初中数学八年级下册《图形的平移》教案 -2

初中数学八年级下册《图形的平移》教案

一、教材与学情分析

本节课内容选自北师大版初中数学八年级下册第三章《图形的平移与旋转》的第一节。平移是图形变换中最基本的形式之一，是后续学习旋转、轴对称乃至更复杂几何变换的基础，也是连接几何与代数、运动与静止的桥梁。在知识结构上，学生已学习了平面直角坐标系、全等三角形、平行线与相交线等基础知识，这为从定性和定量两个角度研究平移变换提供了可能。从现实角度看，平移现象广泛存在于日常生活（如电梯运行、推拉门窗）、工程设计（如图案设计、零件装配）乃至自然科学领域（如晶体结构），因此本课具有极强的实践价值和跨学科意义。

学情方面，八年级学生具备了一定的抽象思维能力、图形观察能力和动手操作能力。他们对生活中的平移现象有丰富的感性认识，但往往停留在“物体移动”的表象，缺乏从数学本质——即图形上每一点按同一方向移动相同距离——进行抽象概括的能力。同时，学生习惯于静态几何的研究方式，初次系统接触“图形运动”这一动态几何概念，可能在思维转换上存在挑战。部分学生可能混淆平移与平行移动的概念，或将平移距离理解为图形间的最近距离而非对应点间的距离。因此，教学需从学生经验出发，搭建从具体到抽象、从感性到理性的认知阶梯，引导他们经历观察、操作、归纳、验证、应用的完整探究过程，建构平移的数学本质。

二、教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形与几何”领域的要求，结合核心素养导向，制定以下三维目标：

（一）知识与技能

1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2.掌握平移的基本性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的图形全等；（2）对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；（3）对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。

3.能识别简单的平移图案，能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

4.初步学会在平面直角坐标系中用坐标表示平移，探索点、图形在坐标系中平移前后坐标的变化规律。

（二）过程与方法

1.经历观察、分析、操作、概括等探索平移概念与性质的过程，发展抽象概括能力和空间观念。

2.在探究平移性质的过程中，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合等数学思想方法。

3.通过运用平移知识进行简单的图案设计或解决实际问题，增强应用意识，初步建立运动变化研究图形问题的思维方式。

（三）情感态度与价值观

1.感受平移变换与现实生活的紧密联系，体会数学的实用价值和美学价值。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习自信。

3.通过小组合作与交流，培养团队协作精神和严谨求实的科学态度。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.平移概念的理解与本质属性的把握。

2.平移基本性质的探索、归纳与简单应用。

3.在平面直角坐标系中研究点的坐标平移变化规律。

（二）教学难点

1.平移性质中“对应点连线平行且相等”的探索与理解，尤其是对“对应点”概念的清晰认识。

2.对平移“两要素”（方向与距离）的准确把握，并能据此准确作出平移后的图形。

3.从图形运动变化的视角理解平移，实现从静态几何到动态几何思维的初步转换。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的平移生活实例动画、几何画板动态演示文件）、磁性黑板贴（各种几何图形）、网格纸、三角板、直尺。

2.学生准备：预习教材相关内容，准备三角板、直尺、量角器、圆规、方格纸、半透明描图纸（或硫酸纸）。

3.环境准备：教室座椅按四人或六人小组布局，便于合作探究。确保多媒体设备运行正常。

五、教学过程

（一）创设情境，激趣导入（预计时间：8分钟）

师：（播放一段精心剪辑的短视频，内容包含：观光电梯的垂直升降、自动感应门的左右滑动、传送带上包裹的平稳移动、抽屉的推拉、滑雪运动员沿直线滑下的轨迹、计算机设计中一个图案的批量与排列等）请同学们认真观看视频，并思考：这些运动有什么共同的特点？

（学生观看，积极思考）

生1：它们都是沿着直线在移动。

生2：物体的样子没有变，只是位置变了。

生3：移动的时候，物体没有转动。

师：同学们观察得非常仔细！在数学中，我们把这种“图形上所有点按同一方向移动相同距离”的运动，称为“平移”。今天，我们就一起来深入研究这种既常见又充满数学魅妙的图形变换——图形的平移。（板书课题：图形的平移）

（设计意图：通过动态视频呈现丰富的生活实例，快速激活学生的已有经验，激发学习兴趣。引导学生从纷繁的现象中寻找共同本质特征，自然引出课题，并初步形成对平移的感性认识——沿直线、形状不变、位置改变。）

（二）活动探究，建构概念（预计时间：12分钟）

1.动手操作，感知平移

师：请同学们拿出课前准备的三角板和半透明描图纸。将描图纸覆盖在三角板上，描下三角形ABC。然后，固定描图纸，将三角板沿桌面边缘（代表一个方向）移动一段距离（例如10厘米），再次描下新的三角形A'B'C'。观察原来的三角形ABC和移动后得到的三角形A'B'C'。

（学生动手操作，教师巡视指导）

师：请大家思考并小组讨论：

（1）移动前后，三角形的形状和大小改变了吗？你是如何判断的？

（2）连接对应点（如A和A'，B和B'，C和C'），你发现这些线段有什么关系？

（3）新图形上的每一点，与原图形上的某一点是否存在唯一的对应关系？

1.归纳概括，形成定义

各小组汇报讨论结果。

组1：我们通过叠合描图纸，发现三角形ABC和A'B'C'能够完全重合，所以它们的形状和大小完全相同，是全等形。

组2：我们测量了AA'、BB'、CC'，发现它们长度相等，而且用三角板判断，它们都是平行的。

组3：我们认为，原图形上的每一个点，在新图形上都有一个点与之对应，而且移动的方式是一样的。

师：总结得非常好！根据大家的发现，我们能否给“平移”下一个数学定义呢？关键在于抓住两个要素。

（引导学生逐步抽象：一个图形、沿某个方向、移动一定距离、图形运动。）

师生共同归纳：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。其中，“沿某个方向”和“移动一定的距离”是平移的两个要素，分别称为平移的方向和距离。

（设计意图：通过动手描图、移动、再描图这一系列具体操作，让学生亲身体验平移过程，将生活经验数学化。设置层层递进的问题链，引导学生从形状大小、对应点连线、点的对应关系等多个维度进行观察和思考，为自主归纳平移定义和性质奠定坚实基础。强调“两要素”，抓住概念的核心。）

（三）深入探究，发现性质（预计时间：20分钟）

1.猜想与验证

师：刚才的操作中，我们针对一个具体的三角形得到了一些发现。这些发现对于任意图形的平移是否都成立呢？这需要我们从特殊到一般进行验证。请大家在方格纸上画一个任意多边形（例如四边形ABCD），然后规定一个平移方向（如向右）和距离（如4格），画出平移后的四边形A'B'C'D'。

（学生独立画图，教师用投影展示标准作图过程，强调利用方格确定方向和距离的方法。）

师：现在，请大家以前后桌四人为一小组，借助手中的工具（刻度尺、量角器），对你们所画的平移前后图形进行测量、比较和探究，尝试发现并总结平移具有哪些一般性质。请将你们的发现记录在学案上。

（学生小组合作，热烈讨论、测量、记录。教师深入各组，聆听讨论，适时点拨，如提醒学生关注对应点、对应线段、对应角等关系。）

1.归纳与表述

请不同小组代表分享他们的发现。

组A代表：我们发现平移前后，图形是全等的。对应线段相等，比如AB=A'B'，BC=B'C'，而且它们似乎平行。

组B代表：我们补充，对应角也相等，∠A=∠A'，∠B=∠B'。我们还发现连接对应点的线段，如AA'、BB'，不仅相等，而且平行（或在同一条直线上）。

组C代表：我们组还思考了为什么会有这些性质。因为平移是整个图形上每个点都按相同方向移动相同距离，所以任意一对对应点之间的“移动路径”AA'必然相同（平行且相等），从而导致了对应线段也平行且相等，图形形状大小不变。

师：同学们的探究非常深入，甚至触及了性质背后的原因！现在，我们一起来系统化地总结平移的性质。

（教师引导学生用规范的数学语言进行总结，并板书）

平移的性质：

（1）平移不改变图形的形状和大小。平移前后的两个图形是全等形。

（2）平移前后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

（3）平移前后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。

教师强调：

1.“对应点”是理解性质的关键。图形上的每一个点平移后都有一个新点与之对应。

2.性质（2）是平移的核心性质，它蕴含了平移的方向和距离信息。

3.平移不改变图形的朝向。一个图形平移后，它上面的所有箭头方向保持不变。

1.几何画板动态演示，深化理解

师：为了让大家更确信这些性质适用于任意图形和任意平移，我们请“几何画板”来帮忙。

（教师操作几何画板，展示如下动态过程：

（1）绘制一个任意曲线形。

（2）定义一个向量（代表平移的方向和距离）。

（3）让曲线形按此向量平移。

（4）动态显示任意几对对应点，测量其连线长度，验证平行且相等。

（5）追踪图形平移的轨迹，形成一系列全等图形。）

学生观看动态演示，直观感受平移过程中不变的性质，对“图形上每一点都做相同运动”的理解更加深刻。

（设计意图：本环节是突破教学难点的关键。通过从特殊三角形到一般多边形的探究拓展，培养学生从特殊到一般的归纳能力。小组合作探究的方式鼓励学生自主发现、交流论证，发展合作精神与探究能力。几何画板的动态演示，将平移过程可视化、连续化，以技术手段强力支撑学生对抽象性质的直观理解和确信，有效化解“对应点连线平行且相等”这一难点。）

（四）学以致用，掌握作图（预计时间：10分钟）

1.基础作图：点的平移与线段的平移

师：掌握了平移的性质，我们就可以根据要求作出图形平移后的图形。最基础的，是作一个点的平移。例如，已知点A和平移方向（射线MN方向）及距离（3cm），如何作出点A平移后的对应点A'？

（引导学生思考利用性质（2）：过点A作射线MN的平行线，并在其上截取AA'=3cm。学生口述，教师板演。）

师：那么，已知线段AB和平移的条件，如何作线段AB平移后的图形呢？

（引导学生得出关键：确定端点A、B的对应点A'、B'，再连接即可。学生上台板演。）

2.核心作图：多边形的平移

出示例题：如图，经过平移，三角形ABC的顶点A移到了点D。作出平移后的三角形。

师：题目只给出了一个对应点A和D，我们能确定平移的方向和距离吗？如何利用平移性质完成作图？

学生思考后回答：能。连接AD，AD的方向和长度就是平移的方向和距离。根据性质（2），点B、C的对应点B'、C'应该满足BB'//AD且BB'=AD，CC'//AD且CC'=AD。

教师引导学生归纳作图步骤：

（1）连接AD。

（2）分别过点B、C作线段AD的平行线。

（3）在所作平行线上分别截取BB'=AD，CC'=AD。

（4）连接D、B'、C'，则三角形DB'C'即为所求。

教师规范板演，并邀请另一位学生用不同方法（如根据全等，利用对应点连线平行且相等作图）上台演示，鼓励思维多样性。

3.变式练习

练习：在方格纸中，将小船图案先向左平移5格，再向上平移3格，画出最终的图案。

（强调在网格中作图的便捷性，以及连续平移等效于一次平移的向量和思想，为后续学习埋下伏笔。）

（设计意图：将平移性质及时转化为作图技能，实现知行合一。作图教学由易到难，从点到线再到多边形，逻辑清晰。通过典型例题，聚焦“已知一个对应点”这一常见条件，引导学生灵活运用核心性质（2）解决问题，掌握通用的、基于性质的作图方法，而非机械模仿。变式练习联系趣味图案，增加趣味性，并初步渗透平移合成的思想。）

（五）坐标视角，数形交融（预计时间：15分钟）

1.探索点在直角坐标系中的平移规律

师：我们已经能从几何图形上研究平移。如果把这些图形放在平面直角坐标系中，平移会不会引起图形上点的坐标发生规律性的变化呢？让我们再次开启探索之旅。

探究活动一：

在坐标纸上建立平面直角坐标系，描出点A（2，1）。

（1）将点A向右平移4个单位长度，得到点A1，写出点A1的坐标。

（2）将点A向左平移3个单位长度，得到点A2，写出点A2的坐标。

（3）将点A向上平移2个单位长度，得到点A3，写出点A3的坐标。

（4）将点A向下平移3个单位长度，得到点A4，写出点A4的坐标。

（学生快速完成并回答）

师：观察点A平移前后坐标的变化，你能发现什么规律吗？

生：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。

师：非常精炼！如果我们规定一个点的平移是“右移a个单位，上移b个单位”（a、b可为正、负，负值代表左移或下移），那么点（x，y）平移后的坐标是什么？

生：（x+a，y+b）。

探究活动二：

如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-2），C（1，-2）。将三角形ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到三角形A'B'C'。

（1）写出点A'、B'、C'的坐标。

（2）观察三角形ABC与三角形A'B'C'对应顶点的坐标，验证你的规律。

（3）三角形ABC内部任意一点P（x，y）按同样方式平移后，点P'的坐标是什么？

学生计算、验证，得出结论：图形平移时，其上所有点的坐标都遵循同一规律变化。

1.归纳与提升

师生共同总结直角坐标系中点的平移规律：

在平面直角坐标系中，将一个图形依次沿x轴、y轴方向平移，其坐标变化规律为：

向右平移a个单位，横坐标加a；向左平移a个单位，横坐标减a。

向上平移b个单位，纵坐标加b；向下平移b个单位，纵坐标减b。

若将点（x，y）沿两个方向综合平移至点（x'，y'），则有：x'=x+a，y'=y+b。

反之，若已知平移前后对应点的坐标，也可求出平移的方向和距离（a，b）。

教师指出：这里的数组（a，b）在数学上称为“平移向量”，它同时刻画了平移的方向和大小（距离），是连接几何平移与代数表示的完美桥梁。

（设计意图：将平移研究从纯几何领域引入到数形结合的坐标系中，是知识的重要深化与拓展。通过设计循序渐进的探究活动，让学生自己发现坐标变化的规律，体会从具体数字到一般字母表示的抽象过程。引入“平移向量”的初步思想，为高中学习埋下伏笔，体现知识的连贯性。这部分内容将图形的运动代数化，极大地丰富了研究平移的工具和视角。）

（六）综合应用，拓展延伸（预计时间：10分钟）

1.解决问题

出示问题：如图，一块长方形草地，长为20米，宽为15米。草地上有一条弯曲的小路（小路的任何地方水平宽度都是1米）。请问草地（阴影部分）的面积是多少？

师：这个弯曲的小路看起来把草地分成了不规则的两部分，直接求面积有困难。大家仔细观察，小路的形状有什么特点？能否运用我们今天所学的知识，巧妙求解？

引导学生发现：如果把小路左侧的阴影部分向右平移1米，那么两块阴影部分恰好可以拼成一个新的长方形。这个新长方形的长是（20-1）米，宽仍是15米。因此，草地面积=（20-1）×15=19×15=285（平方米）。

师：太棒了！通过平移，我们将一个不规则图形的面积问题，转化成了规则图形的面积问题。这就是平移思想在解决问题中的妙用——化不规则为规则，化复杂为简单。

2.图案欣赏与设计

展示一组利用平移设计的精美图案（如花边、地砖、壁纸、LOGO等）。

师：平移不仅存在于生活中，也是艺术创作和设计的重要工具。请同学们欣赏这些图案，体会平移带来的秩序感、节奏感和韵律美。

课后挑战任务（选做）：请利用平移变换，为你班级的板报或学校的文化衫设计一个简单而富有创意的图案，并说明你的设计理念和运用了怎样的平移。

（设计意图：通过实际问题的解决，让学生体会平移作为一种数学思想方法在解决问题中的威力，提升应用意识和创新能力。通过欣赏和设计平移图案，将数学与美学、艺术创造相结合，感受数学的实用价值和创造乐趣，实现跨学科融合，落实情感态度价值观目标。）

（七）课堂小结，反思提升（预计时间：5分钟）

师：通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？请从知识、方法、思想等角度进行总结。

（学生自由发言，教师引导、补充和完善）

知识方面：

1.平移的定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定距离。

2.平移的性质：全等；对应点连线平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。

3.平移的作图：利用性质，关键是确定对应点。

4.坐标系中的平移：点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位得到点（x+a，y+b）。

方法思想方面：

5.研究图形变换的一般过程：观察实例→操作感知→归纳定义→探究性质→实践应用。

6.重要的数学思想：从特殊到一般、数形结合、转化与化归。

7.用运动变化的观点看待几何图形。

（八）分层作业，巩固深化

【基础巩固】（必做）

1.教材课后练习题第1、2、3题。（巩固平移概念与基本性质）

2.在方格纸中，画出平行四边形ABCD向右平移6格，再向下平移2格后的图形，并写出平移前后对应顶点的坐标。（巩固作图与坐标规律）

3.列举三个生活中属于平移现象的例子，并用平移的“两要素”进行简要说明。

【能力提升】（选做）

4.思考：一个图形连续进行两次平移，结果是否等同于一次平移？如果是，如何确定这一次平移的方向和距离？请举例说明。

5.探究：在平面直角坐标系中，将点P（x，y）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点P1；若将点P先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点P2。请问P1和P2是同一点吗？这说明了什么？

6.小论文（或手抄报）主题：《我身边的平移世界》——从数学视角观察和描述生活中的平移现象及其应用。

六、板书设计

（左侧主板）

图形的平移

一、定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。

二要素：方向、距离

二、性质

1.平移不改变图形的形状和大小。（全等）

2.对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。（核心）

3.对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。

三、作图

关键：确定对应点（利用性质2）

步骤示例：（略）

四、坐标系中的平移

点（x，y）→点（x+a，y+b）

（a>0右移，a<0左移；b>0上移，b<0下移）

（右