北工大材料力学课件第7章 弯曲应力

1第七章弯曲应力

Bendingstresses

赠言

前事之不忘，后事之师。

《战国策·赵策》

欲穷千里目，更上一层楼。王之涣《登鹳雀楼》2上一章学习了弯曲内力——弯矩、剪力（计算内力、画内力图）目的：为解决弯曲强度“铺路”

地球上的人造结构，弯曲现象最常见，太重要了！

如何解决弯曲强度问题？3

为此，请回顾一下以往的强度问题拉压、扭转——由应力算强度（已清楚）

弯曲——应力（不了解）如何求出弯曲应力？子曰：“温故而知新，可以为师矣。”

《论语.为政篇第二》4弯曲弯矩M剪力Q？拉（压）轴力N应力内力变形形式构件扭转扭矩T5通过温故，启迪了知新的思路——

应力从内力出发亦即

由弯曲内力求弯曲应力弯曲问题的整个分析过程：弯曲内力

弯曲应力

弯曲变形强度问题刚度问题6本章主要内容7.1弯曲正应力7.2弯曲正应力强度条件7.3弯曲切应力及强度条件7.4弯曲中心7.5提高弯曲强度的一些措施

这一堂课先效仿前人，探求出来弯曲正应力公式，然后解决弯曲正应力强度问题7知道公式会用，不知推导，行不行？不行。为了由温故——知新，到温故——创新；因此要做到第一个层次：

把前人的推导作为创新的案例，予以特别重视，去体会如何提出和解决问题。第二个层次：

置身历史当中，想象自己如同前人那样去研究，

学会由无到有地去发现知识。于是，创新能力的培养得以落实，你将来会解决新问题！87.1弯曲正应力NormalstressinbendingbeamQM梁段横截面上内力切应力和正应力的分布函数不知道，2个方程确定不了切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数，实质是超静定问题

解决之前，先简化受力状态——理想模型方法横截面上正应力横截面上切应力

yz

9横力弯曲与纯弯曲横力弯曲——

剪力Q不为零（Bendingbytransverseforce）

例如AC,DB段纯弯曲——

剪力Q＝0且弯矩为常数（Purebending）

例如CD段10

以纯弯曲梁为对象研究横截面上的正应力分布规律1、静力平衡（不足）2、变形几何（补充）3、本构关系（沟通）

研究思路：温故——创新回忆拉压杆、圆轴扭转问题的研究11梁横截面上的静力平衡方程yzMzMydA正应力分布不清楚——正应力无穷个未知数3个方程解不出来静力不足变形补

——下面研究梁变形几何关系

12研究对象：等截面直梁研究方法：实验——观察——假定变形几何关系的建立13实验观察——梁表面变形特征以上是外部的情况，内部如何？想象——

梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度透明的梁就好了，我们用计算机模拟透明的梁横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短1415

总之，由外部去想象内部——得到

梁弯曲假设：横截面保持为平面——

变形后，仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度纵向各水平面间无挤压——

均为单向拉、压状态1617

弯曲中梁的中性层neutralsurface——既不伸长又不缩短的纵面

截面的中性轴neutralaxis——中性层与横截面的交线18yzx直线段aa

变为曲线弧长为：线应变为纯弯中，纵向线应变沿截面高度线性分布为曲率半径radiusofcurvature为曲率

curvature19纯弯中，纵向线应变为：这是变形几何方程——对静力平衡方程的补充可是二者表达的变量并不相同，怎么办？

还是拉压、扭转给我们启迪：用本构关系

沟通静力平衡

方程和变形几何

方程

即采用郑玄（127-200）-胡克（R.

Hooke，1635-1702）定律20本构关系的运用梁截面上正应力1、沿y轴线性分布2、与z坐标无关3、与x坐标呢？（课后思考）zy什么地方最大，什么地方最小？为了从这个梁横截面（crosssection）应变分布得到正应力分布规律，启用本构关系21体现了本构与变形代入静力方程中

yzMzMydA

纯弯曲梁正应力公式的得到

22类似扭转切应力公式实验力学验证、弹性力学印证了公式的精确性非常成功！23注意——对弯曲应力线性分布的认识，得之不易伽利略（G.Galiieo,1564-1642）的研究中认为：弯曲应力是均匀分布的

（《两门新科学的对话》1638年出版）

因而得不到正确的公式大科学家有时也弄错24正应力计算公式适用范围横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度l与高度h之比大于5（即为细长梁）时弹性力学指出：上述公式近似成立截面惯性积Iyz

=0推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面25

方法总结（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2）“实验—观察—假设”法：梁弯曲假设（横、纵面）（3）白箱法（“层层剥笋”法）：外力内力平衡（力学）本构（物理）变形（几何）（4）超静定解法微分单元体积分应力合成内力横力弯曲应力（5）数学方法（多学科综合法）267.2弯曲正应力强度条件Strengthcriterionofnormalstressinbending称为截面抗弯模量，单位：m3,mm327强度条件宽b、高h的矩形直径为d的圆截面脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：轧制型钢（工字钢、槽钢等）的WZ从型钢表中查得28弯曲应力例题例1简支梁求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy3029Mx+M1Mmax2求应力解：1画M图求有关弯矩12120180zy30q=60kN/mAB1m2m11303求曲率半径31例2外伸梁T形梁截面，用铸铁制成，校核梁的强度。Cy2y12mq=10kN/mADBEP＝20kN2m2m32解：（1）梁的内力分析，找出危险截面q=10kN/mADBEP＝20kN5kN35kNADBE10kN*m20kN*m(-)(+)包含反力的全部外载荷画弯矩图：可省去制表危险截面：B,D？33（2）找出危险截面上的危险点危险点：a,b,dCy2y1ADBE10kN*m20kN*m(-)(+)B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力34（3）计算危险点应力校核强度最大压应力：最大拉应力：梁的强度符合要求B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力35习题：7.5;7.9;7.11;7.1636思考题1、弯矩和剪力分别由什么应力组成?2、研究梁的正应力的基本思路是什么？

3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心。4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么？376、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。8、由直径为D的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的

强度最大的高宽比。5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围

可否推广到一般梁？38正应力公式仍然适用假定切应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式不再用变形、物理和静力关系进行推导7.3弯曲切应力及其强度条件纯弯曲（M＝const.,Q=0)

——只有正应力，无切应力横力弯曲(M,Q均不为零）——一般情况，有正应力和切应力研究方法研究对象矩形梁截面工字形梁截面圆形梁截面其它形状39矩形梁截面上的切应力假定：截面上各点切应力方向与Q方向一致切应力研截面宽度方向均匀分布。弹性力学指出：对于h>b的矩形截面上述假定足够准确剩下的问题是：沿高度方向切应力如何分布？40矩形梁截面上的切应力取微梁段dx，左截面

mm，右截面nn

应力分布如图切应力沿截面高度分布未知，沿截面宽度方向均匀分布mnmnzycaaa1yb右截面从微梁段上再取下面一段41N1,N2：正应力在左右两截面上的合力N1caa1mnc1m1N2dxb静力平衡方程：mnmnzycaaa1yb右截面42计算N1,N2mnmnzycaaa1yb右截面43矩形梁截面上的切应力分布zyaa1yb右截面A*h44矩形梁截面上的切应力分布

讨论1、沿高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大3、梁上下表面处切应力为零45工字形梁截面上的切应力分布腹板为矩形截面时yzBHhbtyA*腹板翼板46工字形梁腹板上的切应力分布BhH

讨论1、沿腹板高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大3、腹板上下边处切应力最小47工字形梁腹板上的切应力分布

讨论4、当B=10b,H=20b,t=2b时

max/

min=1.18,大致均匀分布5、腹板上能承担多少剪力？积分得——总剪力的95％～97％近似计算公式：yzBHhbt48工字形梁翼板上的切应力分布沿剪力Q

方向的切应力分量沿翼板宽度方向

切应力分量z翼板上两种方向的切应力与腹板上切应力相比较小，工程上一般不考虑z49圆形梁截面上的切应力分布实心圆截面：最大切应力在中性轴上空心圆环：最大切应力在中性轴上z50小论文——推导一种截面的切应力公式实心圆截面空心圆环z沿翼板宽度方向z51弯曲切应力的强度条件通常，全梁最大切应力发生在剪力最大的梁截面的中性轴上一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下列情况下，也校核切应力强度：1、梁跨度较小，或支座附近有较大载荷2、T形、工字形等薄壁截面梁3、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶合面等进行剪切强度计算52习题：7.20;7.28;7.34;7.3653或Shearingcenterofthin-walledbeams非对称截面弯曲特点：尽管外力作用在形心上，截面弯曲同时产生扭转7.3弯曲中心Bendingcenter54弯曲中心Pxeyz向C点化简主矢Q主矩M=Q1h+Qe’h弯曲切应力流Ce’Q1QQ2C主矢Q主矩M主矢Q主矩M=Q1h－Qe＝0向A点化简AeQ1Q2Q55弯心作用：外力作用在弯心上，杆件只弯不扭弯心(剪心)定义：梁横截面上弯曲切应力合力作用点非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心56如何确定弯曲中心的位置弯曲中心位置与外力大小和材料的性质无关，是截面图形的几何性质之一弯心处，主矩M=Q1h－Qe＝057根据切应力流确定弯心位置

思考题图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？587.5提高弯曲强度的措施——

从认识到改造世界（人造世界：构件和结构）目标：1、成本最低+满足强度2、强度最高+有限成本途径：

1.降低Mmax

支座的安排载荷的布置更合理2.增大Wz

同样面积——选Wz

大的截面

截面放置——使Wz

大的放置纵向——物体的形状或结构选取59提高弯曲强度的措施之一——局部考虑

1.截面的放置与2.同样面积下W最大〉〉〉〉〉为什么？60常见梁截面的W