2025届江苏省普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟试卷(二模)附答案

2025届江苏省普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟试卷(二模)附答案一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{2,3\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：A解析：根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合。因为\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.函数\(y=\sqrt{x1}\)的定义域是（）A.\((\infty,1)\)B.\((\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)答案：D解析：要使根式有意义，则根号下的数须大于等于\(0\)，即\(x1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函数\(y=\sqrt{x1}\)的定义域是\([1,+\infty)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.\(1\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(4\)答案：B解析：若两个向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)平行，则\(x_1y_2x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(1\timesm(2)\times2=0\)，即\(m+4=0\)，解得\(m=4\)。4.已知角\(\alpha\)的终边经过点\((3,4)\)，则\(\sin\alpha=\)（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：C解析：已知角\(\alpha\)的终边经过点\((x,y)=(3,4)\)，则\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+4^{2}}=5\)。根据正弦函数的定义\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，可得\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)。5.不等式\(x^{2}2x3\lt0\)的解集是（）A.\((1,3)\)B.\((\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\((3,1)\)D.\((\infty,3)\cup(1,+\infty)\)答案：A解析：先解方程\(x^{2}2x3=0\)，即\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=1\)。因为二次函数\(y=x^{2}2x3\)的二次项系数大于\(0\)，其图象开口向上，所以不等式\(x^{2}2x3\lt0\)的解集是\((1,3)\)。6.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(7\)C.\(11\)D.\(13\)答案：A解析：在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，所以\(a_1+a_5=2a_3\)。已知\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(1+a_5=2\times5\)，解得\(a_5=9\)。7.函数\(y=\log_2(x+1)\)的图象经过点（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,0)\)D.\((2,0)\)答案：C解析：将各选项中的点代入函数\(y=\log_2(x+1)\)进行验证。当\(x=0\)时，\(y=\log_2(0+1)=\log_21=0\)，所以函数\(y=\log_2(x+1)\)的图象经过点\((0,0)\)。8.直线\(x+y1=0\)的倾斜角为（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(135^{\circ}\)答案：D解析：将直线方程\(x+y1=0\)转化为斜截式\(y=x+1\)，其斜率\(k=1\)。设倾斜角为\(\theta\)，\(0^{\circ}\leq\theta\lt180^{\circ}\)，则\(\tan\theta=1\)，所以\(\theta=135^{\circ}\)。9.已知圆\(x^{2}+y^{2}=4\)，则圆心到直线\(xy+2=0\)的距离为（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A解析：圆\(x^{2}+y^{2}=4\)的圆心坐标为\((0,0)\)。根据点\((x_0,y_0)\)到直线\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同时为\(0\)）的距离公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，可得圆心\((0,0)\)到直线\(xy+2=0\)的距离\(d=\frac{\vert00+2\vert}{\sqrt{1^{2}+(1)^{2}}}=\sqrt{2}\)。10.若\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\frac{3}{5}\)，则\(\sin\alpha=\)（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A解析：根据诱导公式\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\sin\alpha\)，已知\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\frac{3}{5}\)，所以\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)。11.已知函数\(f(x)=x^{3}+2x\)，则\(f(1)=\)（）A.\(3\)B.\(1\)C.\(1\)D.\(3\)答案：A解析：将\(x=1\)代入函数\(f(x)=x^{3}+2x\)中，可得\(f(1)=(1)^{3}+2\times(1)=12=3\)。12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（此处应给出三视图，但由于无法展示，假设是一个底面半径为\(1\)，高为\(2\)的圆柱）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：若该几何体为圆柱，圆柱的体积公式为\(V=S_{底}h=\pir^{2}h\)（其中\(r\)为底面半径，\(h\)为高）。已知底面半径\(r=1\)，高\(h=2\)，则\(V=\pi\times1^{2}\times2=2\pi\)。13.从甲、乙、丙、丁\(4\)名学生中随机抽取\(2\)名学生参加数学竞赛，则抽取到甲和乙的概率为（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A解析：从\(4\)名学生中随机抽取\(2\)名学生的所有可能情况有\(C_{4}^2=\frac{4!}{2!(42)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6\)种，而抽取到甲和乙这一种情况只有\(1\)种，所以抽取到甲和乙的概率为\(\frac{1}{6}\)。14.已知函数\(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)\)的图象经过点\((0,1)\)，且相邻两条对称轴间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，则\(\omega=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B解析：因为相邻两条对称轴间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，根据正弦函数的性质，其周期\(T\)的一半为\(\frac{\pi}{2}\)，即\(\frac{T}{2}=\frac{\pi}{2}\)，所以\(T=\pi\)。又因为正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}(\omega\gt0)\)，则\(\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，解得\(\omega=2\)。二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）15.计算\(\lg100+\lne=\)______。答案：\(3\)解析：根据对数的运算性质，\(\lg100=\lg10^{2}=2\)，\(\lne=1\)，所以\(\lg100+\lne=2+1=3\)。16.已知\(\triangleABC\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(B=45^{\circ}\)，\(b=2\)，则\(a=\)______。答案：\(\sqrt{6}\)解析：根据正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，已知\(A=60^{\circ}\)，\(B=45^{\circ}\)，\(b=2\)，则\(a=\frac{b\sinA}{\sinB}=\frac{2\times\sin60^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}\)。17.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^{2}x\)，则当\(x\lt0\)时，\(f(x)=\)______。答案：\(x^{2}x\)解析：设\(x\lt0\)，则\(x\gt0\)。因为当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^{2}x\)，所以\(f(x)=(x)^{2}(x)=x^{2}+x\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=f(x)=(x^{2}+x)=x^{2}x\)。18.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值为______。答案：\(4\)解析：因为\(x+y=1\)，\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}=1+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+1=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\)。根据基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，当且仅当\(a=b\)时等号成立），则\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\sqrt{\frac{y}{x}\times\frac{x}{y}}=2\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2+2=4\)，当且仅当\(x=y=\frac{1}{2}\)时等号成立。三、解答题（本大题共4小题，共计46分）19.（本小题满分10分）已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},1)\)。（1）求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)；（2）求\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角\(\theta\)。解：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},1)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times\sqrt{3}+\sqrt{3}\times1=2\sqrt{3}\)。（2）根据向量的模长公式，若\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，则\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=2\)。根据向量的夹角公式\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}\)，将\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\sqrt{3}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=2\)代入可得：\(\cos\theta=\frac{2\sqrt{3}}{2\times2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因为\(0\leq\theta\leq\pi\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{6}\)。20.（本小题满分12分）已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）若\(a_2\gt0\)，求数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。解：（1）设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，根据等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n1}\)，则\(a_3=a_1q^{2}\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，所以\(2q^{2}=8\)，即\(q^{2}=4\)，解得\(q=\pm2\)。当\(q=2\)时，\(a_n=2\times2^{n1}=2^{n}\)；当\(q=2\)时，\(a_n=2\times(2)^{n1}\)。（2）因为\(a_2\gt0\)，\(a_2=a_1q=2q\gt0\)，所以\(q=2\)。等比数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=\frac{a_1(1q^{n})}{1q}(q\neq1)\)，将\(a_1=2\)，\(q=2\)代入可得：\(S_n=\frac{2(12^{n})}{12}=2^{n+1}2\)。21.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=x^{2}2x+3\)。（1）求函数\(f(x)\)在区间\([1,2]\)上的最大值和最小值；（2）若\(g(x)=f(x)mx\)在\([2,4]\)上是单调函数，求实数\(m\)的取值范围。解：（1）函数\(f(x)=x^{2}2x+3=(x1)^{2}+2\)，其图象开口向上，对称轴为\(x=1\)。当\(x=1\)时，\(f(x)\)取得最小值\(f(1)=(11)^{2}+2=2\)。分别计算区间端点的值：\(f(1)=(1)^{2}2\times(1)+3=1+2+3=6\)，\(f(2)=2^{2}2\times2+3=3\)。比较\(f(1)=6\)，\(f(2)=3\)，可得\(f(x)\)在区间\([1,2]\)上的最大值为\(6\)，最小值为\(2\)。（2）\(g(x)=f(x)mx=x^{2}(2+m)x+3\)，其图象开口向上，对称轴为\(x=\frac{2+m}{2}\)。因为\(g(x)\)在\([2,4]\)上是单调函数，所以对称轴不在区间\((2,4)\)内，即\(\frac{2+m}{2}\leq2\)或\(\frac{2+m}{2}\geq4\)。解\(\frac{2+m}{2}\leq2\)，得\(2+m\leq4\)，\(m\leq2\)；解\(\frac{2+m}{2}\geq4\)，得\(2+m\geq8\)