(2025年)串联弹簧例题(带答案)

(2025年)串联弹簧例题(带答案)一轻质弹簧原长L₀=15cm，劲度系数k₁=200N/m，下端通过光滑挂钩与另一根原长L₀'=12cm、劲度系数k₂=300N/m的弹簧串联。现用该串联弹簧系统竖直悬挂一个质量m=0.6kg的金属块，静止时弹簧未超过弹性限度，重力加速度g取9.8m/s²。（1）求静止时金属块的底面相对于初始悬挂点（两弹簧未受力时上端固定点）的竖直位移；（2）若将该串联弹簧系统水平放置在光滑水平桌面上，左端固定在竖直墙壁上，右端用水平拉力F=12N缓慢拉动，求稳定时两弹簧的伸长量及串联系统的等效劲度系数；（3）若在（2）的基础上，将第二根弹簧（k₂）替换为两根劲度系数均为k₃=600N/m的弹簧并联（并联后总劲度系数为k₂'=k₃+k₃=1200N/m），再与原弹簧k₁串联，求新的串联系统等效劲度系数；（4）实际实验中发现，当弹簧被拉伸时，其内部分子间作用力会因温度升高而略有减弱，导致劲度系数随伸长量增加而小幅减小。假设在（1）的场景中，第一根弹簧的劲度系数随伸长量x₁变化的关系为k₁(x₁)=200-50x₁（x₁单位：m），第二根弹簧的k₂(x₂)=300-80x₂（x₂单位：m），求此时金属块静止时的总伸长量（结果保留三位有效数字）。解答过程（1）竖直悬挂场景分析当弹簧竖直悬挂金属块静止时，系统处于平衡状态，两根串联弹簧所受的拉力均等于金属块的重力。设金属块的重力为G，则：G=mg=0.6kg×9.8m/s²=5.88N对于串联弹簧，每根弹簧的伸长量由各自的劲度系数和拉力决定。设第一根弹簧的伸长量为Δx₁，第二根为Δx₂，则根据胡克定律：Δx₁=G/k₁=5.88N/200N/m=0.0294m=2.94cmΔx₂=G/k₂=5.88N/300N/m=0.0196m=1.96cm金属块底面相对于初始悬挂点的竖直位移等于两根弹簧的总伸长量加上原长之和（因初始状态两弹簧未受力时，下端点位于原长之和的位置）。初始悬挂点到未受力时第二根弹簧下端点的距离为L₀+L₀'=15cm+12cm=27cm。静止时，下端点向下移动了Δx₁+Δx₂=2.94cm+1.96cm=4.9cm，因此金属块底面的竖直位移为27cm+4.9cm=31.9cm（或直接以初始悬挂点为原点，位移大小为Δx₁+Δx₂=4.9cm，但需注意题目中“相对于初始悬挂点”的表述，实际应理解为从悬挂点到金属块底面的总长度，即原长之和加总伸长量）。（2）水平拉伸场景分析水平放置时，弹簧串联系统左端固定，右端受水平拉力F=12N。由于弹簧质量不计且处于平衡状态，两根弹簧所受的拉力均等于F（串联弹簧中各弹簧受力相等）。第一根弹簧的伸长量Δx₁'=F/k₁=12N/200N/m=0.06m=6cm第二根弹簧的伸长量Δx₂'=F/k₂=12N/300N/m=0.04m=4cm总伸长量Δx总=Δx₁'+Δx₂'=6cm+4cm=10cm=0.1m串联系统的等效劲度系数k等效定义为总拉力与总伸长量的比值，即：k等效=F/Δx总=12N/0.1m=120N/m验证：串联弹簧的等效劲度系数满足倒数和关系，即1/k等效=1/k₁+1/k₂。代入数据得：1/k等效=1/200+1/300=(3+2)/600=5/600=1/120→k等效=120N/m，与计算结果一致。（3）替换为并联弹簧后的等效劲度系数计算原第二根弹簧被替换为两根k₃=600N/m的弹簧并联，并联后的总劲度系数k₂'=k₃+k₃=1200N/m（并联弹簧劲度系数相加）。此时新的串联系统由k₁=200N/m和k₂'=1200N/m的弹簧串联。根据串联弹簧的等效劲度系数公式：1/k等效'=1/k₁+1/k₂'=1/200+1/1200=(6+1)/1200=7/1200因此k等效'=1200/7≈171.4N/m（4）考虑劲度系数随伸长量变化的实际情况当弹簧的劲度系数随伸长量变化时，胡克定律需修正为F=k(x)·x，其中k(x)是伸长量x的函数。此时，金属块静止时，两根弹簧的拉力均等于重力G=5.88N，因此对第一根弹簧有：G=k₁(x₁)·x₁=(20050x₁)x₁即50x₁²200x₁+5.88=0同理，第二根弹簧：G=k₂(x₂)·x₂=(30080x₂)x₂即80x₂²300x₂+5.88=0分别解这两个二次方程：对于第一根弹簧的方程50x₁²200x₁+5.88=0，判别式D₁=200²4×50×5.88=400001176=38824，根为：x₁=[200±√38824]/(2×50)=[200±197.04]/100由于弹簧伸长量x₁必须小于弹性限度（假设弹性限度远大于解值），取较小根：x₁=(200197.04)/100=2.96/100=0.0296m=2.96cm对于第二根弹簧的方程80x₂²300x₂+5.88=0，判别式D₂=300²4×80×5.88=900001881.6=88118.4，根为：x₂=[300±√88118.4]/(2×80)=[300±296.84]/160取较小根：x₂=(300296.84)/160=3.16/160≈0.01975m=1.975cm总伸长量x总=x₁+x₂≈0.0296m+0.01975m≈0.04935m≈4.94cm验证：由于k₁(x₁)和k₂(x₂)随伸长量增加而减小，实际伸长量应略大于理想情况（理想情况总伸长量为4.9cm），计算结果4.94