2027届新高考数学热点精准复习向量法、几何法求空间距离

2027届新高考数学热点精准复习向量法、几何法求空间距离能用向量法、几何法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.课标要求

图1

图2

说明:线面距和面面距可转化成点面距求解.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(

)(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(

)(1)当平面α上三点在平面β的两侧时,α与β相交.(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线,该点与垂足之间的距离.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(

)(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(

)(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时,l与平面α相交.√×

4.(苏教选修二P52T8改编)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝1,BC＝2,AA1＝3,则异面直线AC与BC1之间的距离为____________.

如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,

例1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3,AD＝4,PA＝1,则点P到直线BD的距离为(

)A考点一向量法求点到直线的距离如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

感悟提升

训练1(2026·安阳模拟)如图,在三棱锥S－ABC中,SA,SB,SC两两垂直,SC＝3,SB＝2,SA＝1,D为线段SC上靠近C的三等分点,点E为△ABC的重心,则点E到直线BD的距离为(

)B根据题意,以S为坐标原点,以SB,SC,SA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

考点二向量法求点到平面的距离(1)证明:AB1⊥平面A1BD;由直三棱柱的性质可知AA1⊥AB,AA1⊥AC,四边形AA1B1B为平行四边形,因为AB＝AA1,所以四边形AA1B1B为正方形,所以AB1⊥A1B,因为AA1⊥AC,AB⊥AC,AA1∩AB＝A,AA1,AB⊂平面AA1B1B,所以AC⊥平面AA1B1B,又AB1⊂平面AA1B1B,所以AC⊥AB1,因为A1D∥AC,所以AB1⊥A1D,又因为A1B∩A1D＝A1,A1B,A1D⊂平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD.

由题易知AB,AC,AA1两两垂直,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

感悟提升利用向量求点面距的步骤:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.训练2(2026·盐城质检)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA＝AD＝3,F是棱PD的中点,E是棱DC上一点.(1)证明:AF⊥EF;在正方形ABCD中,有AD⊥CD,又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又AD∩AP＝A,AD,AP⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD,又PA＝AD,F是棱PD的中点,所以AF⊥PD,且平面PCD∩平面PAD＝PD,AF⊂平面PAD,所以AF⊥平面PCD,又EF⊂平面PCD,所以AF⊥EF.

例3(1)如图,在四棱锥P－ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB＝AB＝2BC＝4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为____________.

如图,取PA的中点M,连接BM,CM,考点三几何法求空间距离

因为PB⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,所以PB⊥BC,又因为AB⊥BC,PB∩AB＝B,PB,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA,因为M是PA的中点,PB＝AB,所以BM⊥PA,

感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离,然后利用直角三角形求解,或利用等面积法求解.2.求点面距时,若能够确定过点与平面垂直的直线,即作出这个距离,可根据条件求解,若不易作出点面距,可借助于等体积法求解.3.求线面距、面面距时,可转化为点面距.

取AB的中点M,CD的中点N,连接PM,PN,MN,如图.

连接B1D,B1D1,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,则DD1⊥A1C1,在正方形A1B1C1D1中,

有B1D1⊥A1C1,DD1,B1D1⊂平面DD1B1,DD1∩B1D1＝D1,所以A1C1⊥平面DD1B1,B1D⊂平面DD1B1,则有A1C1⊥B1D,同理有A1B⊥B1D,A1C1,A1B⊂

平面A1BC1,A1C1∩A1B＝A1,所以B1D⊥平面A1BC1,同理有B1D⊥平面AD1C,

1.如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CC1的中点.(1)求B1到直线D1E的距离;

(2)求B1到平面D1EF的距离.

2.如图,在三棱锥A－BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB＝AD,O为BD的中点,△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE＝2EA.(1)证明:OA⊥BC;因为AB＝AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以OA⊥BC.(2)当AO＝1时,求点E到直线BC的距离.取OD的中点F,连接CF,因为△OCD为正三角形,所以CF⊥OD,过点O作OM∥CF交BC于点M,则OM⊥OD,所以OM,OD,OA两两垂直,以点O为坐标原点,分别以OM,OD,OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,

3.(2026·肇庆模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,平面APC⊥平面PCD.(1)证明:CD⊥平面PAC;如图,在平面PAC内,过点A作AH⊥PC,交PC于点H.因为平面APC⊥平面PCD,平面APC∩平面PCD＝PC,AH⊂平面PAC,AH⊥PC,所以AH⊥平面PCD,又CD⊂平面PCD,所以AH⊥CD.因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AH＝A,PA,AH⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC.

法一如图,连接BD交AC于点O,连接OE.易知OE为△PBD的中位线,所以PB∥OE.因为PB⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,所以PB∥平面AEC,所以PB到平面AEC的距离,即为点B到平面AEC的距离.由(1)知CD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以CD⊥AC.

法二如图,连接BD交AC于点O