2025-2026学年上海市八年级上册九月份月考数学（附答案）

2025-2026学年上海市八年级上册九月份月考数学（附答案）一、选择题（每题3分，共18分）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A.$\sqrt{12}$B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{27}$2.若$\sqrt{x2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（）A.$x\geq2$B.$x\leq2$C.$x\gt2$D.$x\lt2$3.下列计算正确的是（）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$B.$2\sqrt{3}\sqrt{3}=2$C.$\sqrt{18}\div\sqrt{2}=3$D.$\sqrt{(4)\times(9)}=\sqrt{4}\times\sqrt{9}$4.已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为（）A.3B.4C.5D.105.若一个三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$，且满足$a^2+b^2+c^2+338=10a+24b+26c$，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$中点，$\angleBAD=35^{\circ}$，则$\angleC$的度数为（）A.$35^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$55^{\circ}$D.$60^{\circ}$二、填空题（每题3分，共24分）7.计算：$\sqrt{27}\times\sqrt{\frac{1}{3}}=$______。8.化简：$\sqrt{18}\sqrt{8}=$______。9.已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则它的斜边长为______。10.若最简二次根式$\sqrt{2a1}$与$\sqrt{a+3}$是同类二次根式，则$a=$______。11.已知$\triangleABC$中，$AB=10$，$AC=17$，$BC$边上的高$AD=8$，则$BC$的长为______。12.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，点$D$在$AB$上，且$AD=AC$，则$BD$的长为______。13.若$x$，$y$为实数，且满足$\vertx3\vert+\sqrt{y+3}=0$，则$(\frac{x}{y})^{2025}$的值是______。14.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$D$在$AC$上，且$BD=BC=AD$，则$\angleA$的度数为______。三、解答题（共58分）15.（本题8分）计算：（1）$(\sqrt{48}\sqrt{75})\times\sqrt{1\frac{1}{3}}$；（2）$\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$。16.（本题8分）已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}1$，求下列各式的值：（1）$x^2+2xy+y^2$；（2）$x^2y^2$。17.（本题8分）如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AB=10$，$BC=6$，点$D$是$AB$的中点，求$CD$的长。18.（本题8分）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$D$、$E$分别在$AB$、$AC$上，且$AD=AE$，求证：$\triangleBCD\cong\triangleCBE$。19.（本题8分）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的底面$A$点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与$A$点相对的$B$点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（$\pi$取3）20.（本题9分）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=120^{\circ}$，$AD\perpBC$于点$D$，点$P$是$BA$延长线上一点，点$O$是线段$AD$上一点，$OP=OC$。（1）求$\angleAPO+\angleDCO$的度数；（2）求证：$AP=AO$。21.（本题9分）阅读下面的材料，并解答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：$(2a+b)(a+b)=2a^{2}+3ab+b^{2}$就可以用图①或图②等图形的面积表示。（1）请写出图③所表示的代数恒等式：______；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：$(a+b)(a+3b)=a^{2}+4ab+3b^{2}$；（3）请仿照上述方法另写一个含有$a$，$b$的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。答案一、选择题1.C【解析】最简二次根式需满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母。$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，只有$\sqrt{5}$是最简二次根式。2.A【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以$x2\geq0$，即$x\geq2$。3.C【解析】$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，A错误；$2\sqrt{3}\sqrt{3}=\sqrt{3}$，B错误；$\sqrt{18}\div\sqrt{2}=\sqrt{9}=3$，C正确；$\sqrt{4}$与$\sqrt{9}$无意义，D错误。4.C【解析】根据勾股定理，斜边$c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上的中线长为5。5.A【解析】将$a^2+b^2+c^2+338=10a+24b+26c$变形为$(a5)^2+(b12)^2+(c13)^2=0$，因为平方数具有非负性，所以$a5=0$，$b12=0$，$c13=0$，即$a=5$，$b=12$，$c=13$，又因为$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，所以这个三角形是直角三角形。6.C【解析】因为$AB=AC$，$D$为$BC$中点，所以$AD$平分$\angleBAC$，$\angleBAC=2\angleBAD=70^{\circ}$，又因为$\angleB=\angleC$，且$\angleB+\angleC+\angleBAC=180^{\circ}$，所以$\angleC=\frac{1}{2}(180^{\circ}\angleBAC)=55^{\circ}$。二、填空题7.3【解析】$\sqrt{27}\times\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27\times\frac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$。8.$\sqrt{2}$【解析】$\sqrt{18}\sqrt{8}=3\sqrt{2}2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。9.5【解析】根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。10.4【解析】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，所以$2a1=a+3$，解得$a=4$。11.21或9【解析】分两种情况：当高$AD$在$\triangleABC$内部时，$BD=\sqrt{AB^{2}AD^{2}}=\sqrt{10^{2}8^{2}}=6$，$CD=\sqrt{AC^{2}AD^{2}}=\sqrt{17^{2}8^{2}}=15$，则$BC=BD+CD=21$；当高$AD$在$\triangleABC$外部时，$BD=6$，$CD=15$，则$BC=CDBD=9$。12.2【解析】在$Rt\triangleABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，因为$AD=AC=3$，所以$BD=ABAD=2$。13.1【解析】因为$\vertx3\vert+\sqrt{y+3}=0$，绝对值和算术平方根都具有非负性，所以$x3=0$，$y+3=0$，解得$x=3$，$y=3$，则$(\frac{x}{y})^{2025}=(\frac{3}{3})^{2025}=1$。14.$36^{\circ}$【解析】设$\angleA=x$，因为$BD=AD$，所以$\angleABD=\angleA=x$，则$\angleBDC=\angleA+\angleABD=2x$，又因为$BD=BC$，所以$\angleC=\angleBDC=2x$，因为$AB=AC$，所以$\angleABC=\angleC=2x$，在$\triangleABC$中，$\angleA+\angleABC+\angleC=180^{\circ}$，即$x+2x+2x=180^{\circ}$，解得$x=36^{\circ}$，所以$\angleA=36^{\circ}$。三、解答题15.（1）\[\begin{align}&(\sqrt{48}\sqrt{75})\times\sqrt{1\frac{1}{3}}\\=&(\sqrt{16\times3}\sqrt{25\times3})\times\sqrt{\frac{4}{3}}\\=&(4\sqrt{3}5\sqrt{3})\times\frac{2}{\sqrt{3}}\\=&(\sqrt{3})\times\frac{2}{\sqrt{3}}\\=&2\end{align}\]（2）\[\begin{align}&\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\\=&\frac{\sqrt{4\times3}+\sqrt{9\times3}}{\sqrt{3}}\\=&\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\=&\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\=&5\end{align}\]16.（1）\[\begin{align}x^2+2xy+y^2&=(x+y)^2\\&=(\sqrt{3}+1+\sqrt{3}1)^2\\&=(2\sqrt{3})^2\\&=12\end{align}\]（2）\[\begin{align}x^2y^2&=(x+y)(xy)\\&=(\sqrt{3}+1+\sqrt{3}1)(\sqrt{3}+1(\sqrt{3}1))\\&=(2\sqrt{3})\times2\\&=4\sqrt{3}\end{align}\]17.在$Rt\triangleABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}BC^{2}}=\sqrt{10^{2}6^{2}}=8$。因为点$D$是$AB$的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以$CD=\frac{1}{2}AB=5$。18.证明：因为$AB=AC$，$AD=AE$，所以$ABAD=ACAE$，即$BD=CE$。在$\triangleBCD$和$\triangleCBE$中，$\begin{cases}BD=CE\\\angleB=\angleC\\BC=CB\end{cases}$所以$\triangleBCD\cong\triangleCBE$（$SAS$）。19.把圆柱侧面展开得到一个长方形，长方形的长为底面圆的周长，即$2\pir=2\times3\times3=18$（cm），长方形的宽为圆柱的高12cm。根据勾股定理，最短路程$AB=\sqrt{12^{2}+18^{2}}=\sqrt{144+324}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$（cm）。20.（1）因为$AB=AC$，$\angleBAC=120^{\circ}$，$AD\perpBC$，所以$\angleB=\angleACB=30^{\circ}$，$\angleCAD=\frac{1}{2}\angleBAC=60^{\circ}$。因为$OP=OC$，所以$\angleOPC=\angleOCP$。$\angleAPO+\angleDCO=\angleOPC\angleAPO+\angleDCO=\angleOCP\angleAPO+\angleDCO=\angleACD=30^{\ci