《高等数学》（上册）习题答案 尹逊波

习题参考答案第1章习题参考答案习题1.1：A组1．(1)当时，单调下降，无界函数．(2)当时，单调上升，有界函数．(3)(4)当时，单调上升；当时，单调下降．有界函数．2．(1)偶函数.(2)既不是奇函数也不是偶函数.(3)奇函数．(4)偶函数．3．当时，.4．偶延拓后的函数为．奇延拓后的函数为．5．对任意整数，当时，．6．(1)；(2)；(3)；(4)．7．．．8．，定义域为．9．(1)定义域为．(2)定义域为．习题1.1：B组1．(1)反函数为，定义域为．(2)反函数为，其定义域为．(3)反函数为，．(4)反函数为，定义域为．2．(1)反函数为．(2)反函数为．3．(1),故是周期函数，且是它的一个周期．(2)由于对于任意，有，因此，.习题1.2：A组1．(1)．(2)当为奇数时，，当为偶数时，，故无极限．(3)．(4)．2.(1)；(2)；习题1.2：B组1．结合如下不等式证明，2.，.左右极限存在但不相等.习题1.3：A组1．(1)当时，为无穷小．(2)当时，为无穷大．(3)当时，为无穷大．(4)当时，为无穷小．习题1.3：B组1．取，，因此在内无界．取，此时，因此，当时，不是无穷大．习题1.4：A组1．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．2.．习题1.4：B组1．，2．，．习题1.5：A组1．(1)由于，结合夹挤准则可得.(2)由于，结合夹挤准则可得.2．(1)当时，．当时，．(2)．(3)．(4)设，则．(5)设于是．(6)．3．(1)．(2)．(3)．(4)．4．由归纳法，．又，故为单调递增数列，因此存在．计算得．5．．习题1.5：B组1.，而，所以原式．2.设a=1+λ，λ>a故0而lim因此，由两边夹挤准则有lim3.由等式x知，当n+1>a时，恒有xn−1<xn，即数列{xn}设limn→∞limn→∞得到A=0∙A，故A=0，因此lim习题1.6：A组1．(1)与同阶但不等价．(2)与等价．2．(1)是的阶无穷小，其幂函数形式主部为．(2)为的三阶无穷小，其幂函数形式主部为．3．(1)．(2)．(3)．(4)．习题1.6：B组1.．习题1.7：A组1．(1)是可去间断点，其连续区间为与．(2)连续区间为．是可去间断点．当时，是的第二类间断点．(3)，，因此是的跳跃间断点，连续区间为．(4)是跳跃间断点．是第二类间断点．连续区间为．2．是跳跃间断点，故不能补充定义使函数连续．3．都不一定．如，.4．连续，则因和，所以它们是连续的.若连续，不一定连续．例如.5．由连续函数在闭区间上的介值性可得．习题1.7：B组1．由零点存在定理可得.2．由零点存在定理可得.3．设，取，则存在，使得当时，有，即有．结合闭区间上连续函数的有界性可得.第2章习题参考答案习题2.1：A组1．(1)．(2)．2．(1)原式．(2)原式．3．，所以．4.(1)在处连续．处可导且导数为1．(2)在处连续．在处不可导．(3)在处不连续，在处不可导．5.，．6.(1)．(2)．习题2.1：B组1.limx2.B.3.f(x)=习题2.2：A组1．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．2.切线方程为．法线方程为．3.．当或1时，．习题2.2：B组1.A．2.C．习题2.3：A组1.．2.(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．3.若是偶函数，即，于是.若是奇函数，证明类似.4.(1)．(2)．(3)．(4)．(5)，．(6)．5.(1)．(2)．(3)．(4)．6．(1).(2).(3).(4).(5)．7．．8．结合导数的几何意义可得.习题2.3：B组1．；；；；；．2．．习题2.4：A组1．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．2．(1)．(2)．(3)．(4)．3．由归纳法，．4．，．习题2.4：B组1．．2．．3．(1)当时，在处连续．(2)当时，在处可导．(3)当时，在处连续．(4)当时，在处有二阶导数．4．.当时，．.当时，．，都有．习题2.5：A组1．，．2．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．3．(1)．(2)．(3).(4).习题2.5：B组1．C.2．．习题3.1：A组1．(1)满足罗尔定理条件．在区间内有点，使．(2)满足罗尔定理条件．存在，使．(3)(4)不满足罗尔定理条件.但存在使．2．略.3．满足拉格朗日中值定理条件.有两个满足等式的：．4．记.当时，．，可得.5．对使用拉格朗日中值定理.6．对在上应用柯西中值定理.7．(1)当时，单调上升；当时，函数单调下降．(2)当时，单调下降；当时，单调上升．习题3.1：B组1．由连续函数的介值性，存在，使．对在上应用罗尔定理可得．2．，即在内单调增加．3．，故．习题3.2：A组1．(1)原式．(2)原式．(3)原式．(4)原式．(5)原式．(6)原式．(7)原式．(8)原式．(9)原式．(10)原式．(11)原式．(12)原式．2．.但不存在，故不能用洛必达法则.3．是的二阶无穷小．4．．习题3.2：B组1．(1)时，在处连续．(2)(3)在处连续．习题3.3：A组1．(1),其中．(2)，．2．(1)．(2)，．3．(1)，误差小于.(2)，误差小于.4．(1)原式(2)原式．5．(1)是的三阶无穷小，其幂函数形式的主部为．(2)是的四阶无穷小，其幂函数形式的主部为．习题3.3：B组1．，．2．，3．．习题3.4：A组1．(1)极大值，极小值(2)极小值,极大值,极小值(3)，极小值2．(1)是最大值；为最小值．(2)为最小值，为最大值．3．时,漏斗的容积最大．4．(1)设，则．于是在内单增．当时，有.(2)设，则，是唯一驻点．又，所以是极大值，也是最大值．得证.5．(1)上凸区间：，；下凸区间：；拐点：，．(2)上凸区间：，；下凸区间：；拐点：，．(3)上凸区间为，下凸区间为，拐点为．(4)上凸区间为，下凸区间为，拐点为．6．，．7．(1)是铅直渐近线，是水平渐近线．(2)是铅直渐近线，是斜渐近线．(3)，是斜渐近线．(4)是铅直渐近线，是斜渐近线．8．略.习题3.4：B组1．是极大值．2．和是拐点．（注：当时，是的端点，即点不是拐点．）习题3.5：A组1．(1)．(2)．(3)．(4)．2．曲率中心坐标为．3．曲率圆为．习题3.5：B组1．曲线方程的曲率公式．心形线在点处的曲率半径()．2．曲率最大的点为．．习题4.1：A组1．(1)；(2)；(3)2．所求曲线方程为.3．.(1)；(2).4．曲线方程为：.5．（1）.（2）当时，=.当时，.（3）=.（4）=.（5）.（6）=.（7）=.（8）=.（9）=.（10）=.（11）=.（12）=.习题4.1：B组1．试证，其中，.证：，其中习题4.2：A组1．（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）（12）.（13）.（14）.（15）.（16）.（17）.（18）.（19）.（20）.2．（1）令，.（2）令，.（3）令，.（4）令，.（5）令，.（6）令，.（7）令，=.（8）令，.习题4.2：B组1.(1)11+(2)dx(3)a2.由分部积分法，得习题4.3：A组1．（1）所以，.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）原式.2．.习题4.3：B组1．.2．由分部积分公式，.习题4.4：A组1．（1）.（2）.（3）设,于是，.2．（1）令，于是,.（2）令，于是,.（3）.3．（1）设，则.（2）设，则.（3）（再令）.习题4.4：B组1.（1）.（2）.（3）.2．.习题5.1：A组1．(1).(2).(3).2．(1).(2).(3).(4).3．当时，，所以.4．由定积分中值定理可得.5．不存在.习题5.1：B组1．.2.设x0∈(a,b)，使f(x0)>g(x0)f(x)−g(x)>于是a3.必要性.若不然，则必有x0f(x因此及f(x)的连续型知，存在δ>0，是的[xf(x)于是由性质（5），（6）和（7）有a≥x这与假设矛盾.充分性.由定积分定义或性质（7）知它是显然的.4.分两种情况：（1）当abf(x)2（2）当abf(x)2[λ从a到b积分，由线性性质得a+左边是λ的二次三项式.这个不等式成立的充要条件是判别式[习题5.2：A组1．(1)；(2)；(3)；(4).2．，.3．4．.5．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).6．(1).(2)当时，.当时，.当时，.(3).7．.8．(1)；(2)==9．对，在上使用柯西中值定理.10．或.习题5.2：B组1．(1)；(2)；2.(1)由两边夹挤定理可得.(2)由洛比塔法则，3．在区间[上可积，故有界.结合连续函数的定义证明.习题5.3：A组1．(1).(2).(3).(4).(5)===.(6)=.(7)=.2．(1)(2)（3）令t=a−x，，所以，.3．（1）令，故是偶函数，所以的所有原函数皆为偶数.(2)令则所以，是奇函数.设是任一个的原函数则所以，不是奇函数.4．(1)=(2).(3).(4).(5).5．.6．1π7．由分部积分法，8．(1)=0.(2)=0.(3).(4)=.(5).(6)(7)(8).（9）习题5.3：B组1．(1)不能，因为作此变换不能取到大于1的值.(2)不能，因在[0，内不连续.2．.3.(1)（2）4．.习题5.4：A组1．(1)(2)(3)当时，原式=；当时，该广义积分发散.(4)发散(5)是瑕点，发散(6)(7)(8)(9)当时，原式；当时，发散.(10).2.由分部积分公式可得.习题5.4：B组1．若收敛，则必收敛.若发散，则必发散.(1)收敛；(2)发散.(3)发散.习题5.5：A组1..2．12.3．.4．5．6．.7．.8．9．10．11．.12．13．所求的点为.14．15．16．.17．.18．用平行截面法证明.19．.20．（吨·米）.21．克服引力做功22．水压力（吨）23．由对称性知引力的水平分量，只需求垂直分量.习题5.5：B组1．图形关于两坐标轴对称，面积为.2..3．，.习题6.1：A组1．(1)方程为.(2)方程为2．(1).(2).习题6.1：B组1．(1)通解.(2)特解为.(3)所求曲线为.(4).习题6.2：A组1．(1)通解.(2)及(3)通解为.(4)通解是.2．(1)(2).3．(1)(2)(3)4．(1).(2).(3).(4)(5)(6)5．(1).(2)或习题6.2：B组1..2．所求曲线方程为3．(1).(2).(3).(4)习题6.3：A组1．(1).(2).(3).(4)或.(5).2．(1).(2).