贵州省安顺市高三第六次监测考试数学试题

安顺市2025届高三年级第六次监测考试数学2025年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上，2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4、请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集定义计算求解.【详解】因为集合，则.故选：C.2.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数的定义列出式子即可求出.【详解】因为是纯虚数，所以，则，所以.故选：A3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解.【详解】因为角的终边经过点，则，所以.故选：B.4.若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，在的展开式中，的系数为（）A.30 B.60 C.40 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据百分位数的定义可得，再写出二项式的通项，可得结果．【详解】因为为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，且，所以，所以的展开式的通项为，令，所以展开中的系数为.故选：B.5.贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（）A.12种 B.14种 C.16种 D.18种【答案】A【解析】【分析】利用插空法可求不同的排列方法.【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法；再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法；再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法，故共有种放置方法，故选：A.6.已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求.【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且，因为，故在右支上且，而，故，由余弦定理可得：，故选：C.7.已知是函数图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：因为，即，且函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.8.设函数，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析函数的正负性，进而得出，再构造函数，研究其最小值即可.【详解】令，则，当时，；当时，；当时，；当时，，由，知，所以，令，则，则得；得，则在上单调递减，在当上单调递增，所以，故的最小值为.故选：D.二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（）A.设为随机变量，为常数，则B.若，则与试验次数无关C.若，则D两点分布中，时，方差最大【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据期望和方差的性质即可判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式直接判断即可；对于C：根据正态分布的期望和方差公式直接判断即可；对于D：根据两点分别的方差公式结合基本不等式即可判断.【详解】对于选项A：根据期望和方差的性质可知：，故A正确；对于选项B：若，则，与试验次数无关，故B正确；对于选项C：若，则，故C错误；对于选项D：设成功的概率为，则方差，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，方差最大，故D正确；故选：ABD.10.已知向量，且在方向的投影向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B，由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.【详解】对于A，因为，故，故，故A错误；对于B，因为，故，整理得，故，故，故B正确；对于C，由题设有在方向的投影向量为，故，故即，故C错误，对于D，由C的分析可得，故，故D成立.故选：BD.11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（）A.时，使得要6步雹程 B.时，C.时， D.使得的的值有6个【答案】ACD【解析】【分析】根据“冰雹猜想”可快速判断ABC选项；结合“冰雹猜想”倒推满足情况的所有值即可判断D选项.【详解】若，则，则需要6步雹程，故A正确；若，则，因，则，故B错误；若，则，，则，故C正确；若，则或，若，则，，，；若，则，，，；若，则，，，；若，则，，，；若，则，，，；若，则，，，；故的所有取值为，共个，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知抛物线的顶点和焦点分别为，则以线段为直径的圆的方程是_______．【答案】【解析】【分析】先根据题目条件得出和；再根据中点坐标公式和两点间距离公式得出圆心坐标和半径，即可得圆的标准方程.【详解】由抛物线可得：顶点坐标为，焦点坐标为.所以线段的中点坐标为，.则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以线段为直径的圆的方程为：.故答案为：.13.设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________．【答案】【解析】【分析】根据已知可得有对称中心，对称轴，设为的最小正周期，利用可得答案.【详解】因为在区间上具有单调性，且，所以有对称中心，由得有对称轴，设为的最小正周期，则，所以，从而，解得.故答案为：.14.已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为______．【答案】【解析】【分析】根据正方体体对角线和面对角线的长度判断球面与正方体的交点位置，由球的截面性质求出截面圆的半径，利用弧长公式求解可得.【详解】正方体的体对角线长为，面对角线长为，因为，以为球心的球与面ABCD，面，面都没有交点，记球面与上底面交于M，N两点，则，因为为锐角，所以，同理，所以所以，同理在面和面内轨迹长都是，所以，球面与正方体表面交线的长度之和为．故答案为：四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，为等比数列，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，证明：．【答案】（1），.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本量法可求公差与公比，故可求两个数列的通项；（2）利用裂项相消法可求的前项和，从而可证题设中的不等式.【小问1详解】设等差数列公差为，等比数列的公比为，由题设有，因，故解得，故，.【小问2详解】,故.16.飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:性别飞盘运动合计不爱好爱好男61622女42428合计104050（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；(2)先求再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.【小问1详解】样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人.随机变量的取值为:.,,随机变量的分布列为随机变量的数学期望.【小问2详解】零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.根据列联表重的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.17.如图，在平行六面体中，点在底面的射影为点，．（1）求证：平面平面；（2）已知点在线段上（不含端点），且平面与平面的夹角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得、勾股定理得，再由面面垂直的判定定理可得答案；（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，由面面角的向量求法求出，再由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】因为平面平面，故，在中，，由余弦定理得：，得，故，则，因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，故，，所以，设，则，即，所以；设为平面的一个法向量，则，令，则，所以，因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，解得，故，，，设与平面所成角为，则.18.如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为．（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程.（2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值；（ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标.【小问1详解】由题意可知，，由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且长轴长，焦距，所以，因此曲线C方程为.【小问2详解】（ⅰ）设，，，由题可知，，如下图所示，则，，而，于是，所以，又，则，因此为定值；（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，设直线PQ的方程为，，，知，由，得，，得所以由（i）可知，，即，将代入化简得，化简得解得舍或，所以直线PQ的方程为，因此直线PQ经过定点19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）若且，有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程；（2）令，分析可知原题意等价于：与有2个交点，结合函数图象分析求解；（3）分析可知在内单调递增，进而可得在内恒成立，构建，利用导数结合零点代入分析最值即可得结果.【小问1详解】因为的定义域为，且，则，即切点坐标为，斜率，