浙江嘉兴市桐乡市高三下学期教学测试数学试题

届高三教学测试数学试题卷本试题卷共4页，满分分，考试时间分钟.考生注意：题纸上规定的位置.卷上的作答一律无效.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由题意，得，则，，所以.2.已知平面向量满足，与的夹角为，则（A.7B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.【详解】因为.故选：B.3.数列满足，则（）第1页/共22页

A.8B.4C.2D.1【答案】B【解析】【分析】结合递推公式依次计算即可.【详解】，，.4.某款新能源汽车2025年产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（）（）A.B.15%C.30%D.60%【答案】B【解析】【分析】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意列出方程，然后根据对数的运算计算即可.【详解】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意可得，化简得，方程两边取对数得，又，所以.故所以，即2025～2030年的年平均增长率大约为.5.若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（）A.B.3C.2D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解.【详解】函数，第2页/共22页

由得，是函数图象的一条对称轴，则，，解得，；当时，，由函数在有唯一零点，得，解得，所以当时，取得最大值．6.已知正实数a，b满足，则为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，分别求出这两个函数值域，可知有且仅有一种情况使得，求出的值计算求和即可【详解】等式左边：设，求导得，时，在单调递减，时，在单调递增，因此的最小值为，所以，等式右边：设，求导得，时，，在单调递增，时，，在单调递减，因此的最大值为，所以，又，因此仅当时等式成立，即，，故.7.在三棱锥中，的大小为到平面的距离的最大值为（）第3页/共22页

A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出在平面上点的轨迹方程，得到点到直线的距离的最大值，即可求出点到平面的距离的最大值.【详解】在平面上，以中点为原点，以为轴，以垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，设.因为，则，整理得，即点的轨迹为在平面上，以为圆心，为半径的圆.所以点到直线的最大距离.又二面角的大小为，所以点到平面的距离的最大值为.8.已知互不相等的实数，满足，记，则等于（）A.1B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】令，得到，再令，则，化简得到，所以.【详解】令，第4页/共22页

因为，所以，这说明的三个根恰好是，因此，①令，则，因为，在①中，令得到，即，整理得到，即，因此，当时，；当时，；当时，，所以.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23B.若回归方程为，则变量y与x成负相关C.若随机变量X服从正态分布，则D.样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当表明成对样本数据间没有线性相关关系【答案】ABD第5页/共22页

【解析】【详解】将已知数据排序得12，14，15，17，19，23，27，30，由，第六个数为23，即第70百分位数是23，故A正确；由于，所以变量y与x成负相关，故B正确；因为，所以，故C错误；当越小时，相关性越弱，所以当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故D正确.10.双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（）A.B.C.C的离心率为D.当时，四边形的面积为【答案】ACD【解析】【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断BB的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，第6页/共22页

设，则，故，故，由A得，故即，故B错误；方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，则若过点往与轴，则，则为直角三角形，且，则，方法三：在利用余弦定理知，，即，则，则为直角三角形，且，则，故B错误；对于C，方法一：因为，故，第7页/共22页

由B可知，故即，故离心率，故C正确；方法二：因为，则，则，故C正确；对于D，当时，由C可知，故，故，故四边形为，故D正确，故选：ACD.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端）A.点到平面的距离为定值B.若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为C.若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为D.若与平面所成的角为，则【答案】ABD第8页/共22页

【解析】【分析】对于A,根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，利用等体积法即可判定；对于B，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；对于C,根据题意画出截面图，计算即可；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可.【详解】A，连接，因为，由平面，平面，所以平面，又点是棱到平面的距离为定值，设为，则.又，所以，解得，正确；B，如图所示，连接，取的中点为，连接，设外接圆圆心为,过作,交于，则，在中，设其外接圆半径为，第9页/共22页

由正弦定理知，所以，即，依题易得≌，故，弦所对的圆周角相等，故四点共圆，则，则在中，，即①，在中，，即②，联立①②，解得，故外接球的表面积为，正确；C，如图，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，因为平面平面，且平面平面，且平面平面，根据面面平行的性质定理知，又因为为中点，所以为四等分点，则四边形的周长为：，错误；D，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，第10页/共22页

则，则，设平面的法向量，则，令，则，故，则，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，又，综上可知，，正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.的展开式中的系数为______.【答案】【解析】第11页/共22页

【详解】的展开式通项为.令，得，所以.所以的展开式中的系数为.13.若函数是奇函数，则______.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的定义求解.【详解】由得，因为函数奇函数，所以定义域关于原点对称，则方程根互为相反数，所以，所以，所以函数的定义域为，，因为，所以，即，解得.此时，定义域为，且满足，所以.14.已知抛物线的焦点F到其准线的距离为的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点，在抛物线C上，则_______.（用含n的式子表示）【答案】【解析】【分析】根据已知得，进而有，是的前n代入抛物线得关系求通项公式第12页/共22页

即可得.【详解】由题设，易得，则，在抛物线C上，等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，设，则时，故，所以，当时，，则，若是的前n项和，则，故，显然时满足，当，，整理得，又，则，故是首项、公差都为2的等差数列，所以.故答案：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求角C及边c的值；（2）求的最大值.【答案】（1），（2）4第13页/共22页

【解析】【小问1详解】由，根据余弦定理，得，因为，则.由，得，根据正弦定理，得，则.【小问2详解】由（1）知，，则，即，当且仅当时等号成立，则的最大值为4.16.已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若存在极值，求a取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1的图象在点（2a的取值范围.【小问1详解】若，则.第14页/共22页

所以，所以.又，所以函数的图象在点处的切线方程为.【小问2详解】因为函数，所以.若存在极值，则有变号零点，即有解.因为，所以，所以.因此有解，且.当时，在上恒成立，所以函数是增函数，无极值；当时，在上有解，记为.令，则，所以在上单调递增，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得极小值，即函数有极值.故a的取值范围是.17.如图，在四面体ABCD中，EF分别是CDAB的中点.第15页/共22页

（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求直线EF与平面BCD所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】1）异面直线垂直问题可转化为证明线面垂直；（2）求线面所成角可转化成求直线方向向量与平面法向量的夹角问题.【小问1详解】证明：如图过作,，.,四边形为平行四边形，连接、，四边形为平行四边形，点E是的中点，，，为的中点，,即，又，，，平面，平面，又平面，，又是的中点，为的中点，为的中位线，，，第16页/共22页

【小问2详解】由(1)可知，，又平面平面，为二面角的平面角，即，如图，在平面内过点作，从而、、两两互相垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，由，得，所以点的横坐标为，点的纵坐标为，即，从而，,,设平面的法向量为，则，取。则，又，所以直线与平面所成角的正弦值，，即直线与平面所成角为.18.已知斜率为的直线交椭圆（且ABAB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点.（1）若，求的取值范围；第17页/共22页

（2）求的值；（3）证明：无论怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】第1问直线存在即可，只需满足线段的中点在椭圆内，第2问中点弦问题用点差法即可，第3问当，，，四点共圆时，有，转化成坐标求解即可.【小问1详解】设，当时，线段的中点，此时应满足在椭圆内，即，解得，所以当时，的取值范围为.【小问2详解】由为椭圆上两点，从而有，两式作差得，即，由线段中点，得到，斜率，所以，得到.【小问3详解】由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，第18页/共22页

所以直线的方程为，即，联立，化简整理得，，设，则，，从而的中点为，，直线的方程为，即，联立，化简整理得，，，由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有即，化简得，当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则，此时圆的圆心坐标为为或.第19页/共22页

19.某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派号分店选派名员工到号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．（1）当时，求的值；（2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；（3）证明：．【答案】（1）（2）分布列答案见解析（3）证明见解析【解析】1）记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，记事件从号店中选派名店长去号店，利用全概率公式可得出的