上这个图形，并发射到太空中去.假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？使用“符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的.华罗庚认为，我们可以用两个图形作为与外星人交谈的媒介，一个是“数”，一个是“数形关系”，也就是勾股定理.因为这种自然图形所具备的“数形关系”在整个宇宙中是普遍的.环节四:总结反思拓展升华我学会了那些知识？我掌握了哪些方法？我获得了哪些思想？我收获到哪些经验？还有哪些困惑？环节五：盘点收获检测新知受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？环节六：推荐作业分层落实1.必做题：27页习题2.1.第1,3题，用第2幅拼图验证勾股定理.2.阅读课本36页“课题学习”了解勾股定理的多种证法或利用网络搜集其他更多证明勾股定理的方法、及有关知识.（根据自己的情况选择完成）第四课时【教学目标】让学生了解勾股定理的来源，掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，学会勾股定理的证明，熟练地运用勾股定理解决实际问题，同时锻炼学生的逻辑思维能力和发散思维方式。【教学方式】教师讲课，发现探究法，课堂讨论，练习法。【教学过程】1.引入a师：勾股定理是数学中一个伟大的发现，它由希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．在公元前1000多年，商高也发现了这一定理，因此勾股定理在中国又称“商高定理”。看来中国人比外国人还发现得早一点，那么，勾股定理到底是什么呢？想必大家都知道勾三股四玄五，那么是不是只有3.4.5才可以组成直角三角形呢？现在请同学们拿出直尺和笔在草稿纸上任意画一个直角三角形，然后测量其三条边a,b,ccab大家就算一下a2+b同学发言。2.师：大家可以多画几个直角三角形测量计算，看是否都成立。那么这个规律是不是适合所有的直角三角形呢？当然这需要严格的数学证明。请看下面【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，∴==r+r=2r,即，∴.∴，即，∵，∴，又∵====，∴，∴，∴，∴.【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设，即假设，则由==可知，或者.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.∴.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为=.∴,∴.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在E