2027届新高考数学热点精准复习 二项分布、超几何分布与正态分布

2027届新高考数学热点精准复习二项分布、超几何分布与正态分布1.理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.课标要求

只包含两个可能结果

X~B(n,p)npnp(1-p)

正态密度曲线x=μx=μ1⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，曲线越“胖”;σ越小，曲线越“瘦”，如图2所示.

X~N(μ,σ2)μσ2常用结论与微点提醒1.两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.2.当X~B(n，p)时，P(X＝k)的最大值:若(n＋1)p是正整数，则k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，P(X＝k)取得最大值.若(n＋1)p非正整数，则k＝[(n＋1)p](不大于(n＋1)p的最大整数)时，P(X＝k)取得最大值.注:若均值为正整数，则当随机变量k＝np时，概率最大.3.若X~N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×(3)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(

)(4)服从二项分布、超几何分布及正态分布的随机变量是离散型随机变量.(

)(3)中面积即为频率之和，是定值1;(4)中正态分布的随机变量是连续型的.××

B

C

4.(湘教选修二P144T2改编)甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49，甲、乙一共进行了10局比赛，已知各局比赛相互独立，则甲平均赢的局数为____________.

5.1由题意，用X表示10局中甲赢的次数，则X~B(10，0.51)，所以E(X)＝10×0.51＝5.1(局).

考点一二项分布设事件A＝“智能客服的回答被采纳”，事件B＝“输入问题表达不清晰”.

(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列、期望及方差.

所以X的分布列为X0123P

感悟提升二项分布问题的解题关键(1)定型:①在每一次试验中，事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.(2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.

C

(2)(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4，小桐一周跑11圈的概率为____________;若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝____________.

0.63.2小桐一周跑11圈的概率p＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6.小桐一周运动量达标的概率p＝1－0.5×0.4＝0.8，显然X服从二项分布B(4，0.8)，故E(X)＝4×0.8＝3.2.例2(2026·郑州模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下:分公司A:66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B:62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数;考点二超几何分布

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分;分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.由题意可知随机变量X服从超几何分布，其N＝5，M＝3，n＝3，且X的可能取值为1，2，3.

X123P

感悟提升1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.

则随机变量X的分布列为X0123P

ABD考点三正态分布

(2)(2026·海口调研)随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，则下列关系正确的是(

)A.P(X≥1)>P(Y≥2) B.P(X≥1)<P(Y≥2)C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1) D.P(|X|≤1)<P(|Y|≤1)C因为随机变量X~N(0，1)，所以μ1＝0，σ1＝1，又随机变量Y~N(0，4)，所以μ2＝0，σ2＝2.则P(X≥1)＝P(X≥μ1＋σ1)，P(Y≥2)＝P(Y≥μ2＋σ2).所以P(X≥1)＝P(Y≥2).所以A，B均错误.P(|X|≤1)＝P(μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1)＝P(|Y|≤2)＝P(μ2－σ2≤Y≤μ2＋σ2)，又P(|Y|≤1)<P(|Y|≤2);所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)，所以C正确，D错误.故选C.感悟提升解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.

BC由题意可知，X~N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，所以A错误，B正确;因为Y~N(2.1，0.12)，P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.8413－0.5＝0.3413，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.3413＋0.5＝0.8413>0.8，所以C正确，D错误.(2)某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6，50.4)的为优品，技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.16);技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.04).那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差约为_________.(若X~N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)≈0.6827，P(|X－μ|<2σ)≈0.9545，P(|X－μ|<3σ)≈0.9973)

0.2718记技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ1，标准差为σ1;技术改造后，该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ2，标准差为σ2，由题知μ1＝μ2＝50，σ1＝0.4，σ2＝0.2，(49.6，50.4)＝(μ1－σ1，μ1＋σ1)＝(μ2－2σ2，μ2＋2σ2)，所以技术改造前的优品率约为0.6827，技术改造后的优品率约为0.9545，优品率之差约为0.9545－0.6827＝0.2718.1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，有时候对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立;二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.二项分布与超几何分布的区别与联系微点突破一、以总体个数有限与无限区分两种分布例1某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量;质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列;

X012P(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.

Y012P二、以放回与不放回抽样区分两种分布例2根据城市魅力排行榜，一线城市有4个，分别为上海、北京、深圳、广州;新一线城市有15个，分别为成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市有10个，分别为上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.(1)从10个超大城市中随机抽取一个城市，求该城市是一线城市的概率;

(2)从10个超大城市中按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望;

所以X的分布列为X0123P

(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E(X)与E(Y)的大小关系.

(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生?请说明理由.

一、单选题1.下列事件是n重伯努利试验的是(

)A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标D选项A，C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义;选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验;选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.

B

A

4.(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下列说法中错误的是(

)A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2)C.|r|越接近1，线性相关性越强D.|r|越接近0，线性相关性越弱B

D

D

D

ACD

BD

三、填空题10.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝____________.

0.14因为X~N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.11.数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是____________.

12.(2026·石家庄调研)如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则P(X＝