2027届新高考数学热点精准复习事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

2027届新高考数学热点精准复习事件的相互独立性、条件概率与全概率公式1.了解两个事件相互独立的含义，利用独立性计算概率.2.理解条件概率与独立性的关系，能计算简单随机事件的条件概率.3.会利用乘法公式和全概率公式计算概率.课标要求

P(A)P(B)B

1P(B|A)+P(C|A)对立事件P(A)P(B|A)

常用结论与微点提醒1.事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立.2.当P(A)>0时，事件A与B相互独立的充要条件是P(B|A)＝P(B).3.已知P(A)>0，P(B)>0，P(B|A)＝P(B)，则P(A|B)＝P(A).4.如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×√×2.(苏教选修二P143T1原题)甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们都击中靶的概率是(

)A.0.56 B.0.48C.0.75 D.0.6A甲、乙两人射击时相互独立，则他们都中靶的概率为0.8×0.7＝0.56.3.(人教B选修二P47练习AT4改编)已知一种节能灯使用寿命超过10000h的概率为0.95，而使用寿命超过12000h的概率为0.9，则已经使用了10000h的这种节能灯，使用寿命能超过12000h的概率为____________.

4.(人教A选修三P50例4改编)某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为____________.

0.7设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得，P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立B考点一相互独立事件的概率

事件甲与事件丙同时发生的概率为0，

(2)(2026·乌鲁木齐质测)甲、乙两个元件构成一串联电路，甲元件断路概率为0.2，乙元件断路概率为0.3，则电路通路的概率为(

)A.0.44 B.0.5C.0.56 D.0.94C法一(直接法)设甲元件断路的事件记为A，乙元件断路的事件记为B，电路通路的事件记为C，所以P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.56.故选C.法二(间接法)设甲元件断路的事件记为A，乙元件断路的事件记为B，电路通路的事件记为C，P(C)＝1－[1－P(A)]P(B)－P(A)[1－P(B)]－P(A)P(B)＝1－(1－0.2)×0.3－0.2×(1－0.3)－0.2×0.3＝1－0.24－0.14－0.06＝0.56，故选C.感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.训练1甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则(

)A.两人都中靶的概率为0.12B.两人都不中靶的概率为0.42C.恰有一人中靶的概率为0.46D.至少有一人中靶的概率为0.74C

AC考点二条件概率

(2)(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为_____;已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________.

感悟提升

训练2(1)经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为(

)A.0.24 B.0.36C.0.48 D.0.75C设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48.

A

例3(1)(2026·东北三市联考)已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区人口数量的比为3∶2∶1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为____________.

考点三全概率公式的应用

(2)(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C

三种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是____________.

感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n);(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)，P(B|Ai);(3)代入全概率公式计算.训练3(1)无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8，如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为(

)A.0.8 B.0.7C.0.6 D.0.5B记事件A1＝“第一天入住无人酒店”，A2＝“第二天入住无人酒店”，B1＝“第一天入住常规酒店”，根据题意可知P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.8，P(A2|B1)＝0.6，则由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.7.故选B.(2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为____________;将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为____________.

贝叶斯公式拓展视野2.若随机试验可以分为两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.

C

(2)(2026·青岛调研)学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%.若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为____________.

设事件B为“拿的苹果是次品”，Ai(i＝1，2)为“拿的苹果来自第i份”，则P(A1)＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(A2)＝0.6，P(B|A2)＝0.04，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.05＋0.6×0.04＝0.044，

B

2.以事件A，B分别表示“某城市的甲、乙两个区在一年内出现停水”，若P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，则两个区一年内都出现过停水的概率为(

)A.0.6 B.0.65C.0.45 D.0.045D由题意可得P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.30×0.15＝0.045.3.某车队派出两辆车参加比赛，假设这两辆车在比赛中不出现故障的概率均为p，则比赛结束时两辆车不同时出现故障的概率为(

)A.p2 B.2p－p2C.1－p2 D.p－2p2B两辆车不同时出现故障的概率为1－(1－p)2＝2p－p2.

C

5.(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A.0.8 B.0.6C.0.5 D.0.4A

A

D

BCD

BCD

11.(2026·广西质量监测)甲、乙、丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为90%，乙加工的正品率为80%，丙加工的正品率为85%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的40%.现任取一个零件，则它是正品的概率为____________.

法一(公式法)由题意得甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，所以现任取一