2027届新高考数学热点精准复习函数单调性与最大(小)值

2027届新高考数学热点精准复习单调性与最大(小)值1.会利用函数的单调性比较函数值的大小,解函数不等式.2.会求函数的最值或值域.课标要求

A

考点一利用函数单调性比较大小

感悟提升比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.

A

C

考点二利用函数单调性解不等式感悟提升求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.训练2(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x,若f(x2－4)<2,则实数x的取值范围是_____________________.

根据所给的分段函数,画出图象如图.(－3,1)已知函数在整个定义域上是单调递减的,由f(3－a2)<f(2a)可知,3－a2>2a,解得－3<a<1.

1

考点三利用函数单调性求最值感悟提升利用单调性求函数最值(值域)的基本方法(1)对于较为简单的函数,先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.

C

(1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值(值域).(4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”.(5)分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.求函数值域(最值)的几种方法微点突破

对于A,y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).ACD

A

B画出函数f(x)的图象(图略),结合图象可知f(x)在R上是增函数,由f(a＋1)≥f(2a－1),得a＋1≥2a－1,解得a≤2.3.若函数f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是(

)A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1)C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1)B因为f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数,所以m>1,故f(m)>f(1).4.(2026·七台河调研)已知函数f(x)在R上为增函数,若不等式f(－4x＋a)>f(－3－x2)对∀x∈(3,＋∞)恒成立,则a的取值范围为(

)A.[－1,＋∞) B.[3,＋∞)C.[0,＋∞) D.(1,＋∞)C由题意,得－4x＋a>－3－x2对∀x∈(3,＋∞)恒成立,则a>－x2＋4x－3对∀x∈(3,＋∞)恒成立.设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1,则当x>3时,g(x)<0,所以a的取值范围为[0,＋∞).

B

C

D由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,因此f(x)是增函数,A错误;由－5<0<1,得f(－5)<f(0)<f(1),B错误;

BCD

二、多选题

BCD令a＝0,b＝1,则f(0)f(1)＝f(1),易知0<f(1)<1,所以f(0)＝1.当x<0时,－x>0,所以0<f(－x)<1,

三、填空题c>b>a

(－1,2)

(－∞,－1]∪{0}当x≥a时,f(x)＝x2－2ax＋1图象的对称轴方程为x＝a,要想f(x)存在最小值,当x<a时,f(x)＝ax－1单调递减,且在x＝a处,y＝ax－1的函数值要大于等于y＝x2－2ax＋1的函数值,当a<0时,需满足a2－1≥a2－2a2＋1,解得a≤－1.

四、解答题

(2)求函数的最大值和最小值.14.已知函数f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数,满足f(xy)＝f(x)＋f(y),f(3)＝1.(1)求f(1)和f(9)的值;由题知,f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数,且f(xy)＝f(x)＋f(y),f(3)＝1,令x＝y＝1,则f(1)＝f(