【数学】平面与平面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第六章立体几何初步6.4.2平面与平面平行1.掌握平面与平面平行的性质定理，并能解决有关的平行问题；2.掌握平面与平面平行的判定定理，能利用定理证明空间平面与平面的位置关系.问题1：如果两个平面平行，两个平面内的直线有哪些位置关系？平行异面abβ

αabβ

α两个平面内的直线或是异面直线，或是平行直线a问题2：分别位于两个平面内的两条直线什么时候平行？异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共交点；平行直线：在同一个平面内，没有公共交点βαb两个平行平面内的两条直线都经过同一平面时平行两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行a练一练1：平面

α∥β，平面

γ分别与平面

α，β

相交于直线

a，b，试证明：a∥b.∴a∥b.∴a⊂α，b⊂β，证明：∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，又α∥β，∴a与b无公共点，βαγba又

a与

b在同一平面

γ内，平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：作用：由面面平行得出线线平行.βαλba例1：如图，已知

α∥β，点

M，C，F

和

N，D，E

分别是直线

AB，AD，BF

与

α和

β

的交点.设

AM=m，BN=n，MN=p，求△END与△FMC的面积之比.∵∠END与∠FMC的两边分别平行且方向相同,∴∠END=∠FMC.解：∵α∥β，平面AND分别交α，β于MC，ND，∴由平面与平面平行的性质定理得

MC∥ND，同理可证

MF∥NE，于是△END与△FMC的面积之比为练一练

2：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.已知

α∥β，AB∥CD，且

A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB=CD．证明：过平行线

AB，CD作平面

γ，与平面

α和

β分别相交于

AC和

BD．∵α∥β，∴BD∥AC．又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴

AB＝CD．ABCDαβγ问题3：结合图片，回答下列问题，说说你有什么发现.（1）a

和

b

分别是矩形相框的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么相框和桌面平行吗？（2）c和

d分别是书架相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么书架和桌面平行吗？abcd平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.符号表示：关键：在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.

作用：证明面面平行.

αabPβ例2：已知：如图，正方体

ABCD-A1B1C1D1.求证：平面

AB1D1//平面BC1D.证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体∴四边形D1C1BA为平行四边形，∴D1A∥C1B．又

D1A⊄平面BC1D，C1B⊂平面BC1D，同理D1B1∥平面BC1D．又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．∴D1A∥平面BC1D．练一练3：如图，点

P

在

SA

上，从点

P

处将三棱锥形木块

S-ABC

锯开，使得截面与底面

ABC

平行，怎么在侧面上画线？解：如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E；再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接EF，截面PEF就是所求.下面证明平面PEF∥平面ABC.由于PE∥AB，AB⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，故PE∥平面ABC.同理可证PF∥平面ABC.又PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，PE∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.EF

线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是