2027届新高考数学热点精准复习二项式定理

2027届新高考数学热点精准复习二项式定理1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.课标要求

k+12.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即___________增减性二项式系数最大值当n为偶数时,中间的一项________得最大值

递增递减

2n-12n常用结论与微点提醒1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项.2.牢记一个注意点:(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.3.理清二项式系数与项的系数的区别.

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√××√

A

3.(人教A选修三P38T3(5)改编)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(

)A.40 B.41C.－40 D.－41B令x＝1，得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，两式相加得82＝2(a4＋a2＋a0)，∴a0＋a2＋a4＝41.

0

A考点一展开式中的通项

4(答案不唯一)

角度2

两个二项式之积例2(2026·东北四市模拟)在(1－x)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数是(

)A.－40 B.－20C.20 D.40D

角度3

三项展开式问题例3(2026·西安调研)(x＋y＋2z)5的展开式中，xy2z2的系数是____________.

120

感悟提升1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零等)，解出项数k＋1，代回通项即可.2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.训练1(1)(1＋2x＋3x2)5展开式中x3的系数为(

)A.200 B.230C.120 D.180A

(2)已知今天是星期三，则67－1天后是(

)A.星期一 B.星期二C.星期三 D.星期五A

(3)(2025·上海卷)在(2x－1)5的展开式中，x3的系数为____________.

80

AD考点二二项式系数的和与各项系数的和

(2)(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝____________;a1＋a2＋a3＋a4＝____________.

1令x＝0，则a0＝1，又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15.15感悟提升

训练2(1)(2026·湖北十一校联考)若x5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a2＝____________.

-10

(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝____________;a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝____________.

300

5120

考点三二项式系数的最值问题例5(1)(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(

)A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小ACD由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2048，故A正确;因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误;因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确.

5

感悟提升

感悟提升

训练3(1)已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，则展开式中系数最大的项为(

)A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项D

7

D

2.(x2＋ax－1)·(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为(

)A.0 B.3C.－1 D.－2D

3.(2026·广州检测)若(2x－1)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，则a1＝(

)A.－10 B.－1C.1 D.10D

4.(2026·石家庄调研)(x2＋x＋y)5的展开式中x3y3的系数是(

)A.5 B.10C.20 D.60C

5.(2026·浙江三市质检)若(1－x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a2＋a4＋a6＝(

)A.31 B.32C.63 D.64C因为(1－x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，当x＝0时，a0＝1;当x＝1时，0＝a0＋a1＋a2＋…＋a7;①当x＝－1时，27＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7，②①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27，所以a0＋a2＋a4＋a6＝26＝64，所以a2＋a4＋a6＝64－1＝63，故选C.

C

A

AD

AD

20

11.用二项式定理估算1.0110＝_______________.(精确到0.001)

1.10512.(2026·郑州质检)用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有n个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n的展开式中，x3项的系数为____________(用数字作答).

330

若选①:因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8.

(2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值.由(1)可知，n＝8，(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3