字节精准教育联盟2026届高三下学期4月期中考试 数学+答案

四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三下学期4月期中数学试卷

一、单选题

ð

1．已知全集U2,0,1,2,3，集合A2,1,2，B2,3，UAB（）

A．0,2,3B．0,2C．0,3D．3

2．复数z满足z1i12i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）

A．3B．3iC．1D．i

3．已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（）

A．93πB．103πC．15πD．18π

4．已知向量a(1,1),b(1,1)，若(ab)(ab)，则（）

A．-1B．0C．1D．2

5．已知抛物线C:y24x的焦点为F，点M在C上，MF3，则点M到直线x3的距离为（）

A．3B．4C．5D．6

i

6．已知随机变量X的分布列为PXii1,2,3,4，则P(2X4)（）

a

1379

A．B．C．D．

251010

7．函数f(x)cos4x，xR是（）

A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数

ππ

C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数

22

x3,x0

8．已知gx是R上的奇函数，当x0时，gxln1x，函数f(x)，若f(2x2)f(x)，

gx,x0

则实数x的取值范围是（）

A．,12,B．,21,C．1,2D．2,1

二、多选题

9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录

了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：μg/m3）.如下表：

日期1234567

预测误差xi4210133

下列关于这7天预测误差xi的描述中，正确的有（）

A．这组数据的众数是3

B．这组数据的60%分位数是0.5

C．这组数据的方差大于5

D．若第8天该模型预测误差为2，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小

1

10．已知函数fxx3x2ax3，则（）

3

A．当a8时，fx有3个零点

B．当a1时，fx有两个极值

C．当a1时，fx在R上单调递减

D．aR,fx图象对称中心的横坐标不变

x2

11．已知曲线C:y41,Pm,n为C上一点，O为坐标原点，则（）

4

A．C关于x轴对称

B．C关于y轴对称

C．m,n的取值范围分别为2,2,1,1

D．OP的最大值为2

三、填空题

1

12．在数列a中，a2，aa，其前n项和为S，则S＝______

n1n2n1n5

13．直线xy40与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x1)2(y3)2r2(r0)交于C、D两点，

|AB|2|CD|，则r__________．

S

14．在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______

a22bc

四、解答题

15．已知数列an的首项a13，前n项和为Sn，且满足Sn3an1n．

(1)求证：数列an1为等比数列；

(2)若bnnan，求数列bn的前n项和Tn．

16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现

选派3人到法国的学校交流访问．

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．

17．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中ABAC3，BACBCD90，CBD30．将ABC

沿BC翻折至△PBC，使得二面角PBCD为直二面角．

(1)证明：PB平面PCD；

(2)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径；

(3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值．

18．已知函数f(x)alnx(x1)ex，其中aR.

(1)若a0，求f(x)的单调区间；

(2)若ae，

（i）证明：f(x)在区间(1,)内有且仅有1个零点；

（ii）设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，且x11，证明：x02lnx0x1.

x2y2

19．已知双曲线M:1(a,b0)左右焦点分别为F1,F2，且F1F24，P2,3在M上，O为坐标原

a2b2

点．

(1)求M的方程；

(2)设直线l与M右支交于A,B两点，且直线PA,PB倾斜角互补，记AB中点为Q．

（i）判断直线OQ斜率是否为定值，请说明理由；

（ii）若F2不在l上，记F2AB，F2BA，求sinsin的最大值．

参考答案

1．D

ð

【详解】由U2,0,1,2,3，A2,1,2可得UA0,3，

ð

又B2,3，所以UAB3.

2．C

12i(12i)i

【详解】由题意可得：z113i，所以z3i，所以复数z的共轭复数的虚部为1.

i1

3．A

【详解】设圆锥的体高为h，母线长为l，底面半径r3，

1

则底面积Sπr29π，侧面积S2πrl3πl29π，解得l6，

122

2211

易知hlr36933，所以体积VS1h9π3393π.

33

故选：A.

4．A

【详解】因为(ab)(ab)，

则(ab)(ab)0，

则1，10,20，

所以220，

解得1.

5．C

【详解】抛物线C:y24x，其准线方程为：x1，因为MF3，且点M在C上，

由抛物线定义可知，点M到直线x1的距离为3，

因为x3与x1平行，且距离为2，所以点M到直线x3的距离为5.

故选：C

6．A

1234

【详解】依题意，分布列概率之和为1，则1，解得a10.

aaaa

i231

即P(Xi)(i1,2,3,4)，所以P(2X4)P(X2)P(X3).

1010102

故选：A.

7．C

2ππ

【详解】由周期公式可得f(x)cos4x的最小正周期是T，

42

又f(x)cos4xcos4xfx，是偶函数.

故选：C

8．D

【详解】函数yln1x在,0上单调递减，则函数gxln1x在,0上单调递增，

而gx是R上的奇函数，则函数gx在0,上单调递增，因此函数fx在0,上单调递增，

当x0时，x0，则gxln1xln1xgx，

所以x0时，gxln1x，则gx0，故x0时，fx0，

当x0时，f(x)x3在,0上单调递增，此时fxf00，

综上，函数fx在R上单调递增，

由f(2x2)f(x)，得2x2x，解得2x1，

所以实数x的取值范围是2,1.

9．ACD

【详解】将数据从小到大排序得：4，2，1，0，1，3，3.

对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；

对于B，760%4.2，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；

21222222240

对于C，平均数x0，方差s42101335，故C正确；

77

02

对于D，原平均数为0，新数据2小于0，加入后平均数变为0.250，确实变小，故D正确.

8

10．ABD

1

【详解】对于A，当a8时，fxx3x28x3，则fxx22x8x4x2，

3

所以当x2或x4时，fx0，当2x4时，fx0，

所以fx在,2和4,上单调递减，在2,4上单调递增，

83771

又f241630，f40，所以fx有3个零点，故A正确；

333

2

对于B，由fxx2xa，当a1时，方程x22xa0的Δ41a0，设其两根为

x1,x2x1x2，

易得fx在,x1和x2,上单调递减，在x1,x2上单调递增，故fx在xx1和xx2处分别取到极

小值和极

大值，所以fx有两个极值，故B正确；

对于C，由B，当1a1时，fx在,x1和x2,上单调递减，在x1,x2上单调递增，故C错误；

1321

对于D，因为f2xfx2x2xa2x3x3x2ax3

33

1114

x36x212x844xx22aax3x3x2ax32a，

333

7

所以fx图象对称中心坐标为1,a，aR，fx图象对称中心的横坐标不变，故D正确.

3

故选：ABD.

11．ABC

【详解】用x换方程中的x，化简后方程不变，故C关于y轴对称，

同理可得，C关于x轴对称，故AB均正确；

x2x2

由y41，得y410，解得2x2，同理可得1y1，故C正确；

44

x2m2

Pm,n在曲线y41上，所以n41,m244n4，

44

2

22422165

所以OPmn4nn42n，

416

265

当n时，OP取得最大值2，故D错误.

44

故选：ABC.

12．62

5

an1212

【详解】由2可得数列a为等比数列，公比为2，首项为2,所以

nS562

an12

13．2

【详解】令x0，得y4，即B(0,4),

令y0，得x4，即A4,0,

圆心(1,3)，1340，所以，直线xy40经过圆心，

2

CD2r,AB4r44242,

所以,r2.

3

14．

12

1

bcsinA

S1sinA

【详解】2

222bc

a2bcbc2bccosA2bc222cosA

cb

1sinA

（当且仅当bc时取等号）.

4cosA2

令sinAy,cosAx，

S1y

故，

a22bc4x2

因为x2y21，且y0，

故可得点(x,y)表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：

y

目标函数z上，表示圆弧上一点到点A(2,0)点的斜率，

x2

133

由数形结合可知，当且仅当目标函数过点H,，即A60时，取得最小值，

223

y3

故可得z,0，

x23

S1yS133

又，故可得，

a22bc4x2a22bc4312

当且仅当A60,bc，即三角形为等边三角形时，取得最大值.

3

故答案为：.

12

15．(1)证明见解析

nn1

(2)Tn12n12

n2

【详解】（1）由Sn3an1n，①

当n1时，a13a21，由a13，解得a25，

当n2时，Sn13ann1，②

①-②得：anan1an1，即an12an1，

，

从而an112an1n2，

又因为a112，且a2142a11也满足上式，

所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列．

n1nn

（2）由（1）得an1222，则an21，

n

从而bnnann2n，

12n

所以Tn121222n2n，

121222n2n12n，

12n

令Rn1222n2，①

23n1

则2Rn1222n2，②

22n1

①-②得：R222232nn2n1n2n11n2n12，

n12

n1

所以Rnn122，

nn1

又12n，

2

nn1

所以Tn12n12．

n2

4

16．(1)

7

(2)X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

9

EX

7

【详解】（1）7名同学中，会法语的人数为5人，

321

从7人中选派3人，共有C7种选法；其中恰有2人会法语共有C5C2种选法；

C2C14

52

所以选派的3人中恰有2人会法语的概率P3．

C77

（2）由题意可知，X所有可能的取值为0,1,2,3，

C34C2C118

443

PX03，PX13，

C735C735

C1C212C31

433

PX23，PX33，

C735C735

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

4181219

数学期望为EX0123．

353535357

17．(1)证明见解析

(2)6

5

(3)

5

【详解】（1）二面角PBCD为直二面角，即平面PBC平面BCD，

又因为CDBC，CD平面BCD，平面PBC平面BCDBC，

所以CD平面PBC．

又因为PB平面PBC，所以PBCD．

由题意PBPC，CDPCC，CD，PC平面PCD，

所以PB平面PCD．

（2）取BC中点O，BD中点M，连接OP，OM，

则OMBC，OM//CD，

因为CD平面PBC，OP平面PBC，所以CDOP，所以OMOP，

在ABC中，PBPC，O为BC中点，所以OPBC.

以OB，OM，OP为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，

,,,32,32,,,32,,,32,,

则O000P0,0,B00C00D60．

2222

设该球的球心坐标为x,y,z，则

2222

2

223232223222322，

xyzxyzxyzxy6z

2222

6

解得x0,y,z0.

2

2

所以该球的半径为2232618

xyz6.

244

（3）法一：取BC中点O，在△BCD中，过O作OHBD，垂足为H，连接PH，

平面PBC平面BCD，OPBC，OP平面PBC，

平面PBC平面BCDBC，所以OP平面BCD．

而BD平面BCD，故OPBD，

又因为OHBD，OPOHO,OP,OH平面OPH，故BD平面OPH，

而PH平面OPH，所以PHBD，

则PHO为平面PBD与平面BCD的所成角.

32

直角三角形ABC中，OP，

2

32132

OHOBsin30，

224

32

OH5

cosPHO4．

PH225

3232

42

5

所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为.

5

3232

法二：平面的一个法向量为,,,,,,，,，

BCDn1001BP0BD3260

22

，3232

n2BP0xz0，

设平面PBD的法向量为nx,y,z，则即22

2，

n2BD0

32x6y0．

取x1，得平面PBD的一个法向量为n21,3,1.

nn15

,12，

cosn1n2

n1n255

5

所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为.

5

18．(1)f(x)的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间；

(2)证明见解析

aaax2ex

【详解】（1）求导得：f(x)ex(x1)exxex，

xxx

ax2ex

因为a0，对任意x0，都有f(x)0，

x

所以f(x)的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间；

（2）（i）由（1）知，当ae时，令g(x)=ax2ex，

当x1时，g(x)2xx2exxx2ex0，

故g(x)在(1,)上单调递减，

因为ae，所以g(a)aa2eaa1aea0，

又因为g(1)ae0，所以g(x)=ax2ex在区间1,a内存在零点，

即结合g(x)在(1,)上单调递减，

可得g(x)在区间(1,)内有且仅有1个零点m，且m1,a；

ax2exax2ex

则当x1,m时，f(x)0，当xm,时，f(x)0，

xx

所以fx在x1,m单调递增，在xm,单调递减，

又因为f1aln111e10，所以根据单调性可知：fmf10，

又因为当x，fx，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减，

可知：fx在区间(m,)内有且仅有1个零点，

又因为x1,m时，结合fx在x1,m单调递增，所以fxf10，

即在区间1,m函数没有零点，

所以fx在区间(1,)内有且仅有1个零点，

2x0

ax0e

fx000

（ii）由题意可知：，即x，

0

fx10x

1

alnx1x11e0

(x1)ex1ex1x0

消a可得：x2ex0lnx(x1)ex10lnx1x1，

01112x012

x0ex0

当x11时，构造函数hxx1lnx，x1

1x1

求导得hx10，则hxx1lnx在x1时单调递增，

xx

即hxx1lnxh111ln10，所以x1lnx，

即可知lnx1x11，

x1x0x1x0

ee

x1x02

则x112lnx1x1121ex0，

x0x0

两边取对数得：x1x02lnx0，即x02lnx0x1.

y2

19．(1)x21

3

325

(2)（i）直线OQ斜率为定值，理由见解析；（ii）．

25

2c4

2

49a1

【详解】（）方法①：由题意，则，解得，

12212

abb3

222

cab

y2

故双曲线方程为x21．

3

方法②：由题意，则F12,0F22,0，

利用定义：2222，

2aPF1PF2223022302

y2

a1，b22123，故双曲线方程为x21．

3

3

（2）（i）结论：直线OQ斜率为定值，理由如下

2

讨论：若直线l斜率不存在，记l：xaa2，

，

则Aa,b，Ba,b，记直线PA，PB斜率分别为kPAkPB，

b3b36

kk0，不符合题意，舍去．

PAPBa2a2a2

：，，

故直线l斜率存在，设lykxmAx1,y1Bx2,y2，

代入3x2y23，整理得k23x22mkxm230，

2

222mkm3

Δ123mk0，则xx，xx，

12k2312k23

，

记直线PA，PB斜率分别为kPAkPB，

y13y23kx1m3kx2m32kx1x2m32kx1x2124m

由kPAkPB0，

x12x22x12x22x12x22

m232mk

2k2m32k2124m0，

k3k3

化简得k2m2k30，k2（m32k不符合题意舍去）

3m3

此时，Q2m,3m．设直线OQ斜率为kOQ，k，

OQ2m2

3

故直线OQ斜率