2027届新高考数学热点精准复习几何体的截面(交线)及动态问题

2027届新高考数学热点精准复习几何体的截面(交线)及动态问题1.立体几何中截面、交线问题综合性较强,解决此类问题要应用三个基本事实及其推论、垂直、平行的判定与性质定理等知识.2.立体几何中的动态问题包含动点的轨迹问题、最值与范围问题等.题型分析

ABD题型一截面问题对于B,如图1所示,连接A1D,A1B,BD,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,易证AC1⊥平面A1BD,分别取棱DD1,D1A1,A1B1,B1B的中点为G,H,I,J,将其顺次连接,连接GF,EF,EJ,由中位线的性质可得平面A1BD∥平面EFGHIJ,故AC1⊥平面EFGHIJ,而六边形EFGHIJ显然为正六边形,故B正确;对于C,如图2所示,连接AC,BD交于O点,记侧面AD1和侧面AB1的中心分别为G,H,连接GH,HE,EF,GF,易知点G,H,E,F共面(即在符合要求的截面内),连接A1O交GH于N,设CO∩EF＝M,连接MN,可得N,M为A1O,CO的中点,故A1C∥MN,又因为MN⊂平面GHEF,A1C⊄平面GHEF,所以A1C∥平面GHEF,故C错误;对于A,D,如图3所示,连接EF,并延长EF分别与直线AB,AD交于P,Q两点,

感悟提升作截面应遵循的三个原则:(1)在同一平面上的两点可引直线;(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点;(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.

B如图,取D1C1的中点N,D1A1的中点M,连接MN,NF,ME,则五边形BEMNF为过点B,E,F的截面,取CF的中点J,DD1靠近D1的三等分点K,连接D1J,CK,EK,则NF∥D1J,

例2(1)(2026·武汉质检)在正三棱台ABC－A1B1C1中,A1B1＝1,AB＝AA1＝2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作截面,则截面与上底面A1B1C1的交线长为____________.

如图,将正三棱台ABC－A1B1C1补为正三棱锥D－ABC,连接AF并延长交CD于点M,连接ME交B1C1于点N,连接FN,题型二交线问题

则FN即为过点A,E,F的截面与上底面A1B1C1的交线,

如图,设B1C1的中点为E,球面与棱BB1,CC1的交点分别为P,Q,

感悟提升多面体中找交线的常用方法(1)利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线,即只需找相交平面的两个公共点,两点连线就是交线.(2)利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行,再利用性质作出交线.(3)对于球与多面体的交线长问题,根据交线的不同有两种计算方法:一是利用弧长公式计算,只需找出弧所对的圆心角即可;二是转化为截面小圆计算,只需找到小圆半径即可.

C

例3(多选)(2025·昆明联考)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点,F是线段A1B1的中点,则(

)CD题型三动态问题

感悟提升1.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法:根据平面的性质进行判定.(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算.(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.感悟提升2.在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的思路是(1)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解.(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.训练3(多选)(2026·江苏部分学校调研)六氟化硫(SF6)分子结构为正八面体(可看作是将两个棱长均相等的正四棱锥通过底面粘接在一起的几何体).如图,正八面体E－ABCD－F的棱长为a,下列说法中正确的有(

)BD

一、单选题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,Q是正方形B1BCC1内的动点,A1Q⊥BC1,则Q点的轨迹是(

)A.点B1 B.线段B1CC.线段B1C1 D.平面B1BCC1B如图,连接A1C,因为BC1⊥A1Q,BC1⊥A1B1,A1Q∩A1B1＝A1,A1Q,A1B1⊂平面A1B1Q,所以BC1⊥平面A1B1Q,又B1Q⊂平面A1B1Q,所以BC1⊥B1Q,又BC1⊥B1C,所以点Q在线段B1C上.

C

3.(2026·西安调研)已知棱长为6的正方体与一个球相交,球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为16π的圆,则该球的表面积为(

)A.96π B.100πC.125π D.204πB由对称性,球心与正方体中心重合,且每个面的交线半径为4.连球心与任意面中心,则连线长为3,且连线垂直该面,再连交线圆上一点与球心(即为球半径),由勾股定理得球的半径为5,则表面积为4π·52＝100π.

D

如图,连接DB1交平面A1BC1于点E,根据正方体的性质易知E为线段DB1的靠近B1的三等分点,

5.(2025·北京顺义区质检)已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1,CC1分别交于点M,N,则下列关于截面BMD1N的说法中不正确的是(

)CA.截面BMD1N可能是矩形B.截面BMD1N可能是菱形C.截面BMD1N可能是梯形D.截面BMD1N不可能是正方形如图1,当点M,N分别与对角顶点重合时,显然截面BMD1N是矩形;图1图2如图2,当M,N分别为棱AA1,CC1的中点时,显然截面BMD1N是菱形,由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形;根据对称性,其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C.

C如图1,E,F,G分别为正四面体棱的中点,此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等,

C取BC中点F,连接AF,DF,则有AF⊥BC,DF⊥BC,又AF∩DF＝F,AF,DF⊂平面ADF,故BC⊥平面ADF,又AD⊂平面ADF,

D

二、多选题9.(2026·南昌调研)在正三棱柱ABC－A1B1C1中,已知AA1＝AB,点M,N分别为CC1和BC的中点,点P是棱AA1上的一个动点,则下列说法中正确的有(

)A.存在点P,使得B1M∥平面PBCB.直线PN与CC1为异面直线C.存在点P,使得B1M⊥PND.存在点P,使得直线PN与平面ABC所成角为45°BCD因为B1M与BC相交,所以B1M与平面PBC相交,故A错误;因为P∉平面BB1C1C,N∈平面BB1C1C,N∉CC1,CC1⊂平面BB1C1C,所以直线PN与CC1为异面直线,故B正确;当点P与点A重合时,PN⊥平面BB1C1C,因为B1M⊂平面BB1C1C,所以B1M⊥PN,故C正确;当AP＝AN时,直线PN与平面ABC所成的角为45°,故D正确.

对于A,如图所示,连接AC,A1C1,A1B,ACD因为E,F分别为棱AB,BC的中点,所以EF∥AC,由AA1∥CC1,AA1＝CC1可知,四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1,所以EF∥A1C1,所以EF与BC1所成的角即为A1C1与BC1所成的角,即∠A1C1B或其补角,因为△A1BC1是等边三角形,所以∠A1C1B＝60°,所以EF与BC1所成的角为60°,故A正确;对于B,因为直线A1B1,A1D1所成角是90°,且两条直线相交于A1,所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条,故B错误;

ACD

三、填空题12.如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是____________.

如图,由面面平行的性质可得,当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内时,即满足题意,连接A1B,BC1,A1C1,

13.如图在棱长为1的正方体ABC