2027届新高考数学热点精准复习 与球有关的切、接问题

2027届新高考数学热点精准复习与球有关的切、接问题

2.长方体与球

7.圆锥的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径,h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径).角度1定义法A题型一外接球如图,

若球心O在三棱锥P－ABC内,设O1为△ABC的外接圆的圆心.连接PO1,AO1,AO.

感悟提升到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.角度2

补形法例2(1)(2026·黄山模拟)已知三棱锥P－ABC的四个面均为直角三角形,PA⊥平面ABC,PA＝AB＝4,AC＝6,则三棱锥P－ABC外接球的表面积为(

)A.12π B.24π C.32π D.52πD

8π

感悟提升满足下列条件的可以补成长方体(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,如图①.(2)三棱锥的四个面均是直角三角形,如图②.(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等,则每条对棱为长方体的面对角线,如图③.

AA.5π B.8πC.6π D.9π

感悟提升找两个三角形的外接圆的圆心,过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线,两垂线的交点就是球心.

D如图,设O1是BC的中点,连接O1A,O1P,由于∠BAC＝90°,所以O1是△ABC的外心,O1A＝O1B＝O1C.由于PA＝PB＝PC＝BC＝2,O1是BC的中点,

30π

32π

例4(1)(2026·天津模拟)正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形,且每一个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成二面角都相等),数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,如图所示为正八面体,则该正八面体的外接球与内切球的表面积之比为(

)C题型二内切球A.4∶3 B.2∶1C.3∶1 D.4∶1

(2)(2025·新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为________cm.

2.5

感悟提升多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合.(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.训练2(1)如图所示,直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材,测量可得∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,AA1＝13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则加工所得的一个健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(

)D

(2)(2026·南京六校调研)已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角、半径为4的扇形,则此圆锥内切球的表面积为____________.

A如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为2,题型三棱切球

4π

感悟提升解决棱切球问题的规律是:找切点,找球心,构造直角三角形.

C

C

2.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(

)A.π B.3πC.6π D.8πC

C

D

A如图所示,将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体,

C

D

如图所示.

B设底面ABC的外接圆的圆心为O,

ABC

ACD画出圆台的轴截面,如图所示.则四边形ABCD是等腰梯形,且DN＝1,AM＝3,内切圆圆心即球心O,所以圆台的母线长为AD＝AE＋ED＝AM＋DN＝3＋1＝4,A正确;连接OA,OD和OE,则△AOD是直角三角形,

AB

三、填空题12.在三棱锥A－BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD＝BD＝2,CD＝4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为____________.

20根据题意得BC⊥平面ABD,则BC⊥BD,即AD,BC,BD三条线两两垂直,所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内,如图所示,该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体体对角线的中点,即外接球的半径为长方体体对角线长的一半,此时AC为长方体的体对角线,即为外接球的直径,所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋4