复数的概念高一下学期数学北师大版必修第二册

第5章复数5.1.1复数的概念学

习

目

标123了解数系扩充的过程，理解引入复数的必要性，体会虚数单位i的引入过程。理解复数的基本概念，掌握复数的代数表示形式z=a+bi(a,b∈R)，能准确区分复数的实部与虚部。掌握复数的分类（实数、虚数、纯虚数），能判断一个复数的类型。理解复数相等的充要条件，并能运用该条件求解相关问题。新课引入【问题情境】同学们，我们先来回顾一下大家所熟悉的“数”的发展历程。问题1：从小学到现在，我们学过了哪些数？请按照“数系从小到大”的顺序说一说。自然数→整数→有理数→无理数→实数问题2：每一次数系的扩充，都是因为什么？减法运算使自然数不够用，引入负数→整数；除法运算使整数不够用，引入分数→有理数；开方运算使有理数不够用，引入无理数→实数这个方程在实数范围内无解

新课引入【引发认知冲突】类似的困境在历史上也曾出现。意大利数学家卡尔丹（G.Cardano）在1545年研究一元三次方程的求根公式时，遇到了负数开平

方的问题。起初人们认为这种数“没有意义”而回避，

但随着研究的深入，数学家们发现负数开平方是无法回避的，于是逐步接受并定义了这种新数。

互动探究【活动一：引入新数i】复数的概念问题链驱动：

问题2：我们给这个新数起个名字，叫“虚数单位”，记作i。那么i应该满足什么条件？同学们讨论与阅读课本类比从自然数到整数的扩充（引入负数），从整数到有理数的扩充（引入分数），思考本次扩充需要引入一个平方等于-1的新数。

互动探究【活动一：引入新数i】复数的概念问题链驱动：问题3：这个新数i可以和实数进行四则运算吗？比如2+i、3i、1-2i这些数有意义吗？？

同学们讨论与阅读课本实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

互动探究【活动二：概念建构——小组讨论】复数的概念每组4-5人，完成以下任务：序号题目小组任务1尝试用一个统一的形式表示2你能给这种形式的数起个名字吗？各部分分别叫什么？讨论并命名3上面的数中，哪些是我们以前就认识的？哪些是新的？尝试分类各小组派代表汇报讨论结果归纳出：形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，其中a叫实部，b叫虚部。互动探究【活动三：分类游戏】复数的概念

复数集实数集虚数集纯虚数集请同学上台将这些卡片贴到黑板上相应的集合圈中直观理解复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的包含关系。讲授新课1.复数的定义复数的概念

全体复数构成的集合叫做复数集，通常用大写字母C

表示，即C={a+bi∣a,b∈R}。其中a称为复数z的实部，记作Rez=a；b称为复数z的虚部，记作Imz=b。注意：虚部是实数b，而不是bi。例如复数3-2i的实部是3，虚部是-2。讲授新课2.复数的分类复数的概念复数形式名称实数虚数纯虚数讲授新课3.数集之间的关系复数的概念自然数集N⊂整数集Z⊂有理数集Q⊂实数集R⊂复数集C。虚数集={复数}-{实数}；纯虚数集⊂虚数集。讲授新课4.复数相等的充要条件复数的概念如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等。即：

a+bi=c+di⇔a=c

且b=d ("其中"a,b,c,d∈R)特别地，a+bi=0⇔a=0"且"b=0。典例分析题型1复数构成例1

说出下列复数的实部和虚部：5+3i (2)-2i (3)4 (4)0解：（1）实部为5，虚部为3。（2）可写成0+(-2)i，实部为0，虚部为-2。（3）可写成4+0i，实部为4，虚部为0。（4）可写成0+0i，实部为0，虚部为0。小结：任何复数都可统一写成a+bi的形式，实数和纯虚数都是复数的特殊情况。典例分析题型3复数相等例3

已知(x+y)+(x-2y)i=5+i，求实数x和y的值。

小结：复数相等条件可以将复数问题转化为实数方程组问题，这是处理复数问题的重要方法。随堂练习1.写出下列复数的实部和虚部：（1）2-5i (2)7i (3)-3 (4)0实部2，虚部-5；实部0，虚部7；实部-3，虚部0实部0，虚部0随堂练习

随堂练习3.已知(2x-y)+(x+y)i=4+5i，求实数x和y。由复数相等的条件得：2x-y=4，x+y=5,解得x=3，y=24.判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)实数一定是复数。(2)复数一定是虚数。(3)纯虚数的实部一定为0。(4)两个虚数一定不能比较大小。正确。实数可写成a+0i的形式，是复数的特殊情况。错误。复数包括实数和虚数，实数不是虚数。正确。纯虚数的定义就是实部为0且虚部不为0的复数。正确。两个虚数（虚部不为0）不能比较大小。课堂检测1.（4分）复数3-4i的虚部是（）A.4 B.-4 C.4i D.-4iB。复数3-4i=3+(-4)i，虚部是-4。

B。纯虚数要求实部为0且虚部不为0，即a^2-4=0且a+2≠0，解得a=2。课堂检测

B。由复数相等条件得a=2，b=3，∴a+b=5。

当b=0，即m(m-3)=0，得m=0或m=3时，为实数。当b≠0，即m≠0且m≠3时，为虚数。当a=0且b≠0，即(m-3)(m+2)=0且m(m-3)≠0，解得m=-2时，为纯虚数。学海拾贝知识小结

学海拾贝思想方法类比思想：类比实数系的扩充引入复数转化思想：利用复数相等条件将复数问题转化为实数方程（组）问题分类讨论思想：根据