大学文科数学（5-8章共16章）360

第5章不定积分5.1不定积分的概念和性质5.2换元积分法5.3分部积分法

5.1不定积分的概念和性质

5.1.1原函数与不定积分的概念

定义5.1.1

如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即x∈I，都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)在区间I内的原函数.

定理5.1.1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x)，使x∈I，都有F′(x)=f(x).

也就是说，连续函数一定有原函数.

我们来看下面的例子:

(sinx)′=cosx

(sinx+2)′=cosx

(sinx+C)′=cosx(这里C是任意常数)从这个例子中可以看到，如果F(x)是f(x)的原函数，即F′(x)=f(x)，那么对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)的原函数.同时，如果F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，那么这两个原函数之间只相差一个常数，即

F(x)－G(x)=C

（C为任意常数）定义5.1.2在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为，即

其中，∫称做积分号，f(x)称做被积函数，x称做积分变量，f(x)dx称做被积表达式.例5.1.1求

解因为，所以例5.1.2求解因为

所以我们把函数f(x)的原函数F(x)的图形称为f(x)的积分曲线，如图5.1.1所示.显然，求不定积分得到原函数的全体，我们

称之为原函数族，这个原函数族的图形就是函数f(x)的积分曲线族.

另外，根据不定积分的定义，可知

，，图5.1.15.1.2基本积分表

下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表.(1)(2)(3)(k是常数)；(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)例5.1.4求解5.1.3不定积分的性质

不定积分具有以下性质:（k是常数，k≠0）.(1)(2)例5.1.5

求解例5.1.6

求解

例5.1.7

求解例5.1.8

求解

例5.1.9

求解例5.1.10已知一曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率为sec2x+sinx，且此曲线与y轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程.

解因为所以

又因为y(0)=5，所以C=6，故所求曲线方程为

y=tanx－cosx+65.2换元积分法

5.2.1第一类换元法

一般情况下，设F′(u)=f(u)，则

如果u=φ(x)可微，则根据复合函数微分法，有

dF［φ(x)］=f［φ(x)］φ′(x)dx

从而根据不定积分的定义可得由此可得换元积分法定理.定理5.2.1设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式这个公式叫做第一类换元公式，也叫凑微分法.

例5.2.1

求解方法一：方法二：方法三：

例5.2.2

求解因为，所以一般地，

例5.2.3

求解例5.2.4

求解

例5.2.5

求解

例5.2.6

求解

例5.2.7

求解

例5.2.8

求解因为，所以

例5.2.9

求解

例5.2.10

求解

例5.2.11

求解例5.2.12

求解因为所以

例5.2.13

求解方法一:方法二：类似地,可推出5.2.2第二类换元法

定理5.2.2

设x=ψ(t)是单调的、可导的函数，并且ψ′(t)≠0.又设f［ψ(t)］ψ′(t)具有原函数，则有换元公式其中,ψ(x)是x=ψ(t)的反函数.

例5.2.14

求解如图5.2.1所示，令x=a

tant,则dx=asec2tdt，于是图5.2.1

例5.2.15

求解如图5.2.2所示，令x=2sint，则dx=2cost

dt，，于是图5.2.2

例5.2.16

求解如图5.2.3所示，令x=asect，则dx=asect

tantdt，于是图5.2.3

例5.2.17

求解令

，xdx=tdt，于是

例5.2.18

求解令，，，于是

例5.2.19

求解令，于是

例5.2.20

求解令x=t6,则dx=6t5dt，于是我们在5.1.2节的基本积分表的基础上再补充一些积分公式：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)

5.3分部积分法

设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数,则

(uv)′=u′v+uv′

于是有

uv′=(uv)′－u′v

在这个等式的两端同时做不定积分，得到

从而有

例5.3.3

求解令u=arctanx，，于是

例5.3.5

求解令u=secx,sec2xdx=d(tanx)=dv,于是得

例5.3.6

求解因为所以例5.3.7

求解因为所以

例5.3.8

求解因为所以而故

例5.3.10

已知f(x)的一个原函数是e－x2，求解因为所以两边同时对x求导，得f(x)=－2xe－x2.故第6章定积分6.1定积分的概念和性质6.2微积分基本公式6.3定积分的换元积分法和分部积分6.4定积分的应用

6.1定积分的概念和性质

6.1.1问题的提出

例6.1.1

求曲边梯形的面积.

曲边梯形指的是由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成的一个封闭区域,如图6.1.1所示.

图6.1.1矩形的高是不变的，它的面积可按公式

矩形面积=高×底

来定义和计算.而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间

［a,b］上是处处变化的，所以它的面积不能直接按上述公式来定义和计算.由于函数f(x)在区间［a,b］上是连续变化的，当自变量x发生一个很小的变化时，函数值的变化也是非常小的.也就是说,当我们在区间［a,b］上取一个很小的变化区间［x,

x+Δx］时，相应的小区间上函数值f(x)可以看成是一个常数.当我们将区间［a,b］进行无限细分的时候，小矩形的面积就越来越近似于小曲边梯形的面积，那么所有小矩形的面积之和就逼近了整个曲边梯形的面积，最终达到了曲边梯形面积的精确值.这个思想方法也给出了求曲边梯形面积的方法(如图6.1.2所示).图6.1.2

例6.1.2

求变速直线运动的路程.

设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔

［T1,T2］上t的连续函数，且

v(t)≥0，求物体在这段时间

内所经过的路程s.

我们知道，对于匀速直线运动，有公式：

路程=速度×时间具体计算步骤如下：

(1)分割：在［T1,T2］中插入n－1个分点T1=t0<t1<t2<…

<tn－1<tn=T2，每个时间间隔为Δti=ti－ti－1，每个时间间隔上的路程为Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)；

(2)求所有小间隔上的路程之和；

(3)令λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，对路程之和取极限，则可得到路程的精确值6.1.2定积分的定义

定义6.1.1设函数f(x)在［a,b］上有界，在［a,b］中任意插入若干个分点

a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b

把区间［a,b］分成n个小区间

［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］

各个小区间的长度依次为

Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1在各个小区间［xi－1,xi］上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi),作乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并作和只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记为6.1.3存在定理

定理6.1.1

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则f(x)在区间［a,b］上可积.

定理6.1.2

设函数f(x)在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间［a,b］上可积.

例6.1.3

利用定义计算定积分解将［0,1］区间n等分，取ξi=xi(i=1,2,…,n)，则当λ→0即n→∞时，取上式右端的极限.由定积分的定义，即得所要计算的积分为例6.1.4

利用定义计算定积分解取ξi=qi－1（i=1,2,…,n），则取qn=2即，则

因为所以故6.1.4定积分的几何意义

当f(x)<0时，而当f(x)在区间［a,b］上有正有负的时候，定积分则表示各部分面积的代数和(见图6.1.3)，即图6.1.36.1.5定积分的性质

性质6.1.1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即证

性质6.1.2

被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

(k为常数)证

性质6.1.3

如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b，则

性质6.1.4

如果在区间［a,b］上f(x)≡1,则=b－a显然，这个性质表示的是底边为［a,b］、高为1的矩形的面积.

性质6.1.5

如果在区间［a,b］上f(x)≥0，则

(a<b)推论6.1.1

如果在区间［a,b］上,f(x)≤g(x)，则

推论6.1.2

性质6.1.6

设M及m分别是函数f(x)在区间［a,b］上的最大值及最小值，则性质6.1.5以及它的两个推论和性质6.1.6(见图6.1.4)都叫做定积分的不等式性质.根据这些性质我们可以对定积分进行大小比较，估计范围等计算.图6.1.4性质6.1.7（定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则在积分区间［a,b］上至少存在一个点ξ，使

=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b)

证因为所以由闭区间上连续函数的介值定理知：在区间［a,b］上至少存在一个点ξ，使得即=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b)积分中值公式指的是在区间［a,b］上至少存在一个点ξ，使得以区间［a,b］为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ)的一个矩形的面积，如图6.1.5所示.图6.1.56.2微积分基本公式

6.2.1问题的提出

假设某物体做直线运动，已知速v=v(t)是时间间隔

［T1,T2］上t的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时

间内所经过的路程.假设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔

［T1,T2］上t的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时

间内所经过的路程.由6.1节可知，变速直线运动中的路程可以表示为；另一方面如果用s(t)表示这个时间段上的路程函数，那么这段路程又可以表示为s(T2)－s(T1).而我们从第4章中可以得到，s′(t)=v(t).6.2.2积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，并且设x为［a,b］上的一点.考察定积分

首先，由于f(x)在［a,x］上仍旧连续，因此这个定积分存在.这时，x既表示定积分的上限，又表示积分变量.因为定积分与积分变量无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t表示，则上面的积分可写成

如果上限x在区间［a,b］上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在［a,b］上定义了一个函数，记

为f(x)的积分上限函数.

Φ(x)的几何意义是右侧直线可以随意移动的曲边梯形的面积,如图6.2.1所示.对于不同的x，会产生一个不同的面积值.

对于积分上限函数，其可导性由如下定理予以说明.图6.2.1定理6.2.1如果f(x)在［a,b］上连续，则积分上限函数在［a,b］上具有导数，且它的导数是(a≤x≤b)证这里要求Φ(x)的导数，我们就按照导数的定义来求解.

Φ(x)在x+Δx处的函数值为由此得函数的增量由积分中值定理得把上式两端各除以Δx，得函数增量与自变量增量的比值当Δx→0时，即ξ→x，所以故Φ′(x)=f(x).定理6.2.2

如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导，则的导数F′(x)为证因为所以

定理6.2.3（原函数存在定理）如果函数f(x)在［a,b］上连续，则积分上限函数

就是f(x)在［a,b］上的一个原函数.6.2.3牛顿-莱布尼茨公式

定理6.2.4（微积分基本公式）如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的一个原函数，则已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，又根据定理6.2.3知，积分上限函数也是f(x)的一个原函数.于是F(x)与Φ(x)只相差一个常数，即

F(x)－Φ(x)=C,x∈［a,b］在上式中令x=a,得F(a)－Φ(a)=C.因为得F(a)=C.因为所以在上式中令x=b，得于是可得

例6.2.8

计算

解因为所以

例6.2.9

如图6.2.2所示，设

图6.2.2求解已知在［1,2］上规定当x=1时，f(x)=5,所以

例6.2.10

求解如图6.2.3所示,由图形可知所以图6.2.3例6.2.11如图6.2.4所示，计算曲线y=sinx在［0,π］上与x轴所围成的平面图形的面积.

解面积图6.2.46.3定积分的换元积分法和分部积分法

6.3.1定积分的换元积分法

定理6.3.1假设

(1)

f(x)在［a,b］上连续；

(2)

函数x=φ(t)在［α,β］上是单值的且有连续导数；(3)

当t在区间［α,β］上变化时，x=φ(t)的值在［a,b］上变化，且φ(α)=a、φ(β)=b，则有应用换元公式时应注意:

(1)当α>β时，换元公式仍成立.

(2)用x=φ(t)把原变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限.

(3)求出f［φ(t)］φ′(t)的一个原函数Φ(t)后，不必像计算不定积分那样再把Φ(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ(t)中然后相减就行了.

例6.3.2

计算解因为所以

例6.3.3

计算解

例6.3.4

计算解令x=asint，则dx=acostdt.当x=a时，t=π／2;当x=0时，t=0.所以

例6.3.5

计算6.3.2定积分的分部积分法

设函数u(x)、v(x）在区间［a,b］上具有连续导数u′(x)、v′(x)，则有

(uv)′=u′v+uv′

分别求这等式两端在［a,b］上的定积分，并注意到便得移项就有或简写为

例6.3.7

计算解因为1+cos2x=2cos2x，所以

例6.3.8

计算解*6.3.3无穷限的广义积分

定义6.3.1

设函数f(x)在区间［a,+∞)上连续，取b>a，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间［a,+∞)上的广义积分，记做,

例6.3.10

计算广义积分解

例6.3.11

计算广义积分解

6.4定积分的应用

6.4.1微元法

曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成(见图6.4.1),则这个曲边梯形的面积为

图6.4.1如果我们用ΔA表示任一小区间［x,x+dx］上的窄曲边梯形的面积(见图6.4.2)，则整个曲边梯形的面积，并取ΔA≈f(x)dx，于是.那么整个面积就可以表示为图6.4.2（1）U是与一个变量x的变化区间［a,b］有关的量；

（2）U对于区间［a,b］具有可加性，就是说，如果把区间［a,b］分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量ΔUi的近似值可表示为f(ξi)Δxi,就可以考虑用定积分来表达这个量U.对于直角坐标系下的平面图形(见图6.4.3)，我们可以将曲边梯形的面积直接表示为曲边的函数的定积分,即曲边梯形的面图6.4.3另外，当曲边梯形由上、下两条曲线构成时(见图6.4.4)，可以利用上、下两条曲线的函数之差，构成微元，进行积分即可，即曲边梯形的面积图6.4.4例6.4.1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的

面积.

解如图6.4.5所示，两曲线的交点为(0,0)，(1,1)，选

x为积分变量,x∈［0,1］，面积元素，则图6.4.5

例6.4.2

计算由曲线y=x3－6x和y=x2所围成的图形的面积.

解如图6.4.6所示，先求出两曲线的交点.解方程组得交点(0,0)，(－2,4)，(3,9).选x为积分变量，x∈［－2,3］,则当x∈［－2,0］时，

dA1=(x3－6x－x2)dx

当x∈［0,3］时，

dA2=(x2－x3+6x)dx

于是所求面积A=A1+A2,即图6.4.6例6.4.3计算由曲线y2=2x和直线y=x－4所围成的图形的面积.

解如图6.4.7所示，先求出两曲线的交点.解方程组得交点(2,－2)和(8,4).选y为积分变量,y∈［－2,4］，则于是所求面积图6.4.76.4.3旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．如图6.4.8所示，圆柱、圆锥、圆台可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三

角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰旋转一周而成的立体.图6.4.8一般地，如果旋转体(见图6.4.9)是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，那么这个旋转体的体积为多少？图6.4.9取积分变量为x，x∈［a,b］，在［a,b］上任取小区间［x,

x+dx］，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，即dV=π［f(x)］2dx,则旋转体的体积为

例6.4.4

连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及

x轴围成一个直角三角形(见图6.4.10)．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．图6.4.10解

OP的直线方程为

.取积分变量为x,

x∈［0,h］.在［a,b］上任取小区间［x,x+dx］，以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为则圆锥体的体积

例6.4.5

求星形线(a>0)绕x轴旋转而成的旋转体的体积.解如图6.4.11所示，因为所以图6.4.11类似地，如果旋转体(见图6.4.12)是由连续曲线x=φ(y)、直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，则体积为图6.4.12

例6.4.6

求摆线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)的一拱与y=0

所围成的图形分别绕x轴、

y轴旋转而成的旋转体的体积.

解绕x轴旋转而成的旋转体的体积为绕y轴旋转而成的旋转体的体积可看成平面图形OABC与OBC(见图6.4.13)分别绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.

因此所求的体积为图6.4.13第7章行列式7.1行列式的定义7.2行列式的性质与计算7.3克莱姆法则

7.1行列式的定义

7.1.1二阶行列式

定义7.1.1

由4个元素aij(i=1,2;j=1,2)排成两行两列，并定义式称为二阶行列式.定义7.1.1中，数a11、a12、a21、a22称为行列式的元素，横排称为行，竖排称为列.元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列.由定义7.1.1可知:

（1）二阶行列式是一些项的代数和，每一项都是两个元素的乘积，这两个元素位于不同的行、不同的列.（2）二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和，这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”.如图7.1.1所示，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚连线称为副对角线.于是，二阶行列式便等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积.图7.1.1例7.1.1

计算行列式解设有二元线性方程组(7.1.1a)(7.1.1b)将式（7.1.1a）乘以a22与式（7.1.1b）乘以a12相减，得(7.1.2)将式（7.1.1b）乘以a11与式（7.1.1a）乘以a21相减，得(7.1.3)利用二阶行列式的定义，记则式（7.1.2）、式（7.1.3）可改写为Dx1=D1，Dx2=D2.

例7.1.2

解方程组解因D≠0，故题设方程组有唯一解，即7.1.2三阶行列式

定义7.1.2

由9个元素aij(i=1,2,3;j=1,2,3)排成三行三列，并定义式称为三阶行列式.由定义7.1.2不难发现，三阶行列式共有六项，每一项均为来自不同行、不同列的三个元素的乘积.为便于记忆，给出图7.1.2所示的方法.此方法称为对角线法则（显然，二阶行列式也适用该对角线法则）.图7.1.2中实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.图7.1.2

例7.1.3

计算三阶行列式解按对角线法则，有

例7.1.4

求解方程解方程左端的三阶行列式由x2－5x+6=0解得x=2或x=3.由定义7.1.2可知：

(1)三阶行列式的每项都是不同行、不同列的三个元素的乘积.

(2)三阶行列式还可以写成（7.1.4）（3）在式（7.1.4）中，a11、a12、a13后面的二阶行列式是从原三阶行列式中分别划去元素a11、a12、a13所在的行与列后剩下的元素按原来顺序所组成的，分别称其为元素a11、a12、a13的余子式，记为M11、M12、M13，即于是，式（7.1.4）也可以表示为（7.1.5）例如中第一行元素的余子式分别为对应的代数余子式分别为

所以

注意根据上述推导过程，读者也可以得到三阶行列式按其他行或列展开的展开式.例如，三阶行列式按第二列展开的展开式为(7.1.6)类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组记

例7.1.5

解三元线性方程组解注意到系数行列式同理，可得故所求方程组的解为7.1.3n阶行列式

定义7.1.3

由n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号称为n阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列.一般记做Dn=det(aij),它表示一个由确定的递推运算关系所得到的数：当n=1时，规定D1=|a11|=a11；当n=2时,当n>2时，（7.1.7）例如四阶行列式中第一行元素的余子式分别为对应的代数余子式分别为

例7.1.6

计算行列式解由行列式的定义，有

例7.1.7

计算行列式解由行列式的定义，有

例7.1.8

计算行列式解因为第三列中有三个零元素，可按第三列展开，得对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得7.1.4几个常用的特殊行列式形如与的行列式分别称为下三角行列式与上三角行列式，其特点是主对角线以上（下）的元素全为零.根据n阶行列式的定义，每次均通过按第一行展开的方法来降低行列式的阶数，而每次第一行都仅有第一项不为零，故有对上三角行列式，可每次通过按最后一行展开的方法来降低行列式的阶数，而每次最后一行都仅有最后一项不为零，同样可得特别地，非主对角线上元素全为零的行列式称为对角行列式，易知

7.2行列式的性质与计算

7.2.1行列式的性质

记行列式DT称为行列式D的转置行列式.性质7.2.1行列式与它的转置行列式相等，即DT=D.

例如

它的转置行列式

性质7.2.2

互换行列式的两行（列），行列式变号.

符号说明：表示行列式中第i行与第j行互换

（

表示交换行列式中i，j两列）.

例如推论7.2.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.

证把这两行互换，有D=－D，故D=0.

例如

性质7.2.3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即第i行（列）乘以k，记做ri×k（或ci×k）.例如,若,则又

推论7.2.2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面.

第i行（列）提出公因子k，记做ri÷k（或ci÷k）.

推论7.2.3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.

例如(因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍)

性质7.2.4

若行列式的某一行（列）的元素都是两元素之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.

设则D等于下列两个行列式之和：

性质7.2.5

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.

例如，以数k乘第j行加到第i行上，则有

由性质7.2.4及性质7.2.3和推论7.2.3有例如（表示第一行乘以－1后加到第二行上,其值不变）(表示第一列乘以1后加到第三列上,其值不变)

性质7.2.6

行列式D的某一行（列）元素与另一行（列）的代数余子式的乘积之和等于零，即（7.2.1）（7.2.２）例如,行列式第一行的元素与第三行元素的代数余子式的乘积为零,即推论7.2.4n阶行列式D=det(aij)，则有或7.2.2行列式的计算

例7.2.1

设求解利用行列式的性质，有

例7.2.2

计算解

例7.2.3

计算解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6.现把二、三、四行同时加到第一行，提出公因子6，然后各行减去第一行，即得=48注意仿照上述方法可得到更一般的结果，即

例7.2.4

计算解根据行列式的特点，可将第一列加至第二列，然后将第二列加至第三列，再将第三列加至第四列，目的是使D4中的零元素增多.=4a1a2a3注意（1）上述各例中都用到把几个运算写在一起的省略写法，这里要 注意各个运算的次序一般不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故.可见,当两次运算次序不同时所得的结果不同.

例7.2.5

计算解从第四行开始，后一行减前一行：

例7.2.6

计算行列式解

例7.2.7

计算行列式解

7.3克莱姆法则

引例7.3.1

对三元线性方程组在其系数行列式D≠0的条件下，已知它有唯一解：其中

形如(7.3.1)的方程组称做n元线性方程组.当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组；当b1,b2,…,bn全为零时，该线性方程组称为齐次线性方程组.7.3.1非齐次线性方程组

定理7.3.1(克莱姆法则)如果线性方程组(7.3.1)的系数行列式不等于零，即则线性方程组(7.3.1)有唯一解，其解为(7.3.2)其中,Dj(j=1,2,…,n)是将系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

例7.3.1

用克莱姆法则求解线性方程组解由克莱姆法则,可得

例7.3.2

设曲线y=a0+a1x+a2x2+a3x3通过四点(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,－3),求系数a0、a1、

a2、

a3.

解把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组其系数行列式而类似地,计算可得故由克莱姆法则,得唯一解即曲线方程为例7.3.3大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律.为了身体的健康就需

制定营养改善计划，大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，表7.3.1给出了这三种食物提供的营养以及大学生正常所需的营养（它们的质量以适当的单位计量）.试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物的量.解设x1、

x2、

x3分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：由克莱姆法则可得则从而我们每天摄入0.277个单位的食物一、0.392个单位的食物二、0.233个单位的食物三就可以保证我们的健康饮食了.7.3.2齐次线性方程组

对于齐次线性方程组

(7.3.3)x1=x2=…xn=0一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的零解.

例7.3.4

λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？解由定理7.3.3可知，若该齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，而由D=0，得λ=2、λ=5或λ=8.

例7.3.5

设方程组试问a、b、c满足什么条件时,方程组有唯一解？并求出该唯一解.解显然,当a、b、c互不相等时,D≠0,该方程组有唯一解.又同理可得D2=bD,D3=cD.于是注意克莱姆法则的意义主要在于它给出了方程组的解与系数的关系，这一点在以后许多问题的讨论中是很重要的，但是用此方法解方程组不太方便，因为计算量很大，以后章节中还会介绍其他更简便的方法.第8章矩阵及其运算8.1矩阵的概念8.2矩阵的运算

8.3可逆矩阵

8.4矩阵的初等变换8.5矩阵的秩

8.1矩阵的概念

8.1.1矩阵的定义

例8.1.1

设有线性方程组

未知量前面的系数及常数项构成一个矩形表，即

例8.1.2

某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（万元）见表8.1.1.

定义8.1.1

由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)按一定次序排列成的m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，或m×n矩阵，简称矩阵.这m×n个数aij称为矩阵A的元素，简称为元.数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元.

定义8.1.2

两个矩阵的行数相等,列数也相等时,则称它们是同型矩阵.

定义8.1.3

如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称矩阵A与矩阵B相等,记做A=B.

8.1.2几种特殊矩阵

1.行矩阵和列矩阵

当m=1时,

A=(a11,a12,…,a1n)

称做行矩阵(在第9章中也称做行向量).

当n=1时,

2.零矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵,记做0.注意不同型的零矩阵是不同的.如是不同的零矩阵.

3.方阵

m=n的矩阵称为方阵(又称n阶方阵),记做A.

4.三角矩阵

如果n阶方阵A=(aij)中的元素满足条件

aij=0(i>j;i,j=1,2,…,n)

即A的主对角线以下的元素都为零,则称A为上三角矩阵.类似地,当i<j时,

aij=0,称为下三角矩阵.如分别为n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵.

5.对角矩阵

主对角线以外的所有元素都为0的方阵称为对角矩阵.

6.单位矩阵

主对角线上的元素都为1的对角矩阵称为n阶单位矩阵,记做En或E.

7.对称矩阵

设A为n阶方阵,如果满足

aij=aji(i,j=1,2,…,n)

则称A为对称矩阵.

对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.例如均为对称矩阵.

8.反对称矩阵

设A为n阶方阵,如果满足

aij=－aji(i,j=1,2,…,n)

则称A为反对称矩阵.显然反对称矩阵的主对角线上的元素都是零.例如

都为反对称矩阵.

例8.1.3

四个城市间单向航线如图8.1.1所示.若令则图8.1.1可用矩阵表示为图8.1.18.2矩阵的运算

8.2.1矩阵的加法与减法

定义8.2.1

设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A与B的和记做A+B,并规定由定义,不难证明矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C、0都是m×n矩阵):

(1)交换律：A+B=B+A；

(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)A+0=A；

(4)A+(－A)=0.

例8.2.1

设解8.2.2数与矩阵相乘

定义8.2.2

设矩阵A=(aij)m×n,λ为任意实数,则数λ与矩阵A的乘积(λaij)记做λA或Aλ,并规定

例8.2.2

已知求A－2B.解

例8.2.3

已知且A+2X=B,求X.解=8.2.3矩阵的乘法

设有两个线性运算,即由变量x1、x2、x3到变量y1、y2的

一个线性运算,以及由变量t1、t2到变量x1、x2、x3的一个线

性运算,分别为(8.2.1)(8.2.2)若想求出从t1、t2到y1、y2的线性变换,可将式(8.2.2)代入式(8.2.1),便得(8.2.3)我们把线性变换(8.2.3)叫做线性运算式(8.2.1)与式(8.2.2)

的乘积,相应地把式(8.2.3)所对应的矩阵定义为式(8.2.1)与式(8.2.2)所对应的矩阵的乘积,即定义8.2.3设有矩阵A=(aij)m×l和B=(bij)l×n，则矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积,记做C=AB,其中C=(cij)m×n满足(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

(8.2.4)由定义8.2.3不难发现:

(1)只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数和第二个矩阵(右矩阵)的行数相等时,两矩阵才能相乘;

(2)C中第i行第j列的元素cij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积的和;

(3)一个行矩阵与一个列矩阵的乘积为一个数,例如

则

(4)EmAm×n=Am×nEn=Am×n,其中E为单位矩阵,这说明单位矩阵和矩阵的乘法运算中的作用与数“1”在数的乘法中的作用类似.

例8.2.4

设求AB.解

例8.2.5

求矩阵的乘积AB与BA.解由定义,可得

定义8.2.4

设A是n阶方阵,k为正整数,则称

Ak=A·A

…

A

为A的k次幂.

规定A0=E,由于矩阵乘法适合结合律,但不满足交换律,因

此有

(1)

AkAl=Ak+l;

(2)(Ak)l=Akl;

(3)通常情况下,(AB)k≠AkBk.8.2.4矩阵的转置

定义8.2.5

已知m×n矩阵A=(aij)m×n,将A的行列依次互换,得到一个n×m矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记做AT或A′,即

例8.2.6

已知求（AB)T.解解法一:因为所以解法二:

例8.2.7

设A与B是两个n阶反对称矩阵,证明:当且仅当

AB=－BA时,AB是反对称矩阵.

证因为A与B是反对称矩阵,所以

A＝－AT,

B=－BT

若AB=－BA,则

(AB)T=BTAT=BA=－AB

所以AB是反对称矩阵.反之,若AB是反对称矩阵,即

(AB)T=－AB

则

AB=－(AB)T=－BTAT=－(－B)(－A)=－BA

证毕.8.2.5方阵的行列式

定义8.2.6

由n阶方阵A的元素所构成的n阶行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记做|A|或detA,即(8.2.5)8.3可逆矩阵

定义8.3.1

设A为n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B，使

AB=BA=E

则称矩阵A是可逆的，并称矩阵B为A的逆矩阵（或逆阵）.

例8.3.1

设验证B是否为A的逆矩阵.解因为即有AB=BA=E，所以B是A的逆矩阵.

例8.3.2

设判断A是否可逆，如果A可逆，求A－1.解设，且从而

定义8.3.2

若n阶方阵A的行列式|A|≠0,则称A是非奇异矩阵（或非退化矩阵），否则称A为奇异矩阵（或退化矩阵）.如果A可逆，则存在B使得AB=BA=E，则|A||B|=1，所以|A|≠0，即A是非奇异矩阵.那么，如果A是非奇异矩阵，即|A|≠0，A是否可逆呢？为了研究这个问题，我们先引进伴随矩阵的概念.

定义8.3.3

设n阶方阵A=(aij)m×n，行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵（8.3.1）称为矩阵A的伴随矩阵，记做A*.证由性质7.2.6及推论7.2.4可得即即（8.3.2）（8.3.3）定理8.3.1

n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A｜≠0,

即A是非奇异矩阵,且当A可逆时(8.3.4)推论8.3.1

设A、B都是n阶方阵,若AB=E(或BA=E),则A、B都是可逆矩阵,且A－1=B,B－1=A.

例8.3.5

如果其中ai≠0(i=1,2,…,n).验证

证因为所以

例8.3.6

判断矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵A－1.解求得所以A可逆.又因为得所以由例8.3.6可以看出，对于三阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求其逆矩阵的计算量已经很大了，所以有必要研究求逆矩阵的其他方法（我们将在8.4节进行介绍）.8.4矩阵的初等变换

定义8.4.1

设矩阵A=(aij)m×n,下面三种对矩阵A的变换:

(1)交换A的i,j行(列),记做(

);

(2)用一个非零常数k乘以A的第i行(列),记做kri(kci);

(3)将A的第j行(列)的k倍加到第i行(列),k为任意常数,记做ri+krj(ci+kcj),称为矩阵的初等行(列)变换.一般地,矩阵的初

等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换.定义8.4.2

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,

则称矩阵A与B等价,记为A~B(或A→B).

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:

(1)反身性:A~A;

(2)对称性:若A~B,则B~A;

(3)传递性:若A~B,B~C,则A~C.

例8.4.1

已知矩阵对其进行初等变换.解

定义8.4.3

一般地,称满足下列条件的矩阵为行阶梯形

矩阵:

(1)矩阵的零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;

(2)各非零行的首非零元素(从左至右的第一个不为零的元素)均在上一非零行的首元素的右侧.对例8.4.1中的矩阵再做初等行变换:称这种特殊形状的阶梯形矩阵C为行最简形矩阵.

定义8.4.4

一般地,称满足下列条件的矩阵为行最简形

矩阵:

(1)各非零行的首非零元都是1;

(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.

如果对上述矩阵再施以初等列变换,则可以将矩阵C简化成下面的矩阵:矩阵D的左上角是一个单位矩阵,其他元素为零,称为标准形.

定义8.4.5

对单位矩阵E实施一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵.

对应于三种初等变换,可以得到以下三种初等矩阵.

(1)交换n阶单位矩阵E的第i,j行,得到的初等矩阵记做

E(i,j),即(8.4.1)

(2)