2026年江苏单招数学数列与不等式拔高卷含答案省统考难题突破版

2026年江苏单招数学数列与不等式拔高卷含答案省统考难题突破版一、选择题（每题5分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n（n≥2），则a_5的值为（）A.25B.27C.29D.312.若不等式a^2x+b^2≤c^2x^2+1对于任意实数x恒成立，则实数a，b，c的取值范围是（）A.a^2+b^2≤c^2且c^2≥1B.a^2+b^2≥c^2且c^2≤1C.a^2+b^2≤c^2且c^2>1D.a^2+b^2≥c^2且c^2>13.等差数列{a_n}中，a_3+a_9=24，a_5-a_2=6，则该数列的前10项和为（）A.120B.150C.180D.2104.若关于x的不等式|2x-3|+|x+1|>a对任意实数x成立，则实数a的最大值为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题（每题6分，共24分）5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=(a_n+1)/a_n（n∈N），则a_4的值为_________。6.不等式|3x-1|>x+1的解集为_________。7.若数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a_2+a_4=18，a_3+a_5=54，则q的值为_________。8.若f(x)=x^2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值为2，则实数a的取值范围是_________。三、解答题（共56分）9.（10分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2）。（1）求证：{a_n}是等比数列；（2）若数列{a_n}的前n项和为T_n，且T_n=64，求n的值。10.（12分）已知实数a，b满足a+b=4且a>b。（1）求|a-3|+|2b-1|的最小值；（2）若不等式ax^2+bx-2>0对任意x∈[-1,1]恒成立，求a的取值范围。11.（14分）已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，且满足a_1=b_1=1，a_4+b_4=16，a_7+b_7=40。（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；（2）记c_n=a_n+b_n，求证：数列{c_n}是递增数列。12.（20分）已知关于x的不等式|x-1|+|x+2|≥k有无限多个解，求实数k的取值范围。（1）当k=3时，求不等式的解集；（2）若存在实数x使得|x-1|+|x+2|<k+1，求k的最大值。答案与解析一、选择题答案与解析1.D解析：由a_n=a_{n-1}+2n，可得：a_2=a_1+4=5，a_3=a_2+6=11，a_4=a_3+8=19，a_5=a_4+10=29。故选C。2.C解析：不等式整理为(a^2-c^2)x^2-(2a^2)x+(b^2-1)≤0，若c^2>1，则(a^2-c^2)x^2-(2a^2)x+(b^2-1)恒≤0，需满足：Δ=(2a^2)^2-4(a^2-c^2)(b^2-1)≤0，且a^2-c^2<0，即a^2+b^2≤c^2且c^2>1。故选C。3.C解析：设{a_n}的公差为d，由a_3+a_9=24，可得2a_1+10d=24，由a_5-a_2=6，可得3d=6，即d=2，代入前式得2a_1+20=24，解得a_1=2，前10项和S_{10}=10a_1+45d=10×2+45×2=180。故选C。4.A解析：|2x-3|+|x+1|表示数轴上x到1和-1的距离之和，最小值为2，故不等式恒成立需a<2，最大值为2。故选A。二、填空题答案与解析5.3解析：a_2=(a_1+1)/a_1=2，a_3=(a_2+1)/a_2=3/2，a_4=(a_3+1)/a_3=5/3。故填3。6.(-∞,-2)∪(1,+∞)解析：分类讨论：①x≥1/3时，3x-1>x+1⇒x>1；②x<-1时，-3x+1>x+1⇒x<-2；③-1≤x<1/3时，-3x+1<x+1⇒x>-1/4（舍去）。解集为(-∞,-2)∪(1,+∞)。7.2解析：由a_2+a_4=18，可得a_1q+a_1q^3=18，由a_3+a_5=54，可得a_1q^2+a_1q^4=54，两式相除得q^2=3，代入首式得a_1(1+3q^2)=18⇒a_1=9，故q=2。8.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析：f(x)的对称轴为x=a，（1）若a≤-1，最小值在x=-1处取得，-2a+2≥2⇒a≤0；（2）若-1<a<1，最小值在x=a处取得，-a^2+3≥2⇒无解；（3）若a≥1，最小值在x=1处取得，2-2a≥2⇒a≤0（舍去）。综上，a≤-2。故a∈(-∞,-2]。三、解答题答案与解析9.（10分）（1）证明：由a_n=S_n-S_{n-1}+1，n=1时，a_1=2，n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}+1，两式相减得a_n-a_{n-1}=a_n-S_{n-1}+1⇒a_{n-1}=1，故a_n/a_{n-1}=1，又a_1=2≠0，故{a_n}是首项为2，公比为1的等比数列。（2）解：a_n=2^n，S_n=2(2^n-1)=64⇒2^n=32⇒n=5。10.（12分）（1）最小值：由a+b=4且a>b，可得a∈(2,4)，b∈(0,2)，|a-3|+|2b-1|=3-a+2b-1⇒|a-3|+|2b-1|=2(a+b)-4=4，当a=3，b=1时取到，最小值为4。（2）不等式等价于(a-2)x^2+bx+2>0，对任意x∈[-1,1]恒成立，需满足：①Δ=b^2-8(a-2)<0⇒b^2<8a-16，②f(-1)>0⇒a-b+2>0，③f(1)>0⇒a+b+2>0，由a+b=4，代入前式得b=4-a，b^2<8a-16⇒(4-a)^2<8a-16⇒a^2-20a+48<0⇒4<a<12，结合a∈(2,4)，得a∈(4,12)。但需满足a>2，故a∈(4,12)。11.（14分）（1）设{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，由a_4+b_4=16，可得1+3d+q^3=16⇒3d+q^3=15，由a_7+b_7=40，可得1+6d+q^6=40⇒6d+q^6=39，两式相减得3d+q^6-q^3=24⇒(q^3-3)(q^3+8)=0，由q>0，得q=3，代入前式得d=2，故a_n=1+2(n-1)=2n-1，b_n=3^{n-1}。（2）证明：c_n=2n-1+3^{n-1}，c_{n+1}-c_n=2(n+1)-1+3^n-(2n-1+3^{n-1})=2+3^n-3^{n-1}=2+2·3^{n-1}>0，故{c_n}是递增数列。12.（20分）（1）当k=3时，|x-1|+|x+2|≥3，分段讨论：①x≥1时，x-1+x+2≥3⇒x≥1；②-2≤x<1时，1-x+x+2≥3⇒x≥0；③x<-2时，1-x-