2027届新高考数学热点精准复习随机事件与概率、古典概型

2027届新高考数学热点精准复习随机事件与概率、古典概型1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的实质，掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.课标要求1.样本空间与样本点(1)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.(2)全体样本点的集合称为试验E的____________，常用Ω表示.(3)有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.样本空间2.随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件:样本空间Ω的______称为随机事件，常用大写字母A，B，C，…表示.当且仅当________________________时，称为事件A发生.(2)随机事件的特殊情形:必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件⌀(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点).子集A中某个样本点出现3.事件的关系和运算

含义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生________相等关系B⊇A且A⊇B________并事件(和事件)事件A与事件B至少有一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)事件A与事件B同时发生______________互斥(互不相容)事件A与事件B不能同时发生A∩B=⌀互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生________________A⊆BA=BA∩B或ABA∩B=⌀,且A∪B=Ω

5.概率的性质性质1:对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1;性质2:必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0;性质3:如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_________________;性质4:如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝___________;性质5:如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6:设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).P(A)+P(B)1-P(B)6.概率与频率(1)概率:对随机事件发生_______________的度量(数值).(2)频率与概率的关系:随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的_________，称频率的这个性质为频率的稳定性.可以用频率fn(A)估计概率P(A).可能性大小概率P(A)常用结论与微点提醒1.互斥事件包含对立事件，即对立一定互斥，但互斥不一定对立.2.古典概型的特点是样本点有限且等可能，确定是古典概型后再利用公式计算.3.互斥事件概率加法公式的推广若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.(

)(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽”与“不发芽”.(

)对于(2)，两个样本点是“发芽”与“不发芽”，因在适宜条件下，所以一定发芽，样本点不具备等可能性;诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×(3)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(

)(4)若P(A)＋P(B)＝1，则A，B互相对立.(

)对于(4)，P(A)＋P(B)＝1时，A，B不一定对立，如掷骰子一次A为“掷出偶数点”，B为“掷出点数不大于5”，P(A)＋P(B)＝1，但A，B不对立.√×2.(人教A必修二P235T1原题)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

)A.至多一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶D连续射击两次中靶的情况如下:①两次都中靶;②只有一次中靶;③两次都没有中靶，故选D.

D

4.(苏教必修二P287T16改编)全班50名学生每人抛掷20枚图钉，最后对全班统计钉尖朝上的频数为782次，由此估计钉尖朝上的概率为____________.

0.782

角度1

随机事件关系的判断例1(1)(多选)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是(

)A.E与G是互斥事件B.F与I互为对立事件C.F与G不是互斥事件D.G与I是互斥事件BC考点一随机事件与概率对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误;对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F与I互为对立事件，故B正确;对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确;对于D，G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.

B

角度2

互斥、对立事件的运算例2(1)(多选)下列说法正确的有(

)A.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B)B.若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1C.若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)D.P(A∪B)<P(A)＋P(B)ABC若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A正确;若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，故B正确;若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故C正确;因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以当A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故D错误.(2)已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.6，P(A)＝0.4，则事件B的对立事件的概率为____________.

0.8因为A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.6，又因为P(A)＝0.4，所以P(B)＝0.2，事件B的对立事件的概率为1－P(B)＝0.8.

AB

感悟提升1.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.2.利用互斥事件概率加法公式可以求解两个或多个互斥事件和事件发生的概率;在涉及“至多”“至少”的题目时，有时可考虑对立事件，用间接法求解.训练1(1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是(

)A.A与D为对立事件 B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件 D.P(C∪E)＝1AD当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确;显然A与D是对立事件，A正确;C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.(2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为___________.

0.11

B法一画出树状图:考点二古典概型

(2)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(

)C按接球人分类:①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种;两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种;

感悟提升求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法:适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同;有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法:在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.

D

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为____________.

因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，

例5(2026·九江模拟)某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意.(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否以此推断对讲座活动是否满意与性别有关;考点三古典概型的综合应用性别满意情况合计满意不满意男生

女生

合计

1202×2列联表如表所示.性别满意情况合计满意不满意男生402060女生303060合计7050120

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

感悟提升古典概型的综合问题主要是结合文字、图表等信息，准确提炼出样本数据，并选择合适的方法(如列举、树状图、排列组合)进行计数，代入古典概型公式计算.训练3某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数);

(2)若认定评分在[80，90)内的学生为“运动爱好者”，评分在[90，100]内的学生为“运动达人”，现采用按比例分配的分层随机抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.评分在[80，90)内的频率为0.25，[90，100]内的频率为0.05，两者的比例是5∶1，所以抽取的6名学生中，评分在[80，90)内的有5人，记为1，2，3，4，5，评分在[90，100]内的有1人，记为6，

一、单选题1.打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3，那么A＝A1∪A2∪A3表示(

)A.全部击中 B.至少击中1次C.至少击中2次 D.以上均不正确B由题意可得，事件A1，A2，A3是彼此互斥事件，且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件，A＝A1∪A2∪A3表示的是打靶至少击中一次.2.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(

)A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球B对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件;对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件;对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件;对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位:cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为(

)A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.8B由题意知该同学的身高低于160cm的概率、该同学的身高在[160，175](单位:cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.

D

C

C

A

二、多选题8.(2026·西安调研)某地人群中各种血型的人所占的比例如表:AD血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB型血的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，则(

)A.任找一个人，其可以给B型血的人输血的概率是0.64B.任找一个人，B型血的人能给其输血的概率是0.29C.任找一个人，其可以给O型血的人输血的概率为1D.任找一个人，其可以给AB型血的人输血的概率为1因为B型血、O型血的人可以给B型血的人输血，所以可以给B型血的人输血的概率为0.29＋0.35＝0.64，故A正确;B型血的人能给B型血、AB型血的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，故B错误;O型血的人只能接受O型血的人输血，故C错误;由任何血型的人都可以给AB型血的人输血，知D正确.

AB

三、填空题10.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为____________.

11.某市的天气预报显示，该市在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率.先利用计算器产生0~9之间取整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数:779

537

113

730

588

506

027

394357

231

683

569

479

812

842

273925

191

978

520则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为____________.

12.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下:一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，得分更多者获胜，则甲获得3分的概率为____________.

四、解答题13.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶;如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年的