2027届新高考数学热点精准复习函数性质的综合应用

2027届新高考数学热点精准复习函数性质的综合应用会综合运用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等求解函数的值、比较大小、解不等式等问题.课标要求例1(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)＝xf(x),若a＝g(－log25.1),b＝g(20.8),c＝g(3),则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c

D.b<c<aC易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数,∵奇函数f(x)在R是增函数,且f(0)＝0.∴g(x)在(0,＋∞)上是增函数,又3>log25.1>2>20.8,且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1),∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.考点一函数的奇偶性与单调性(2)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0)上单调递减,且f(2)＝0,则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是________________.

[－1,0]∪[1,3]因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞,0)上单调递减,且f(2)＝0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时,要满足xf(x－1)≥0,则f(x－1)≤0,得－1≤x≤0.当x>0时,要满足xf(x－1)≥0,则f(x－1)≥0,得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].感悟提升1.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.训练1(多选)(2025·江淮十校调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(－∞,0]上单调递减,则(

)A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2))C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2))BD因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且两函数在(－∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增,g(x)在[0,＋∞)上单调递减,g(x)在R上单调递减,所以f(1)<f(2),g(0)＝0>g(1)>g(2),所以f(g(1))<f(g(2)),g(f(1))>g(f(2)),g(g(1))<g(g(2)),所以B,D正确,C错误.若|f(1)|>|f(2)|,则f(f(1))>f(f(2)),A错误.例2(2026·昆明诊断)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

)A.－50 B.0C.2 D.50C法一因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,①且f(0)＝0,因为f(1－x)＝f(1＋x),所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,②考点二函数的对称性与周期性由①②可得f(x)是周期为4的函数,对于f(1＋x)＝f(1－x),令x＝1,得f(2)＝f(0)＝0;令x＝2,得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2;令x＝3,得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝f(1)＝2.法二

∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)＝0,且f(－x)＝－f(x),①又∵f(1－x)＝f(1＋x),∴f(－x)＝f(2＋x),②由①②得f(2＋x)＝－f(x),∴f(4＋x)＝－f(2＋x),∴f(x)＝f(x＋4),∴f(x)的最小正周期为4,下同法一.感悟提升函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两条对称轴x＝a,x＝b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函数f(x)是周期函数,且周期T＝2(b－a).(3)如果函数f(x)(x∈D)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,且周期T＝4|b－a|.记忆口诀:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差.

BC

例3(多选)(2026·清远模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0,且f(x)在(－2,0)上单调递增,则以下说法一定正确的是(

)A.f(2)＝2 B.f(x)为周期函数C.f(2026)＝0 D.f(x)在(10,12)上单调递增BC对于A,由f(2＋x)＋f(2－x)＝0,得f(x)的图象关于点(2,0)对称,f(2)＝0,故A错误;对于B,因为f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称.又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)的一个周期为T＝4|2－0|＝8,故B正确;考点三函数性质的综合应用对于C,由B知,f(2026)＝f(8×253＋2)＝f(2)＝0,故C正确;对于D,因为f(x)是偶函数且f(x)在(－2,0)上单调递增,所以f(x)在(0,2)上单调递减,又f(x)的图象关于(2,0)对称,所以f(x)在(2,4)上单调递减,由于周期为8,所以f(x)在(10,12)上的单调性与在(2,4)上的单调性相同,所以f(x)在(10,12)上单调递减,故D错误.感悟提升函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.

CD令x＝－1,得f(2－1)＝f(1)－f(1)＝0,即f(1)＝0,∴f(2＋x)＋f(－x)＝0,故函数f(x)的图象关于(1,0)对称.又∵f(2x)的图象关于直线x＝1对称,故f(2x)＝f(2(2－x))＝f(4－2x),

(2)(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0,f(x)＋f(x＋4)＝0且对任意的x1,x2∈[－2,0],当x1≠x2时,都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则以下判断正确的是(

)A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)的最小正周期是4C.函数f(x)在[2,6]上单调递增D.直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴CD由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x),函数f(x)为奇函数,A错误;对任意的x1,x2∈[－2,0],当x1≠x2时,都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,所以f(x)在[－2,0]上单调递减,结合奇函数的性质知,函数f(x)在[0,2]上单调递减,即函数f(x)在[－2,2]上单调递减,由A及f(x)＋f(x＋4)＝0可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4),即f(－x)＝f(x＋4),故f(x)关于直线x＝2对称,所以f(x)在[2,6]上单调递增,且直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴,C,D正确;又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8),结合f(x)在[－2,6]上的单调性可知函数f(x)的最小正周期为8,B错误.

A

2.定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称,且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数,则函数y＝g(x)图象的对称中心为(

)A.(2,1) B.(－2,－1)C.(－2,1) D.(2,－1)D由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数,则y＝f(x)关于点(－2,－1)对称,另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称,故y＝g(x)的图象关于点(2,－1)对称.

D

C

5.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,且f(x＋2)为奇函数,若f(1)＝2,则f(2026)＋f(2027)等于(

)A.－1 B.0C.2 D.－2D函数f(x＋2)为奇函数,所以函数f(x＋2)的图象关于点(0,0)对称,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,又函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,故函数f(x)的一个周期为4,因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故f(2)＝0,f(3)＝－f(1)＝－2,所以f(2026)＋f(2027)＝f(2)＋f(3)＝－2.

B由f(x＋3)＝－f(x)可得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),所以函数f(x)的周期为6,由f(1－2x)＝f(1＋2x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以f(2)＝f(0),

7.(2026·陕西部分学校模拟)已知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)＝f(1＋x)－(1＋x)为偶函数,函数G(x)＝f(2＋3x)－1为奇函数,则下列说法错误的是(

)A.函数f(x)图象的一个对称中心为(2,1) B.f(0)＝－1C.函数f(x)为周期函数,且一个周期为4 D.f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝6C因为G(x)＝f(2＋3x)－1为奇函数,所以G(－x)＝－G(x),即f(2－3x)－1＝－[f(2＋3x)－1],所以f(2－3x)＋f(2＋3x)＝2,于是f(2－x)＋f(2＋x)＝2,所以函数f(x)的图象关于点(2,1)对称,A正确.在f(2－x)＋f(2＋x)＝2中,令x＝0,得2f(2)＝2,得f(2)＝1,因为函数F(x)＝f(1＋x)－(1＋x)为偶函数,所以F(－x)＝F(x),即f(1－x)－(1－x)＝f(1＋x)－(1＋x),所以f(1＋x)－f(1－x)＝2x,令x＝1,得f(2)－f(0)＝2,所以1－f(0)＝2,得f(0)＝－1,B正确.因为函数f(x)的图象关于点(2,1)对称,f(0)＝－1,所以f(4)＝3,f(0)≠f(4),所以4不是f(x)的周期,C错误.在f(2－x)＋f(2＋x)＝2中,令x＝1,得f(1)＋f(3)＝2.又f(4)＝3,f(2)＝1,所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝6,D正确.故选C.

C对于A,因为f(2x＋1)的最小正周期为2,所以f[2(x＋2)＋1]＝f(2x＋1),即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1),设t＝2x＋1,则f(t＋4)＝f(t),所以f(x)的一个周期为4,故A错误.二、多选题对于B,因为f(2x＋1)是定义在R上的奇函数,所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1),设m＝2x,则f(－m＋1)＝－f(m＋1),所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,故B错误.对于C,因为f(x)的一个周期为4,所以f(2027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝－f(1),又f(－2x＋1)＝－f(2x＋1),令x＝0,得f(1)＝0,所以f(2027)＝0,故C正确.对于D,f(x)的定义域为R,因为f(－1)＝0,f(x)的一个周期为4,所以f(4k＋3)＝0(k∈Z),f(x)的图象关于点(1,0)对称,作出一个符合上述条件的图象,如图所示,此时f(x)的图象不关于直线x＝2对称,故D错误.

ACD因为f(x－3)＝－f(x),所以f(x)＝－f(x＋3),则f(x－3)＝f(x＋3),所以f(x＋6)＝f(x),故A正确;当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则当x∈[－6,－3]时,x＋6∈[0,3],f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18,故B不正确;二、多选题

令x＝y＝0,得f(0)－f(0)＝f(－1)f(－1),所以f(－1)＝0.令x＝0,得f(－y)－f(y)＝f(－1)f(y－1)＝0,BCD即f(－y)＝f(y),所以f(x)为偶函数,所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x),又g(x)的定义域为R,则g(x)为奇函数,故A错误;令x＝1,f(1－y)－f(1＋y)＝f(0)f(y－1)＝2f(y－1),即f(y＋1)＝－f(y－1),则f(y＋2)＝－f(y),则f(y＋4)＝－f(y＋2),所以f(y)＝f(y＋4),所以8是f(x)的一个周期,故B正确;令x＝1,f(1－y)－f(1＋y)＝f(0)f(y－1)＝2f(y－1),所以f(1－y)＋f(1＋y)＝0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,

BCD对于A,令x＝y＝1,得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0,A错;对于B,令x＝y＝－1,得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0,令y＝－1,得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x),所以f(x)为奇函数,B正确;

12.(2026·长沙雅礼中学调考)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝_________________________________________________________________.

log2x(答案不唯一,形如f(x)＝klogax(k>0时,a>1;k<0时,0<a<1)都可以)由f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)得,f(x)可以为对数函数,即f(x)＝logax