初中九年级数学下册《图形的位似变换》深度探究教案

初中九年级数学下册《图形的位似变换》深度探究教案

一、课标要求与理论依据

本节课的教学设计严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7-9年级）“图形与几何”领域的要求。课标明确指出，学生应“通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比”，并“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。本课旨在将这一要求深化、具体化，超越简单的识记与模仿，引导学生从变换的视角、运动的观点理解位似，构建完整的相似知识体系，发展空间观念、几何直观、推理能力和模型思想等数学核心素养。

理论层面，本设计以建构主义学习理论为基石，强调学生在已有“相似图形”知识基础上的主动建构。同时，融合“问题驱动教学法”（PBL）与“变式教学理论”，通过精心设计的问题链和系列变式练习，引导学生在探究中生成知识，在“举一反三”中实现思维迁移与深化，达到对位似本质的深度理解和高阶应用。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

本节课内容选自人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第七节“位似”。在本章知识体系中，位似是全等、平移、轴对称、旋转、相似等图形变换的进一步延伸与综合。它既是相似变换的特例（具有特定位置关系的相似），又是一种重要的图形放大与缩小的方法，在数学内部（如函数图象变换、解析几何）和外部（如工程制图、计算机图形学、地理测绘）均有广泛应用。

教材通过引入“橡皮筋作图法”和坐标系中的坐标变化来阐述位似的概念与性质，结构清晰。然而，其例题与练习相对基础，对位似中心位置（图形内、外、边上）、位似比正负（同侧与异侧位似）的复杂情形，以及位似与其他变换的复合等深层问题的探究尚有空间。因此，本教学设计将在教材基础上进行深度与广度的拓展，构建更具挑战性和系统性的学习路径。

（二）学情分析

教学对象为九年级下学期学生，他们具备以下认知基础与潜在困难：

1.知识基础：已系统学习全等变换（平移、轴对称、旋转）和相似图形的基本性质与判定，掌握了比例线段、相似比等概念，具备一定的尺规作图和逻辑推理能力。

2.思维特征：抽象逻辑思维迅速发展，能够理解较为复杂的图形关系，但对“从静止的形似到动态的变换”这一视角转换仍需引导。部分学生习惯于模式化解题，对几何概念的本质理解和在多情境下的灵活应用存在挑战。

3.潜在难点：

1.4.对“位似中心”的核心作用及其位置多样性的理解。

2.5.对“位似比”的绝对值（放大缩小倍数）与正负（方向）双重含义的把握。

3.6.区分“位似”与“相似”、“位似变换”与“其他几何变换”的异同。

4.7.综合运用位似知识解决复杂的几何证明与作图问题。

基于以上分析，本设计将通过“问题探究-变式深化-整合应用”的流程，搭建思维脚手架，化解难点，提升学生的几何综合素养。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.理解位似图形、位似中心、位似比（相似比）的准确定义，能准确表述位似图形的性质。

2.掌握利用位似原理进行图形放大与缩小的基本方法，包括尺规作图法和坐标法。

3.能熟练识别复杂图形中的位似关系，并能综合运用位似性质进行几何计算与证明。

4.能辨析位似变换与平移、旋转、轴对称、相似变换的联系与区别。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例抽象出位似概念的过程，体会数学模型化的思想。

2.通过动手操作、观察猜想、推理论证等探究活动，发展观察、归纳、类比和演绎推理能力。

3.在“举一反三”的变式训练中，掌握从特殊到一般、类比迁移、多角度分析问题的思维方法。

4.尝试运用位似思想解决简单的跨学科（如物理光学）或实际问题。

（三）情感、态度与价值观

1.在探究位似图形奇妙性质的过程中，感受几何变换的对称美、统一美，激发数学学习兴趣和好奇心。

2.通过小组合作与交流，培养严谨求实的科学态度、合作精神和敢于质疑、勇于创新的意识。

3.体会位似知识在科技、艺术、生活中的广泛应用，认识数学的价值，增强应用意识。

四、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.位似图形的概念及其核心性质（对应点连线交于一点、对应边平行或在同一直线上、任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比）。

2.3.利用位似进行图形放大与缩小的作图方法。

4.教学难点：

1.5.对位似中心位置任意性（图形内、外、顶点上）及位似比正负性（同侧位似与异侧位似）的透彻理解与灵活处理。

2.6.在复杂的复合图形中识别并构造位似关系，综合运用位似性质解决综合性问题。

3.7.位似变换的“双向性”（放大与缩小的互逆性）及其与坐标系中比例关系的深度融合。

五、教学策略与方法

1.主导策略：采用“探究-建构”式教学。教师作为组织者、引导者和协作者，创设问题情境，搭建探究平台；学生作为发现者和建构者，主动参与知识的形成过程。

2.主要方法：

1.3.情境创设与问题驱动法：以“小孔成像”、“地图绘制”、“投影仪成像”等真实情境引入，激发疑问，驱动探究。

2.4.直观演示与实验操作法：利用几何画板动态演示位似变换的过程，让学生直观感受变化规律；组织学生进行尺规作图、网格纸绘图等操作活动，深化理解。

3.5.变式训练与举一反三：设计由浅入深、层层递进的例题和练习组，通过改变条件（位似中心位置、位似比大小与符号、图形背景等），引导学生触类旁通，掌握本质。

4.6.合作研讨与反思归纳：关键问题安排小组讨论，鼓励思维碰撞；及时引导学生对知识、方法、思想进行反思、梳理与归纳，形成结构化认知。

六、教学准备

1.教师准备：精心制作的多媒体课件（包含丰富的图片、动画，特别是用几何画板制作的位似变换动态演示）；预设的探究任务单、分层练习卷；实物投影仪。

2.学生准备：复习相似三角形的判定与性质；准备直尺、圆规、量角器、方格纸等作图工具。

3.环境准备：便于小组讨论的座位安排；黑板或白板规划好主板书区与副板书区。

七、教学过程实施（核心环节，详案）

第一课时：位似之“源”与“本”——概念建构与初步感知

（一）创设情境，激疑引趣（预计用时：8分钟）

1.现象观察：课件连续展示三组图片。

1.2.组一：通过小孔成像实验拍摄的蜡烛火焰倒立的像与火焰本身。

2.3.组二：一张中国地图和地图上某个省份的放大详图。

3.4.组三：用投影仪将一张幻灯片上的三角形投射到屏幕上，得到放大后的三角形。

5.问题驱动：

1.6.（指向组一）这两个火焰图形形状相同吗？大小呢？位置有何特殊关系？（引导学生说出“相似”、“倒立”、“光线交于一点——小孔”）

2.7.（指向组二）地图与详图是什么关系？你能在图上找到一对对应点（如两个北京的位置），并想象它们的连线延长后的情况吗？

3.8.（指向组三）屏幕上的三角形与原三角形是相似图形吗？所有对应顶点的连线（想象一下）有共同的特点吗？

9.抽象提问：这三组图形，既有相似图形的“形似”特点，又比一般的相似图形多了一种特殊的“位置”关系。你能尝试用几何语言描述这种特殊的位置关系吗？

【设计意图】从跨学科（物理）和实际生活的情境出发，让学生直观感受位似现象的普遍性。通过层层设问，引导学生聚焦“对应点连线共点”这一核心特征，为概念抽象做好铺垫。

（二）操作探究，归纳定义（预计用时：15分钟）

1.探究活动一：绘制“位似”三角形

1.2.任务：在学案给定的平面上有一个点O和△ABC。请以点O为定点，尝试画出△A‘B’C‘，使得它与△ABC相似，并且满足点A与A’、B与B‘、C与C’的连线都经过点O。（教师可提示：可以先连接OA，如何在OA上确定A‘点？）

2.3.学生活动：独立或两两合作，利用尺规尝试作图。教师巡视，收集典型作法（如利用刻度尺量取固定倍数，或仅凭感觉估计）。

3.4.展示与质疑：请不同做法的学生上台展示。引导全班讨论：这些方法画出的△A‘B’C‘都符合要求吗？如何保证“相似”且“连线共点”？有没有更精准的几何作图法？

5.探究活动二：尺规作图法的发现

1.6.教师引导：回顾相似三角形的判定。如果我们想让△A‘B’C‘∽△ABC，且对应顶点连线过O点，那么对应边应该有什么位置关系？（引导猜想：A’B‘∥AB，B’C‘∥BC，C’A‘∥CA）。

2.7.验证与作图：教师演示或引导学生操作：过点O作射线OA、OB、OC；在OA上取点A‘，使OA’：OA=k(k为给定比值，如2或0.5)；过A‘作AB的平行线，交OB于B’；过B‘作BC的平行线，交OC于C’；连接A‘B’,B‘C’,C‘A’。所得△A’B‘C’即为所求。

3.8.几何画板动态验证：在几何画板中，固定△ABC和点O，动态改变k值（包括大于1、等于1、小于1、负数），让学生观察△A‘B’C‘的变化，并特别关注k为负数时（A’在OA反向延长线上）图形的特点（异侧位似）。

9.归纳定义，明晰概念

1.10.在学生观察、操作、讨论的基础上，师生共同提炼并板书位似图形的严格定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时的相似比又称为位似比。

2.11.关键剖析：

1.3.12.两个条件：“相似”是基础，“连线共点且对应边平行”是位似的特征。

2.4.13.位似比k：k=\frac{OA‘}{OA}。|k|>1，放大；|k|<1，缩小。k>0，对应点位似中心同侧（同向位似）；k<0，对应点位似中心异侧（反向位似）。

3.5.14.位似中心的位置：可在图形外、图形内、图形的边上或顶点上。通过几何画板动态演示，让学生理解其任意性。

【设计意图】摒弃直接告知定义的方式，让学生通过“尝试-受挫-引导-发现”的过程，亲身经历位似作图法的创造，深刻理解定义中每一句话的几何意义。动态演示突破了对位似比正负和中心位置多样性的认知局限。

（三）性质探究，深化理解（预计用时：12分钟）

1.性质猜想：根据定义和作图过程，你认为位似图形具有哪些性质？（小组讨论）

2.性质归纳与证明：

1.3.性质1（核心）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（|k|）。引导学生利用平行线分线段成比例定理进行简单证明。

2.4.性质2：位似图形的对应线段（边、高、中线、角平分线等）之比等于位似比，且方向平行（或共线）。

3.5.性质3：位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。

4.6.性质4：位似图形具有“传递性”：若图形A与图形B位似，图形B与图形C位似（同一位似中心），则图形A与图形C位似。

5.7.思考：位似图形是全等图形吗？位似一定是相似吗？相似一定是位似吗？通过反例辨析，澄清概念外延。

【设计意图】从定义自然衍生出性质，并用已学知识进行推理验证，培养学生的逻辑推理能力。对性质3和4的探讨，将知识串联，形成网络。

（四）初步应用，巩固新知（预计用时：5分钟）

1.概念辨析题：判断给出的各组图形是否位似，若是，指出位似中心和位似比的大致范围（>1或<1，正或负）。

2.简单作图题：已知△ABC和位似中心O，分别以位似比k=2和k=-1/2，作出对应的位似图形。

【设计意图】通过即时反馈，检测学生对概念和基本作图法的掌握情况，为第二课时的深化学习做准备。

（布置作业）

1.必做：教材课后基础练习题。

2.选做/思考：寻找生活中还有哪些位似现象？尝试用今天所学解释“哈哈镜”成像原理（部分）。

第二课时：位似之“变”与“联”——变式探究与坐标深化

（一）复习导入，直击要害（预计用时：5分钟）

快速回顾上节课核心内容：位似的定义、性质、作图法。提出本课核心问题链：

1.Q1：如果位似中心不在图形外部，而在图形内部或顶点上，如何作图？图形有何特点？

2.Q2：在平面直角坐标系中，如何用坐标简洁地描述位似变换？

3.Q3：位似变换与我们已经学过的平移、轴对称、旋转、相似变换有何联系与区别？

（二）变式探究，举一反三（预计用时：20分钟）

探究活动三：位似中心“身在其中”

1.变式一：位似中心在图形边上

1.2.任务：已知△ABC，点O在边BC上。以O为位似中心，位似比k=1/2，作出△ABC的位似图形。

2.3.学生尝试：部分学生可能惯性思维，仍从顶点连线开始。教师引导发现：此时点B与C的对应点B‘、C’就在直线BC上，且分别位于O的两侧（因k为正）。需要先确定B‘、C’，再确定A‘。让学生探索作法并总结规律。

4.变式二：位似中心在图形内部

1.5.任务：已知四边形ABCD，点O在其内部。以O为位似中心，位似比k=-1，作出四边形的位似图形。

2.6.挑战：k=-1意味着什么？（中心对称！）此任务将位似与中心对称建立联系。引导学生发现：当k=-1时，位似变换退化为关于位似中心的中心对称变换。学生作图并验证性质。

3.7.追问：当位似中心在图形内部，且|k|≠1时，位似图形与原图形是包含还是相交关系？用几何画板演示。

8.归纳：位似中心的位置只影响作图的步骤顺序和图形的相对位置，不改变位似变换的本质属性。引导学生总结不同位置中心下的通用作图思路：始终抓住“连线、定比、作平行”的核心步骤。

探究活动四：坐标系中的位似“密码”

1.特殊到一般：在坐标系中，设位似中心为原点O(0,0)。已知点A(x,y)，位似比为k（k≠0），求对应点A‘的坐标。

1.2.推导：根据性质1，\frac{OA‘}{OA}=|k|，且方向由k的符号决定。结合坐标与向量思想，易得：A’(kx,ky)。

2.3.验证：在几何画板中建立坐标系，设定点A和公式，动态验证。

4.一般化：若位似中心为任意一点P(a,b)，点A(x,y)以位似比k变换到A‘，求A’坐标。

1.5.思路引导：可以转化为“平移-位似-平移”的复合过程。先将整个图形平移，使位似中心P与原点O重合；然后按以原点为心的位似变换（公式为X‘=kX,Y’=kY）；再平移回去。

2.6.公式推导：(板书推导过程)

设A‘(x’,y‘)。根据位似性质，有向量\overrightarrow{PA’}=k\overrightarrow{PA}。

即(x‘-a,y’-b)=k(x-a,y-b)。

所以，位似变换的坐标公式：

{

x

‘

=

k

(

x

−

a

)

+

a

y

’

=

k

(

y

−

b

)

+

b

\begin{cases}

x‘=k(x-a)+a\\

y’=k(y-b)+b

\end{cases}

{x‘=k(x−a)+ay’=k(y−b)+b​或写作：

{

x

‘

=

k

x

+

(

1

−

k

)

a

y

’

=

k

y

+

(

1

−

k

)

b

\begin{cases}

x‘=kx+(1-k)a\\

y’=ky+(1-k)b

\end{cases}

{x‘=kx+(1−k)ay’=ky+(1−k)b​

3.7.意义理解：公式揭示了位似变换是一种线性变换。当中心为原点时，是单纯的比例缩放；当中心非原点时，是缩放与平移的复合。

【设计意图】通过改变位似中心的位置，打破学生的思维定势，深化对概念灵活性的理解。将位似代数化、坐标化，不仅提供了新的工具，更揭示了其数学本质，实现了数形结合的高层次统一。

（三）纵横对比，构建网络（预计用时：10分钟）

小组讨论与表格归纳：以小组为单位，从“定义”、“不变性（保距、保角、保形等）”、“表示方法”、“特例”等维度，对比位似变换、平移、轴对称、旋转、相似变换。

变换类型

定义核心

不变性

表示/关键参数

特例/备注

平移

所有点沿同一方向移动相同距离

形状、大小、方向、距离、角度

平移向量

轴对称

所有点关于一条直线（对称轴）对折重合

形状、大小、距离（到对称轴）

对称轴方程

两轴对称=平移或旋转

旋转

所有点绕一个定点（旋转中心）转动同一角度

形状、大小、距离（到中心）

旋转中心、旋转角、方向

旋转180°=中心对称

相似变换

图形放大或缩小，形状不变

形状、角度、线段比例关系

相似比

包括位似

位似变换

相似且对应点连线共点

形状、角度、线段比例关系、共点性

位似中心、位似比（可正可负）

k=1时为恒等变换；k=-1时为中心对称

（此表在师生互动中逐步完善）

核心洞察：

1.位似是相似的特例，增加了“位置”约束。

2.平移、旋转、轴对称是保距变换（全等变换）；位似和一般相似是保形变换。

3.所有变换都可以在坐标系中用代数公式描述，体现了几何代数化的强大力量。

（四）综合应用，思维跃迁（预计用时：10分钟）

例题精讲：

如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F。已知BE：AB=1：3，S△BEF=1。

（1）求证：△BEF∽△CDF；

（2）求△CDF的面积；

（3）连接BD，试判断△BDE与△BDF是否位似？若是，指出位似中心及位似比；若不是，说明理由。

引导分析：

1.第（1）（2）问是常规相似三角形判定与面积比问题，巩固基础。

2.第（3）问是深度辨析。学生容易误以为因为共角∠DBE=∠DBF，且由（1）可推一些边成比例，就认为是位似。引导学生严格按照位似定义判断：需要验证所有对应顶点（B对B？D对D？E对F？）的连线是否共点。连接BD、BE(BF)、DE(DF)，发现顶点B与B自身对应，其“连线”就是点B本身，可以认为过任意点（但定义要求是“同一点”）。关键是D与D的连线是点D，E与F的连线是直线EF，这三条线（点B、点D、直线EF）并不交于同一点。因此，它们不是位似图形。此问旨在强化定义作为判据的严谨性，防止学生凭感觉下结论。

（布置作业）

1.必做：利用坐标公式，完成教材关于坐标系中位似的练习题。

2.探究：（1）设计一个图案，利用位似变换（可结合其他变换）进行放大、缩小和反向，创作一幅具有层次感的几何装饰画。（2）撰写一篇数学小短文：《我看图形的“家族相似”与“定点缩放”——位似变换的启示》。

第三课时：位似之“用”与“合”——综合实践与拓展延伸

（一）项目实践：我是小小测绘师（预计用时：25分钟）

1.情境与任务：学校计划在操场边一块不规则空地上（提供简化多边形平面图，画在方格纸上）设计一个花坛。需要绘制一张比例尺为1:100的规划图，并在图上标出几个关键景观点的位置。现有一张比例尺为1:500的场地初图。

2.活动步骤：

1.3.小组分工：每组4-5人，包含测量、计算、绘图、汇报等角色。

2.4.问题转化：如何将1:500的图精确放大为1:100的图？放大比例是多少？（不是5倍！注意比例尺是长度比，面积比是平方。从1:500到1:100，意味着图上1单位代表的实际长度从500变为100，所以新图上的相同实际距离需要用5倍的线段长度表示，即位似比k=5）。

3.5.制定方案：选择位似中心（可选择图上一个关键点作为中心，方便定位）。讨论并确定使用哪种方法（方格纸缩放法、尺规作图法、坐标计算法）最合适。

4.6.动手操作：在提供的1:500初图（带网格）上，选择合适的位似中心和方法，绘制出1:100的规划草图。要求至少准确确定多边形顶点和两个内部景观点的位置。

5.7.误差分析与交流：各小组展示成果，讨论在操作过程中可能产生误差的来源（作图不精准、读数误差、方法选择等），分享优化技巧。

【设计意图】将位似知识置于真实的“测绘”项目情境中，让学生体验数学的工具价值。任务涉及比例尺的灵活换算、方法的优化选择、团队协作与实际问题解决，是综合素养的绝佳锻炼。

（二）跨学科链接：光学中的位似（预计用时：10分钟）

1.回顾与解释：用位似原理解释第一课时引入的“小孔成像”（倒立、缩小的实像，位似中心是小孔，k<0且|k|<1）和“投影仪成像”（倒立、放大的实像，k<0且|k|>1）。

2.深入探讨：凸透镜成像公式（作为拓展，视学生接受能力）。

1.3.介绍物距(u)、像距(v)、焦距(f)的概念。

2.4.展示标准光路图，引导学生发现：物体AB与像A‘B’关于光心O构成了一对异侧位似图形（k=-v/u）。

3.5.由此，从位似图形的性质（对应点到位似中心距离比等于位似比），可以直观推导出三角形相似关系，进而得到成像公式\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}。

4.6.讨论k的正负、大小与成像虚实、大小、倒正的关系，将数学的“k”与物理的成像性质完美对应。

【设计意图】打破学科壁垒，展示位似作为数学模型在物理学中的深刻应用。让学生体会数学的抽象是理解世界规律的有力武器，激发对科学探索的热情。

（三）思维挑战，总结提升（预计用时：10分钟）

1.挑战题（供学有余力学生课堂思考或课后完成）：

在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(3,4)。进行如下复合变换：先以点P(2,1)为位似中心，位似比k=2进行位似变换得到△A‘B’C‘；再将△A‘B’C‘绕原点顺时针旋转90°，得到△A’‘B’‘C’‘。求△A’‘B’‘C’‘的顶点坐标。

1.2.思维点拨：分步进行，先利用位似坐标公式求A‘B’C‘坐标，再用旋转坐标公式求最终坐标。体验坐标法处理复杂变换的优越性。

3.课堂总结（引导学生自主梳理）：

1.4.知识层面：我们认识了位似变换的定义、性质、作图法、坐标表示。

2.5.方法层面：我们经历了“观察-抽象-操作-推理-应用”的探究过程，掌握了“变式训练”、“举一反三”、“数形结合”、“类比归纳”等学习策略。

3.6.思想层面：我们感受了从特殊到一般、几何变换的统一美、数学建模的广泛应用。

4.7.情感层面：我们体会了合作探究的乐趣和解决复杂问题的成就感。

（布置长效作业/项目）

完成“小小测绘师”项目的完整报告，包括：任务描述、方案设计、作图过程、成果展示、反思改进。报告将作为本章学习的重要过程性评价资料。

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：记录学生在探究活动、小组讨论、回答问题中的参与度、思维深度和合作精神。

2.3.作品分析：对学生的作图作品、探究任务单、项目报告进行评价，关注其规范性、准确性、创新性和反思深度。

3.4.口头反馈：在课堂互动中给予即时、具体的点评与引导。

5.终结性评价：

1.6.单元测验：设计包含概念辨析、基础作图、坐标计算、综合证明、实际应用等多层次题型的测试卷，全面评估学习目标达成度。

2.7.项目报告评价：制定量规（Rubric），从数学内容应用、实践操作能力、报告撰写质量、团队合作等方面对“小小测绘师”项目进行综合评价。

8.评价主体多元化：结合教师评价、学生自评、小组互评，促进学生自我反思与共同成长。

九、板书设计（主板书规划）

左边主板块：核心概