正弦定理与余弦定理的应用高一下学期数学人教B版必修第四册

第1课时解三角形在实际测量中

的应用(一)第九章

9.2正弦定理与余弦定理的应用年份卷别题号分值核心考点（正/余弦定理应用）2025新高考Ⅱ卷第5题5分余弦定理：已知三边求角2025全国甲卷第16题5分正余弦定理+面积公式：三角形面积最值2025全国乙卷第17题12分正弦定理+余弦定理综合：边角互化、求周长/面积2025北京卷第16题10分正余弦定理+三角恒等变换：解三角形、求角2025天津卷第15题5分正弦定理：边化角、判断三角形形状考点衔接1.三角形的面积公式2.正弦定理3.余弦定理

在测量工作中.经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度.因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.假设给你米尺和測量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.情景与问题

图中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器来怎样得到不便到达的两点之间的距离？思考？如何把上述实际问题转化为数学模型，同学们讨论，设计出合理的测量AB高度的方案。不能到达底部的高度问题

如图（1）所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离.在能到

达的地方选定位置C进行测量。用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α

,但是因为点A,B都不便到达，所以∆ABC的3条边都无法用米尺测量.角楼的高度（1）

如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点D,并使得CD的长m能用米尺测量。用测量角度的仪器测出∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ACD=θ，∠ADC=φ.然后，利用α，β，γ，θ，φ以及m即可求出AB的长.（2）方案一不能到达底部的高度问题在∆BCD中，因为∠CBD=π-β-γ，所以由正弦定理可得

在∆ABC中，由余弦定理可得AC，BC，α都已求出，是已知的。从而能求出AB的长。不能到达底部的高度问题

如图所示，沿着BC方向走一段距离到达D点，用米尺测量出CD的长度为m.用测量角度的仪器测量出∠ACB=α,∠ADC=β.在∆ADC中，∠CAD=α-β,由正弦定理得在∆RtABC中可得AB=AC·sinα方案二不能到达底部的高度问题A高度测量问题有以下两个关注点.(1)空间向平面的转化.

髙度测量问题往往是空间中的问题.为了方便观察，减小误差，需要将空间问题转化为平面问题.(2)解直角三角形与解斜三角形结合。全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.

选取合理的方案。

(如情景问题的解答，方案2相对优于方案一.)不能到达底部的高度问题3.方位角与方向角（1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角（取值范围：0°～360°）.如图（1），目标A的方位角为135°.（2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的角叫方向角.如图（2），目标A的方向角为北偏东30°，目标B的方向角为南偏东45°.补充与测量有关的常用术语1.基线:在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线2.铅锤平面：与地面垂直的平面4.仰角与俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角.视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图(1)所示）.5.坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫坡角，

坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(如图(2))，坡度α＝(2)(1)补充与测量有关的常用术语题型1距离题型2高度题型3角度例1题型1距离题型2高度题型3角度练习15一、距离问题例1

(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是

√解析根据题意，可得右图.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.(2)某基地进行实战对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距

akm的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离.解方法一∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°.∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，在△ADB中，由余弦定理得方法二

在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为等边三角形．∵∠ADB＝∠BDC，∴BD为线段AC的垂直平分线，三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)测量一个可达点到另一个不可到达点之间的距离，即所求的线段在一个三角形中，直接利用正弦、余弦定理求解.(2)测量两个不可达点之间的距离，即所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当三角形，再利用正弦、余弦定理求解.题型1距离题型2高度题型3角度例215m练习题型1距离题型2高度题型3角度二、高度问题例2

(1)如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于

√(2)如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.(3)求解：运用正弦、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的应用.三角测量中的数学抽象典例如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1260m，经测量，cosA＝

，cosC＝

.求索道AB的长.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC所以索道AB的长为1040m.1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为

√解析∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，实际应用问题2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为

√12345解析由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于

√12345解析方法一设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.12345方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.123454.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距

km，则甲走的路程AC等于

12345√解析依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即3＝22＋AC2－2×2·AC·cos60°，AC2－2AC＋1＝0.解得AC＝1.即甲走的路程AC等于1km.1234